數(shù)理統(tǒng)計習題數(shù)理統(tǒng)計練習題

數(shù)理統(tǒng)計一、填空題.設X1X2,…X為母體X的一個子樣，如果展X1X2,…X),則稱g(xiX2,…X)為統(tǒng)計量。.設母體X~N(N,o2),0已知，則在求均值R的區(qū)間估計時，使用的隨機變量為.設母體X服從方差為1的正態(tài)分布，根據(jù)來自母體的容量為100的子樣，測得子樣均值為5,則X的數(shù)學期望的置信水平為95%的置信區(qū)間為。.假設檢驗的統(tǒng)計思想是。小概率事件在一次試驗中不會發(fā)生.某產(chǎn)品以往廢品率不高于5%,今抽取一個子樣檢驗這批產(chǎn)品廢品率是否高于5%,此問題的原假設為。6?某地區(qū)的年降雨量X~N(N,O2)，現(xiàn)對其年降雨量連續(xù)進行5次觀察，得數(shù)據(jù)為：(單位：mm)587672701640650，則。2的矩估計值為。.設兩個相互獨立的子樣X1X2,…,X21與彳，…,y5分別取自正態(tài)母體N(1,22)與N(2,1), Si,S2分別是兩個子樣的方差，令％：=aS：,X2=(a+b)S22,已知X2-X2(20),X2-X2(4)，則a=,b=。1 28.假設隨機變量X~t(n)，則—服從分布 。X2 .假設隨機變量X-t(10),已知P(X2<X)=0.05，則入=。.設子樣X1,X2,…,X16來自標準正態(tài)分布母體N(0,1),X為子樣均值，而P(X>九)=0.01,則入=.假設子樣X,X，…，X來自正態(tài)母體N(N,O2),令y=32：X一42X則y的1 2 16 i ii=1ii=1分布 12?設子樣X1X2，…,X1°來自標準正態(tài)分布母體N(0,1),X與S*2分別是子樣均值和TOC\o"1-5"\h\z子樣方差，令Y=1?"，若已知尸(丫2入)=0.01，則入= 。S*2八 八 八 八.如果01，02都是母體未知參數(shù)。的估計量，稱61比62有效，則滿足。.假設子樣X,X，…,X來自正態(tài)母體N(四,o2),￡2=C￡1(X—X)2是。2的1 2 n i+1 ii=1一個無偏估計量，則C=。.假設子樣X1,X2，…,X9來自正態(tài)母體N(r,0.81)，測得子樣均值元=5，則r的置信度是0.95的置信區(qū)間為。.假設子樣X1,X2，…,X100來自正態(tài)母體N(r,02),R與o2未知，測得子樣均值斤=5，子樣方差s2=1，則R的置信度是0.95的置信區(qū)間為。TOC\o"1-5"\h\z.假設子樣X,X，…,X來自正態(tài)母體N(r,o2),R與o2未知，則原假設12 nH0：r=15的t檢驗選用的統(tǒng)計量為。.正交設計中Ln(s)中S的選擇原則是。.一元線性回歸分析中y=a+px+E，對隨機誤差￡的要求是 二.一元線性回歸分析中y=a+px+￡中，對H0：P=0的檢驗所用的統(tǒng)計量為—二、選擇題.下列結論不正確的是( )設隨機變量X,Y都服從標準正態(tài)分布，且相互獨立，則X2+Y2-X2(2)X,Y獨立，X?X2(10),X+Y?X2(15)nY?X2(5)X,X,…X來自母體X?N(R,o2)的子樣，X是子樣均值，12 nX）2則工一* ?％2（〃）O2i=l④x,x,…x與y,丫，…y均來自母體x?n（n，o2）的子樣，并且相互獨立，1 2 n12nX（x-X）2T,F分別為子樣均值，則弋l -F（n-l,n-l）L（y-y）2ii=lTOC\o"1-5"\h\z.設斗,可是參數(shù)0的兩個估計量，正面正確的是（ ）D（e）＞D（e2）,則稱［為比￡有效的估計量D（e）＜D（e2）,則稱3為比可有效的估計量e,e是參數(shù)。的兩個無偏估計量，d（o）＞D（e）,則稱S為比6有效的估計量1 2 12 12④r，§2是參數(shù)6的兩個無偏估計量，則稱r為比§2有效的估計量.設）是參數(shù)。的估計量，且。（或）＞°,則有（ ）①62不是的無偏估計 ② 02是92的無偏估計③^2不一定是02的無偏估計④ 02不是02的估計量.下面不正確的是（ ）①〃 =一〃 ②％2（n）=-/2（n）1-aa l-a a③/（n）--t（w） ④F（n,m） 1 l-a a 1-a F（機，〃）a.母體均值的區(qū)間估計中，正確的是（ ）置信度1-a一定時，子樣容量增加，則置信區(qū)間長度變長；置信度1-a一定時，子樣容量增加，則置信區(qū)間長度變短；置信度1-a增大，則置信區(qū)間長度變短；置信度1-a減少，則置信區(qū)間長度變短。.對于給定的正數(shù)a,0＜a＜1,設〃是標準正態(tài)分布的a上側(cè)分位數(shù)，則有（ ）a

