二次函數(shù)壓軸題-角的存在性

12/12一．解答題（共5小題）例1．（2013?）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=x+2交于C、D兩點，其中點C在y軸上，點D的坐標為（3，）．點P是y軸右側的拋物線上一動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交CD于點F．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P的橫坐標為m，當m為何值時，以O、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由．（3）若存在點P，使∠PCF=45°，請直接寫出相應的點P的坐標．例2．（2012?惠山區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過A（﹣1，0）、C（0，﹣3）兩點，與x軸交于另一點B．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點D（m，﹣m﹣1）在第四象限的拋物線上，求點D關于直線BC對稱的點D'的坐標．（3）在（2）的條件下，連接BD，問在x軸上是否存在點P，使∠PCB=∠CBD？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．例3．（2014?）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，拋物線y=﹣x2+bx+c（c＞0）的頂點為D，與y軸的交點為C，過點C作CA∥x軸交拋物線于點A，在AC延長線上取點B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD．（1）若點A的坐標是（﹣4，4）．①求b，c的值；②試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由；（2）是否存在這樣的點A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請直接寫出一個符合條件的點A的坐標；若不存在，請說明理由．練習1．（2013?）已知拋物線y=x2﹣2x+c與x軸交于A．B兩點，與y軸交于C點，拋物線的頂點為D點，點A的坐標為（﹣1，0）．（1）求D點的坐標；（2）如圖1，連接AC，BD并延長交于點E，求∠E的度數(shù)；（3）如圖2，已知點P（﹣4，0），點Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點M，當∠PMA=∠E時，求點Q的坐標．2．（2012?合川區(qū)模擬）如圖，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點B（﹣3，0），與y軸交于點C（0，﹣3）．（1）求直線BC與二次函數(shù)的解析式；（2）設拋物線的頂點為D，與x軸的另一個交點為A．點P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點P的坐標；（3）連接CD，求∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)．2015年05月13日1873957725的初中數(shù)學組卷參考答案與試題解析一．解答題（共5小題）1．（2013?）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=x+2交于C、D兩點，其中點C在y軸上，點D的坐標為（3，）．點P是y軸右側的拋物線上一動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交CD于點F．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P的橫坐標為m，當m為何值時，以O、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由．（3）若存在點P，使∠PCF=45°，請直接寫出相應的點P的坐標．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）首先求出點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）本問采用數(shù)形結合的數(shù)學思想求解．將直線y=x+2沿y軸向上或向下平移2個單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側的交點，即為所求之交點．由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點有3個．聯(lián)立解析式解方程組，即可求出m的值；（3）本問符合條件的點P有2個，如答圖2所示，注意不要漏解．在求點P坐標的時候，需要充分挖掘已知條件，構造直角三角形或相似三角形，解方程求出點P的坐標．解答：解：（1）在直線解析式y(tǒng)=x+2中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）．∵點C（0，2）、D（3，）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，∴，解得b=，c=2，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2．（2）∵PF∥OC，且以O、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形，∴PF=OC=2，∴將直線y=x+2沿y軸向上、下平移2個單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側的交點，即為所求之交點．