2021-2022學(xué)年江蘇省南京市田家炳高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年江蘇省南京市田家炳高級(jí)中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，則為（

）A．12 B．-12 C．10 D．-10【答案】C【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以?故選：C2．從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)數(shù)字可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．12 B．24 C．30 D．64【答案】B【分析】由排列知識(shí)求解即可.【詳解】從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)數(shù)字可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為故選：B3．化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A．x4 B． C． D．【答案】A【分析】逆用二項(xiàng)展開式定理即可得答案.【詳解】故選：A.4．已知，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)條件概率公式計(jì)算．【詳解】由，可得.故選：C.5．現(xiàn)有6個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中任取4個(gè)，則至少有兩個(gè)黑球的取法種數(shù)是（

）A．115 B．90 C．210 D．385【答案】A【分析】由分類加法計(jì)數(shù)原理以及組合知識(shí)求解即可.【詳解】，即至少有兩個(gè)黑球的取法種數(shù)是115.故選：A6．已知直線的一個(gè)方向向量，且直線過和兩點(diǎn)，則（

）A．0 B．1 C． D．3【答案】A【解析】根據(jù)，即可得出.【詳解】解：和，因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為故設(shè)．，，．解得，．．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了直線的方向向量、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．已知服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在區(qū)間，和內(nèi)取值的概率分別為68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年級(jí)1000名學(xué)生的某次考試成績(jī)服從正態(tài)分布N，則此次考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生大約有（

）A．477人 B．136人 C．341人 D．131人【答案】B【分析】求得此次考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間的概率，再求在此區(qū)間的人數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，，則，故此次考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生大約有人.故選：B.8．已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱AA1垂直于底面，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=AA1=2BC，E為DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1D的中點(diǎn)，則直線EF與平面A1CD所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，利用向量法得出直線EF與平面A1CD所成角的正弦值.【詳解】側(cè)棱AA1垂直于底面，則，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，設(shè)平面A1CD的法向量為，，則，取，則，即直線EF與平面A1CD所成角的正弦值為.故選：C二、多選題9．下列各式中，等于的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)排列數(shù)公式依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，，故B錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)C，，故C正確.對(duì)選項(xiàng)D，，故D正確.故選：CD10．若，，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用賦值法和二項(xiàng)式項(xiàng)的系數(shù)性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，令，得，令，得，所以，故A錯(cuò)誤.對(duì)選B，因?yàn)椋员硎镜母黜?xiàng)系數(shù)之和，令，則，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，，所以，故C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)?，，令，則，則，故D正確.故選：BD11．在長(zhǎng)方體中，，，，以為原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（