①P(U<u①P(U<u)=l-a

@2③P(JJ>u)=l-a

a

-2②P(lU\<u)=a- a'12④P(lU\>u)=a

%.某工廠所生產(chǎn)的某種細紗支數(shù)服從正態(tài)分布N(%,o;),|LL0,o;為已知，現(xiàn)從某日生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取16縷進行支數(shù)測量，求得子樣均值和子樣方差，要檢驗細紗支數(shù)的均勻度是否變劣，則應提出假設(①3：「①3：「也分②H°：四"。J：口5③H-02=02H-O2WO2④H-02=02H-O2>O20 0 1 0 0 0 1 08.設子樣X8.設子樣X,X,1 2…X抽自母體x,y,y■y來自母體y,x~n(n，o2)

m 1￡(X-|n)2/nz1Y?Y?N(%,O2),則2L(y-|n)2/mi2i=l①F(n,m)②F(n9.設X,X,X為來自X~N(N，O2)的子樣觀察值，未知，KTOC\o"1-5"\h\z12n 〃 ，i=l。2的極大似然估計值為 (①二(x-X)2②J

nt n①二(x-X)2②J

nt ni=l i=ln-1i n-1ii=l i=l10.子樣X,x10.子樣X,x,1 2…X來自母體X?N(0,l),X ,S2=ni

i=l-^Z(X-X)2n-1 ，i=i則下列結論正確的是(i=l①nX-N(0,1)②X-N(0,1)③Zx2~%2(〃)④—~t(n-l)， Si=l.假設隨機變量X?N(1,22),XjX2,…,X]°o是來自X的子樣，聲為子樣均值。已知Y=aX+b-A^(0,l),則下列成立的是(