由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點有3個．將直線y=x+2沿y軸向上平移2個單位，得到直線y=x+4，聯(lián)立，解得x1=1，x2=2，∴m1=1，m2=2；將直線y=x+2沿y軸向下平移2個單位，得到直線y=x，聯(lián)立，解得x3=，x4=（在y軸左側，不合題意，舍去），∴m3=．∴當m為值為1，2或時，以O、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形．（3）存在．理由：設點P的橫坐標為m，則P（m，﹣m2+m+2），F(xiàn)（m，m+2）．如答圖2所示，過點C作CM⊥PE于點M，則CM=m，EM=2，∴FM=yF﹣EM=m，∴tan∠CFM=2．在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=m．過點P作PN⊥CD于點N，則PN=FN?tan∠PFN=FN?tan∠CFM=2FN．∵∠PCF=45°，∴PN=CN，而PN=2FN，∴FN=CF=m，PN=2FN=m，在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF==m．∵PF=yP﹣yF=（﹣m2+m+2）﹣（m+2）=﹣m2+3m，∴﹣m2+3m=m，整理得：m2﹣m=0，解得m=0（舍去）或m=，∴P（，）；同理求得，另一點為P（，）．∴符合條件的點P的坐標為（，）或（，）．點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解方程（方程組）、平行四邊形、相似三角形（或三角函數(shù)）、勾股定理等重要知識點．第（2）問采用數(shù)形結合思想求解，直觀形象且易于理解；第（3）問中，符合條件的點P有兩個，注意不要漏解．2．（2012?惠山區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過A（﹣1，0）、C（0，﹣3）兩點，與x軸交于另一點B．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點D（m，﹣m﹣1）在第四象限的拋物線上，求點D關于直線BC對稱的點D'的坐標．（3）在（2）的條件下，連接BD，問在x軸上是否存在點P，使∠PCB=∠CBD？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）將A（﹣1，0）、C（0，﹣3）兩點坐標代入拋物線y=ax2+bx﹣3a中，列方程組求a、b的值即可；（2）將點D（m，﹣m﹣1）代入（1）中的拋物線解析式，求m的值，再根據(jù)對稱性求點D關于直線BC對稱的點D'的坐標；（3）當∠PCB=∠CBD時，可知CP∥BD，根據(jù)三角形的全等關系確定P點坐標．解答：解：（1）將A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入拋物線y=ax2+bx﹣3a中，得，解得，∴y=x2﹣2x﹣3；（2）將點D（m，﹣m﹣1）代入y=x2﹣2x﹣3中，得m2﹣2m﹣3=﹣m﹣1，解得m=2或﹣1，∵點D（m，﹣m﹣1）在第四象限，∴D（2，﹣3），∵直線BC解析式為y=x﹣3，∴∠BCD=∠BCO=45°，CD′=CD=2，OD′=3﹣2=1，∴點D關于直線BC對稱的點D'（0，﹣1）；（3）存在．過D點作DE⊥x軸，垂足為E，交直線BC于F點（如圖），∵∠PCB=∠CBD，∴CP∥BD，又∵CD∥x軸，四邊形PCDB為平行四邊形，∴△OCP≌△EDB，∴OP=BE=1，設CP與BD相交于M點（m，3m﹣9），易求BD解析式為：y=3x﹣9，由BM=CM，得到關于m的方程，解方程后，得m=；于是，M點坐標為：M（，﹣）；于是CM解析式為：y=x﹣3，令CM方程中，y=0，則x=9，所以，P點坐標為：P（9，0），∴P（1，0），或（9，0）．點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關鍵是由已知條件求拋物線解析式，根據(jù)拋物線的對稱性，直線BC的特殊性求點的坐標．3．（2014?）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，拋物線y=﹣x2+bx+c（c＞0）的頂點為D，與y軸的交點為C，過點C作CA∥x軸交拋物線于點A，在AC延長線上取點B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD．（1）若點A的坐標是（﹣4，4）．①求b，c的值；②試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由；（2）是否存在這樣的點A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請直接寫出一個符合條件的點A的坐標；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）①將拋物線上的點的坐標代入拋物線即可求出b、c的值；②求證AD=BO和AD∥BO即可判定四邊形為平行四邊形；（2）根據(jù)矩形的各角為90°可以求得△ABO∽△OBC即=，再根據(jù)勾股定理可得OC=BC，AC=OC，可求得橫坐標為±c，縱坐標為c．解答：解：（1）①∵AC∥x軸，A點坐標為（﹣4，4）．∴點C的坐標是（0，4）把A、C兩點的坐標代入y=﹣x2+bx+c得，，解得；②四邊形AOBD是平行四邊形；理由如下：由①得拋物線的解析式為y=﹣x2﹣4x+4，∴頂點D的坐標為（﹣2，8），過D點作DE⊥AB于點E，則DE=OC=4，AE=2，∵AC=4，∴BC=AC=2，∴AE=BC．∵AC∥x軸，∴∠AED=∠BCO=90°，∴△AED≌△BCO，∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，∴AD∥BO，∴四邊形AOBD是平行四邊形．