）A．B．異面直線與所成角的余弦值為C．平面的一個(gè)法向量為D．二面角的余弦值為【答案】ACD【分析】根據(jù)坐標(biāo)系求出各相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合異面直線向量夾角公式，平面法向量求解公式，二面角向量夾角公式，對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可．【詳解】解：在長(zhǎng)方體中，，，，以為原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，∵，，∴，故A正確；對(duì)于B，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，則異面直線與所成角的余弦值為：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得平面的一個(gè)法向量為，故C正確；對(duì)于D，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，∴二面角的余弦值為：，故D正確.故選：ACD．12．新冠疫情發(fā)生后，某社區(qū)派出A，B，C，D，E五名志愿者到甲?乙?丙?丁四個(gè)路口協(xié)助開展防護(hù)排查工作，每名志愿者只能到一個(gè)路口工作，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若每個(gè)路口至少分派1名志愿者，則所有不同的分派方案共240種B．若丙路口不安排志愿者，其余三個(gè)路口至少安排一個(gè)志愿者，則所有不同的分派方案共180種C．若每個(gè)路口至少派1名志愿者，且志愿者A必須到甲路口，則所有不同分派方案共60種D．若每個(gè)路口至少派1名志愿者，且志愿者A?B不安排到甲路口，則所有不同分派方案共126種【答案】ACD【分析】A.先兩個(gè)人一組，再全排列即可判斷；B.討論1，1，3或2，2，1兩種情況即可判斷；C.討論志愿者A一個(gè)人在甲路口，A與另外一個(gè)人一起在甲路口，兩種情況即可判斷；D.討論甲路口安排1人，甲路口安排2人即可判斷.【詳解】A，B，C，D，E五名志愿者到甲?乙?丙?丁四個(gè)路口協(xié)助開展防護(hù)排查工作，每名志愿者只能到一個(gè)路口工作，A.若每個(gè)路口至少分派1名志愿者，則所有不同的分派方案共240種，正確；B.若丙路口不安排志愿者，其余三個(gè)路口至少安排一個(gè)志愿者，分配方法有1，1，3或2，2，1，則所有不同的分派方案共種，錯(cuò)誤；C.每個(gè)路口至少派1名志愿者，若志愿者A一個(gè)人在甲路口，有種方案，愿者A與另外一個(gè)人一起在甲路口，有種方案，則所有不同分派方案共種，正確；D.每個(gè)路口至少派1名志愿者，且志愿者A?B不安排到甲路口，若甲路口安排1人，共有種方案，若甲路口安排2人，共有種方案，則所有不同分派方案共有126種方案，正確.故選：ACD.三、填空題13．的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】84【解析】由二項(xiàng)式定理，可得的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0，可得r的值，將r的值代入通項(xiàng)，可得其展開式的常數(shù)項(xiàng)，即可得答案．【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr+1＝令，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為故答案為：84【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意正確運(yùn)用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題．14．已知隨機(jī)變量X的概率分布為X012P且設(shè)Y=3X+2，則E（Y）=________.【答案】4【分析】先求出隨機(jī)變量X的均值，再根據(jù)其性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)镋（X）＝＋＝，所以E（Y）＝E（3X＋2）＝3E（X）＋2＝＋2＝.故答案為：15．在一次活動(dòng)中，某位新冠病毒感染者就在其中，在他附近1米內(nèi)的人群都有被感染的可能.現(xiàn)在已知這位病例帶了口罩，如果中的人也帶了口罩，被感染的概率為1.5%，如果沒有戴口罩，被感染的概率為5%，假定此次人群中有80%的人戴了口罩.現(xiàn)從人群中任選一人，則他被感染的概率為___________.【答案】0.022####2.2%【分析】分別求出戴口罩感染的概率和不戴口罩感染的概率，再相加即可.【詳解】他被感染的概率為.故答案為：16．某校為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)傳統(tǒng)文化的繼承和發(fā)揚(yáng)，組織了一場(chǎng)類似《詩(shī)詞大會(huì)》PK賽（共4局），A?B兩隊(duì)各由4名選手組成，每局兩隊(duì)各派一名選手PK，除第三局勝者得2分外，其余各勝者均得1分，每局的負(fù)者得0分.假設(shè)每局比賽A隊(duì)選手獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的概率為______.【答案】【分析】根據(jù)題意得到比賽結(jié)束時(shí)隊(duì)的得分高于隊(duì)的得分的情況有三種，分別是隊(duì)全勝，隊(duì)三勝一負(fù)，隊(duì)勝第三局，另外三局一勝二負(fù)，再分別計(jì)算概率求解即可.【詳解】比賽結(jié)束時(shí)隊(duì)的得分高于隊(duì)的得分的情況有三種，第一種：隊(duì)全勝，概率為.第二種：隊(duì)三勝一負(fù)，概率為，第三種：隊(duì)勝第三局，另外三局一勝二負(fù)，概率為：.所以比賽結(jié)束時(shí)隊(duì)的得分高于隊(duì)的得分的概率為.故答案為：四、解答題17．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）由在上恒成立，得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以切線方程為，即（2）因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上恒成立，所以，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為18．在1，2，3，…，9這9個(gè)自然數(shù)中，任取2個(gè)不同的數(shù).(1)求這2個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)是奇數(shù)的概率；(2)設(shè)X為所取的2個(gè)數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的概率分布及均值.【答案】(1)(2)分布列見解析，均值為．