①a=-5,b=5②a=5,b=①a=-5,b=5②a=5,b=5.設子樣X1,X2，…,X”來自正態(tài)母體N（四,o2）,X與S2分別是子樣均值和子樣方差，則下面結論不成立的是（ ）③X與,Z(X-X)2相互獨立o2.1③X與,Z(X-X)2相互獨立o2.1i④X與_LZ(X-N)2相互獨立1=1.子樣X1,X2,X3X4,X5取自正態(tài)母體N（從,02）,日已知，。2未知。則下列隨機變TOC\o"1-5"\h\z量中不能作為統(tǒng)計量的是（ ）④—￡(X-X)23 11=1①X②X+X-2r④—￡(X-X)23 11=11=1.設子樣X1,X2,…,X”來自正態(tài)母體N（四,02）,X與S2分別是子樣均值和子樣方差，則下面結論成立的是（ ）① 2X-X?N(從,o2)21② n(又；?)2?f",n-1)S2③ S-?％2(n-1)④—_■—nn-1?t(n-1)STOC\o"1-5"\h\z.設子樣X1,X2,…,X”來自母體X,則下列估計量中不是母體均值R的無偏估計量的是（）。①X②X+X+…+X③0.1義(6X1+4X) ④X①X②X+X+…+X.假設子樣X,X，…,X來自正態(tài)母體N（R,o2）。母體數(shù)學期望R已知，則下列估1 2計量中是母體方差。2的無偏估計是（ ）①1Z(X-X)2② Z(X-X)2③-L_Z(X-R)2④1—Z(X-R)2n1 n-1 1 n+1 1 n-11=1 1=1 1=1 1=1.假設母體X的數(shù)學期望R的置信度是0.95，置信區(qū)間上下限分別為子樣函數(shù)b(X/…X)與a(X/…,Xn)，則該區(qū)間的意義是( )①P(a<r<b)=0.95 ②P(a<X<b)=0.95③P(a<X<b)=0.95 ④P(a<X-r<b)=0.95.假設母體X服從區(qū)間［0,0］上的均勻分布，子樣X1,X2，…,Xn來自母體X。則未知參數(shù)0 的極大似然估計量0為()②①2X ②maXX1,…,X) ③min(X1,…,X) ④不存在.在假設檢驗中，記H0為原假設，則犯第一類錯誤的概率是( )①H0成立而接受H0 ②H0成立而拒絕H0③H0不成立而接受H0 ④H0不成立而拒絕H0.假設子樣X1,X2,…,Xn來自正態(tài)母體N(R,o2),X為子樣均值，記S2=1Z(X-X)2S2=Z(X-X)2ni 2n一1TOC\o"1-5"\h\zi=1 i=1S2=1Z(X-R)2S2=-L-Z(X-R)2ni 4n一1ii=1 i=1則服從自由度為n-1的t分布的隨機變量是( )X—R. tX—R txX—R.- X—R.—① n--1 ② 7n-1 ③ nn④ vnS S S S三、計算題.設母體X?N(12,4)，抽取容量為5的子樣，求子樣均值大于13的概率；子樣的最小值小于10的概率；子樣最大值大于15的概率。.假設母體X?N(10,22),X1,X2,…,X8是來自X的一個子樣，X是子樣均值，求P(X>11)。.母體X~N(1。,22),XjX2，…,X8是來自X的子樣，X是子樣均值，若P(X>c)=0.05，試確定c的值。.設XjX2,…,Xn來自正態(tài)母體N(10,22),X是子樣均值，滿足P(9.02<X<10.98)=0.95，試確定子樣容量n的大小。.假設母體X服從正態(tài)母體N(20,32)，子樣XjX2，…,X25來自母體X，計算P]￡X.—￡X<182=1 .=17.假設新生兒體重X~N(從Q2)，現(xiàn)測得10名新生兒的體重，得數(shù)據(jù)如下：3100348025203700252032002800380030203260(1)求參數(shù)R和O2的矩估計；(2)求參數(shù)O2的一個無偏估計。[e-(x-9) x>0.設隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=< 八，設X,X，…,X來自[0x<0 1 2n母體X的一個子樣，求0的矩估計和極大似然估計。.在測量反應時間中，一位心理學家估計的標準差是0.05秒，為了以0.95的置信度使平均反應時間的估計誤差不超過0.01秒，那么測量的子樣容量n最小應取多少.設隨機變量X?N(R，1),x『x2,…,x10是來自X的10個觀察值，要在a=0.01的水平下檢驗H0：日=0,H1：RW0取拒絕域J&={Xl>c}c=?(2)若已知x=1,是否可以據(jù)此推斷N=0成立？ (a=0.05)(3)如果以J&={X1>卜151檢驗H0：日=0的拒絕域，試求該檢驗的檢驗水平a。.假設按某種工藝生產(chǎn)的金屬纖維的長度X(單位mm)服從正態(tài)分布N(5.2,0.16),現(xiàn)在隨機抽出15根纖維，測得它們的平均長度x=5.4，如果估計方差沒有變化，可否認為現(xiàn)在生產(chǎn)的金屬纖維的長度仍為5.2mm.