（2）存在，點A的坐標可以是（﹣2，2）或（2，2）要使四邊形AOBD是矩形；則需∠AOB=∠BCO=90°，∵∠ABO=∠OBC，∴△ABO∽△OBC，∴=，又∵AB=AC+BC=3BC，∴OB=BC，∴在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，∵C點是拋物線與y軸交點，∴OC=c，∴A點坐標為（﹣c，c），∴頂點橫坐標=c，b=c，∵將A點代入可得c=﹣（﹣c）2+c?c+c，∴橫坐標為±c，縱坐標為c即可，令c=2，∴A點坐標可以為（2，2）或者（﹣2，2）．點評：本題主要考查了二次函數(shù)對稱軸頂點坐標的公式，以與函數(shù)與坐標軸交點坐標的求解方法．4．（2013?）已知拋物線y=x2﹣2x+c與x軸交于A．B兩點，與y軸交于C點，拋物線的頂點為D點，點A的坐標為（﹣1，0）．（1）求D點的坐標；（2）如圖1，連接AC，BD并延長交于點E，求∠E的度數(shù)；（3）如圖2，已知點P（﹣4，0），點Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點M，當∠PMA=∠E時，求點Q的坐標．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）將點A的坐標代入到拋物線的解析式求得c值，然后配方后即可確定頂點D的坐標；（2）連接CD、CB，過點D作DF⊥y軸于點F，首先求得點C的坐標，然后證得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根據(jù)∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°；（3）設直線PQ交y軸于N點，交BD于H點，作DG⊥x軸于G點，得到△DGB∽△PON后利用相似三角形的性質(zhì)求得ON的長，從而求得點N的坐標，進而求得直線PQ的解析式，設Q（m，n），根據(jù)點Q在y=x2﹣2x﹣3上，得到﹣m﹣2=m2﹣2m﹣3，求得m、n的值后即可求得點Q的坐標．解答：解：（1）把x=﹣1，y=0代入y=x2﹣2x+c得：1+2+c=0∴c=﹣3∴y=x2﹣2x﹣3=y=（x﹣1）2﹣4∴頂點坐標為（1，﹣4）；（2）如圖1，連接CD、CB，過點D作DF⊥y軸于點F，由x2﹣2x﹣3=0得x=﹣1或x=3∴B（3，0）當x=0時，y=x2﹣2x﹣3=﹣3∴C（0，﹣3）∴OB=OC=3∵∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，BC=3又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，∴∠FCD=45°，CD=，∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°．∴∠BCD=∠COA又∵∴△DCB∽△AOC，∴∠CBD=∠OCA又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB∴∠E=∠OCB=45°，（3）如圖2，設直線PQ交y軸于N點，交BD于H點，作DG⊥x軸于G點∵∠PMA=45°，∴∠EMH=45°，∴∠MHE=90°，∴∠PHB=90°，∴∠DBG+∠OPN=90°又∴∠ONP+∠OPN=90°，∴∠DBG=∠ONP∴∠DGB=∠PON=90°，∴△DGB∽△PON∴=，即：=∴ON=2，∴N（0，﹣2）設直線PQ的解析式為y=kx+b則解得：∴y=﹣x﹣2設Q（m，n）且n＜0，∴n=﹣m﹣2又∵Q（m，n）在y=x2﹣2x﹣3上，∴n=m2﹣2m﹣3∴﹣m﹣2=m2﹣2m﹣3解得：m=2或m=﹣∴n=﹣3或n=﹣∴點Q的坐標為（2，﹣3）或（﹣，﹣）．點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，難度較大，題目中滲透了許多的知識點，特別是二次函數(shù)與相似三角形的結合，更是一個難點，同時也是中考中的?？碱}型之一．5．（2012?合川區(qū)模擬）如圖，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點B（﹣3，0），與y軸交于點C（0，﹣3）．（1）求直線BC與二次函數(shù)的解析式；（2）設拋物線的頂點為D，與x軸的另一個交點為A．點P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點P的坐標；（3）連接CD，求∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：代數(shù)幾何綜合題．分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求直線BC的解析式即可；把點B、C的坐標代入二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式解答；（2）根據(jù)拋物線解析式求出頂點D的坐標，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出點A的坐標，連接AD，然后求出∠ADP=∠ABC=45°，然后證明△ADP和△ABC相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出比例式求出PD的長度，從而得解；（3）連接BD，利用勾股定理求出BD、BC的長度，再求出∠CBD=90°，然后根據(jù)∠BCD與∠ACO的正切值相等可得∠BCD=∠ACO，從而得到∠OCA與∠OCD的和等于∠BCO，是45°．解答：解：（1）設直線BC的解析式為y=kx+m，∵點B（﹣3，0），點C（0，﹣3），∴，解得，所以，直線BC的解析式為y=﹣x﹣3，∵二次函數(shù)y=﹣x2+b