【分析】（1）由9個(gè)數(shù)中5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，可得出取出的2個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)是奇數(shù)的方法數(shù)，從而計(jì)算出概率；（2）X的可能值依次為，分別計(jì)算出概率得分布列，由均值公式計(jì)算出均值．【詳解】（1）9個(gè)數(shù)中5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，因此所求概率為；（2）X的可能值依次為，，，的分布列為012均值為．19．已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面邊長(zhǎng)AB=2，AB1⊥BC1，O，O1分別是棱AC，A1C1的中點(diǎn).建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1)求三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；(2)求異面直線AB1與BC所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)得到求解即可.（2）利用空間向量法求解即可.【詳解】（1）設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為，則，所以.因?yàn)?，所以，解?故三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為.（2）由（1）知.因?yàn)?，，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為20．某超市為提高收銀效率，給顧客提供便利，在人工收銀之外，引進(jìn)了自助收銀系統(tǒng)，該系統(tǒng)投入使用前后5天，使用自主收銀的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：第x天12345人數(shù)y4245454647（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)求y關(guān)于x的回歸直線方程；（2）該超市隨機(jī)抽查了部分顧客，調(diào)查了他們的年齡段和使用的收銀方式，得到如下的2×2列聯(lián)表：年齡不超過50歲年齡超過50歲自主收銀16050人工收銀90100用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法判斷：是否有%的把握認(rèn)為顧客使用的收銀方式與年齡有關(guān)？附：回歸直線方程中的斜率和截距的最小乘估計(jì)公式分別為：.獨(dú)立性檢驗(yàn)：，其中.臨界值表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）；（2）有%的把握認(rèn)為顧客使用的收銀方式與年齡有關(guān).【分析】（1）根據(jù)參考公式求出和，即可直接寫出回歸直線方程；（2）根據(jù)參考公式求出，對(duì)比臨界值即可得出結(jié)論.【詳解】（1）依題意，，，，故，，故所求回歸直線方程為.（2）完善列聯(lián)表如下：年齡不超過50歲年齡超過50歲總計(jì)自主收銀16050210人工收銀90100190總計(jì)250150400故有的握認(rèn)為顧客使用的收銀方式與年齡有關(guān).21．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知∠BCC1=，BC=1，AB=C1C=2，E是棱C1C的中點(diǎn).(1)求二面角A—EB1—A1的余弦值；(2)在棱CA上是否存在一點(diǎn)M，使得EM與平面A1B1E所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，或.【分析】（1）以為原點(diǎn)，和的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出二面角A—EB1—A1的余弦值；（2）由向量法結(jié)合EM與平面A1B1E所成角的正弦值得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，所?所以，所以.因?yàn)閭?cè)面，所以.又因?yàn)槠矫?，所以直線平面，以為原點(diǎn)，和的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則知點(diǎn).設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)樗粤?，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)樗粤睿瑒t，所以.因?yàn)?，所?設(shè)二面角為，則，所以二面角的余弦值為.（2）假設(shè)存在點(diǎn)，因?yàn)椋裕渣c(diǎn)坐標(biāo)為，所以.由（1）知平面的一個(gè)法向量為，所以，得，即，所以或，所以或.22．近兩年肆虐全球的新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀?發(fā)熱?咳嗽?氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎?嚴(yán)重急性呼吸綜合征?腎衰竭，甚至死亡.核酸檢測(cè)是診斷新冠肺炎的重要依據(jù)，首先取病人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質(zhì)，若有病毒，樣本檢測(cè)會(huì)呈現(xiàn)陽性，否則為陰性.根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測(cè)呈陽性的概率為.現(xiàn)有4例疑似病例，分別對(duì)其取樣?檢測(cè)，多個(gè)樣本檢測(cè)時(shí)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn).混合樣本中只要有病毒，則混合樣本化驗(yàn)結(jié)果就會(huì)呈陽性，若混合樣本呈陽性，則將該組中備份的樣本再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個(gè)樣本均為陰性，無需再檢驗(yàn).現(xiàn)有以下三種方案：方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；方案二：四個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)；方案三：平均分成兩組，分別混合在一起化驗(yàn).在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢查能力不足，化檢次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.(1)若按方案一，求4個(gè)疑似病例中恰有2例呈陽性的概率；(2)現(xiàn)將該4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，請(qǐng)問：方案一?二?三中哪個(gè)最“優(yōu)”？并說明理由.【答案】(1)(2)選擇方案一最“優(yōu)”，理由