某地九月份氣溫X?N（從,o2），觀察九天，得x=300C,s*=0.90C，求（1）此地九月份平均氣溫的置信區(qū)間； （置信度95%）（2）能否據(jù)此子樣認為該地區(qū)九月份平均氣溫為31.5。C（檢驗水平a=0.05）（3）從（1）與（2）可以得到什么結論？ 1002s（8）=2.306.正常成年人的脈搏平均為72次/分，今對某種疾病患者10人，測得脈搏為54686577706469726271,假設人的脈搏次數(shù)X?N（從,O2），試就檢驗水平a=0.05下檢驗患者脈搏與正常成年人的脈搏有無顯著差異？.設隨機變量X?N⑴,a2）,R,a2均未知，X與X相互獨立?，F(xiàn)有5個X的觀察i iiii 1 2 1值，子樣均值xi=19,子樣方差為s2=7.505,有4個X2的觀察值，子樣均值x2=18,子樣方差為s2=2.593,2（1）檢驗X1與X2的方差是否相等？a=0.1,F005（4,3）=9.12,F005（3,4）=6.59（1）在（1）的基礎上檢驗X1與X2的均值是否相等。 （a=0.1）.假設某廠生產(chǎn)的纜繩，其抗拉強度X服從正態(tài)分布N（10600，822），現(xiàn)在從改進工藝后生產(chǎn)的纜繩中隨機抽取10根，測量其抗拉強度，子樣方差s2=6992。當顯著水平為a=0.05時，能否據(jù)此認為新工藝生產(chǎn)的纜繩的抗拉強度的穩(wěn)定性是否有變化？.某種導線的電阻X?N（r,0.0052），現(xiàn)從新生產(chǎn)的一批導線中抽取9根，得s=0.009Q。（1）對于a=0.05,能否據(jù)此認為新生產(chǎn)的一批導線的穩(wěn)定性無變化？（2）求母體方差a2的95%的置信區(qū)間16、某廠用自動包裝機包裝糖，每包糖的重量X?N（R,a2），某日開工后，測得9包糖的重量如下：99.398.7100.5101.298.399.7102.1100.599.5（單位：千克）試求母體均值R的置信區(qū)間，給定置信水平為0.95。17、設有甲、乙兩種安眠藥，現(xiàn)在比較它們的治療效果，X表示失眠患者服用甲藥后睡眠時間的延長時數(shù)，Y表示失眠患者服用乙藥后睡眠時間的延長時數(shù)，隨機地選取20人，10人服用甲藥，10人服用乙藥，經(jīng)計算得x=2.33,s*2=1.9;y=1.75,s*2=2.9，設1 2X?N（片,o2）,Y?N（四2,o2）；求片一日2的置信度為95%的置信區(qū)間。18、研究由機器A和B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑，隨機地抽取機器A生產(chǎn)的管子18根，測得子樣方差S*2=0.34，抽取機器B生產(chǎn)的管子13根，測得子樣方差sj2=0.29，設兩子樣獨立，且由機器A和B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑服從正態(tài)分布N（從,o2）,N（從,o2），試求母1 1 2 2 o2 一，、一、體方差比一的置信度為90%的置信區(qū)間。o2219、設某種材料的強度X?N（從,O2），從,O2未知，現(xiàn)從中抽取20件進行強度測試，以kg/cm2為強度單位，由20件子樣得子樣方差S*2=0.0912，求。2和。的置信度為90%的置信區(qū)間。20、設自一大批產(chǎn)品中隨機抽取100個樣品，得一級品50個，求這批產(chǎn)品的一級中率P的置信度為95%的置信區(qū)間。21、一家廣告公司想估計某類商店去年所花的平均廣告費有多少。經(jīng)驗表明，母體方差約為1800000，如果置信度為95%，并要使估計值處在母體均值附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司應取多大的子樣？22、設電視機的首次故障時間X服從指數(shù)分布，入=EX，試導出入的極大似然估計量和矩估計。23、為了比較兩位銀行職員為新顧客辦理個人結算賬目的平均時間長度，分別給兩位銀行職員隨機地安排了10個顧客，并記錄下為每位顧客辦理賬單所需的時間（單位：分鐘）相應的子樣均值和方差為：X=22.2,X=28.5;s*2=16.63,s*2=18.92。假設每位職員為顧客辦理賬單所需的時間服從正態(tài)分布，且方差相等，求母體平均值差的置信度為95%的區(qū)間估計。24、某飲料公司對其所做的報紙廣告在兩個城市的效果進行了比較，他們從兩個城市中分別隨機地調(diào)查了1000個成年人，其中看過該廣告的比例分別為0.18和0.14,試求兩個城市成年人中看過該廣告的比例之差的置信度為95%的置信區(qū)間。25、電視機顯像管批量生產(chǎn)的質(zhì)量標準為平均壽命1200小時，標準差為300小時。某電視機廠宣稱其生產(chǎn)的顯像管質(zhì)量大大超過規(guī)定標準。為了進行驗證，隨機抽取100件為子樣，測得其平均壽命為1245小時。能否據(jù)此認為該廠的顯像管質(zhì)量大大高于規(guī)定標準？26、某機器制造出的肥皂厚度為5cm，今欲了解機器性能是否良好，隨機抽取10塊為子樣，測得其平均厚度為53cm，標準差為0.3cm，試分別以0.05和0.01的顯著水平檢驗機器性能是否良好？（假設肥皂厚度服從正態(tài)分布）27、有兩種方法可用于制造某種以抗拉強度為重要特征的產(chǎn)品。根據(jù)以往的資料得知，第一種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品的抗拉強度的標準差為8kg，第二種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品的抗拉強度的標準差為10kg。從兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品各抽取一個子樣，子樣容量分別為32和40，測得1二50kg,x2=44kg。問這兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均抗拉強度是否有顯著差別a=0.05,z0025=1.9628、一個車間研究用兩種不同的工藝組裝產(chǎn)品所用的時間是否相同，讓一個組的10名工人用第一種工藝組裝產(chǎn)品，平均所需的時間為26.1分鐘，子樣標準差為12分鐘；另一組的8名工人用第二種工藝組裝產(chǎn)品，平均所需的時間為17.6分鐘，子樣標準差為10.5分鐘，已知用兩種工藝組裝產(chǎn)品所需的時間服從正態(tài)分布，且方差相等，問能否認為用第二種工藝組裝產(chǎn)品所需的時間比用第一種工藝組裝產(chǎn)品所需的時間短？a=0.05,1005（16）=1.745929、某地區(qū)小麥的一般生產(chǎn)水平為畝產(chǎn)250kg，其標準差為30kg?，F(xiàn)用一種化肥進行試驗，從25個小區(qū)抽樣結果為平均產(chǎn)量為270kg。問這種化肥是否使小麥明顯增產(chǎn)？a=0.0530、某種大量生產(chǎn)的袋裝食品，按規(guī)定不得少于250kg。今從一批該食品中任意抽取50袋，發(fā)現(xiàn)有6袋低于250kg。若規(guī)定不符合標準的比例超過5%就不得出廠,該批食品能否出廠？a=0.0531、某種電子元件的壽命服從正態(tài)分布。現(xiàn)測得16只元件的壽命如下：159280101212224379179264222362168250149260485170，問是否有理由認為元件的平均壽命大于225小時。 a=0.05,1005a5）=1.753132、某電器經(jīng)銷公司在6個城市設有經(jīng)銷處，公司發(fā)現(xiàn)彩電銷售量與該城市居民戶數(shù)多少有很大關系，并希望通過居民戶數(shù)多少來預測其彩電銷售量。下表是有關彩電銷售量與城市居民戶數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：城市編號銷售量戶數(shù)（萬戶）154251892631919336827197477432025836520668916209要求：⑴計算彩電銷售量與城市居民戶數(shù)之間的線性相關系數(shù);（2）擬合彩電銷售量對城居民戶數(shù)的回歸直線;⑶計算判定系數(shù)R2⑷對回歸方程的線性關系和回歸系數(shù)進行顯著性檢驗(a=0.05),并對結果作簡要分析。33、在每種溫度下各做三次試驗，測得其得率(％)如下：溫度A4AA4得率868690848588888383879288檢驗溫度對該化工產(chǎn)品的得率是否有顯著影響。34、測量9對做父子的身高，所得數(shù)據(jù)如下(單位：英父親身高％606264666768707274兒子身高y63.665.26666.967.167.868.370.170(1)試建立了兒子身高關于父親身高的回歸直線方程⑵檢驗兒子身高關于父親身高的回歸直線方程是否顯著成立？10025(8)=2.306(3)父親身高為70，試對兒子身高進行置信度為95%的區(qū)間預測35、某商店采用四種不同的方式推銷商品。為檢驗不同的方式推銷商品的效果是否有顯著差異隨機抽取子樣，得到如下數(shù)據(jù)：(a=0.05,F005(3,16)=3.24)方式1方式2方式3方式47795728086927784808268798891827084897582計算F統(tǒng)計量，并以a=0.05的顯著水平作出統(tǒng)計決策。四、證明題TOC\o"1-5"\h\z1.設X,X,,X(n>2)來自正態(tài)母體X，母體X的數(shù)學期望日及方差。2均存在，1 2 n求證：從,N,N,N均是母體X的數(shù)學期望目的無偏估計。其中12 3 4N=x,N=i(x+X)1 1221 nN=1(X+2X+3X),N=X361 2 342.假設隨機變量X服從分布F(n,n)時，求證：P(X<D=P{X>1}=0.5

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1 t2附表：標準正態(tài)分布表中(z)=廣一^e-2dt-g22幾z1.281.6451.962.33中(z)0.9000.9500.9750.9905—2設母體X服從正態(tài)分布N(從,o2)(o>0),從該母體中抽取簡單隨機子樣X1,X2,…，X2n(n>2)，其子樣均值為X=21-藝X,,求統(tǒng)計量=1y=￡(X,+Xn+1-2X)2的數(shù)學期望E(Y)。=15—3設隨機變量X?t(n)(n>1),Y=—,則X2YY?x2(n).Y?x2(n—1).YY?F(n,1).Y?F(1,n).5—45—4設隨機變量X1,X2,Cov(X1,Y)=n+2D(X+Y)= o21 n,X(n>1)獨立同分布，且其方差為。2>0,令nY=一X，則ni=1(B) Cov(X1,Y)=。2.— n+1(D) D(X—Y)=——o2.1n5—5設X1,X2,…,Xn(n>2)為來自母體N(0,1)的簡單隨機子樣，X為子樣均值，S2為子樣方差，則(A)nX?N(0,1) (B)nS2~x2(n)(n—1)X (n—1)X2(C) ?t(n—1) (D)u?F(n—1,1) [ ]S XX2ii=2

5—6設母體乂的概率密度為5—6設母體乂的概率密度為fx(x)]0,其它，其中0>T是未知參數(shù),X1,…，Xn是來自母體X的一個容量為n的簡單隨機子樣。分別利用矩估計法和極大似然估計法求0的估計量。V— —(0-x),0<x<05—7設母體X的概率密度為f(x)=<03< )0,其它0,Xj