第二章4-固體物理課件

2.23非簡諧效應(yīng)將晶體中原子之間的相互作用勢能函數(shù)U(r)，在平衡位置r=a附近進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，常數(shù)定義為零平衡微商為零簡諧項非簡諧項U(a)是原子間距為平衡間距時的勢能。前面討論晶格振動是在簡諧近似下進(jìn)行的，即忽略了泰勒展開式中的三次方和三次方以上項。在晶體原子相互作用勢能展開式中，三次方和三次方以上的項稱為非簡諧項，有些物理效應(yīng)是由非簡諧項引起的，討論這些物理效應(yīng)就必須考慮非簡諧項。由非簡諧項引起的效應(yīng)稱為非簡諧效應(yīng)，典型的非簡諧效應(yīng)有熱膨脹和熱傳導(dǎo)。2.23非簡諧效應(yīng)將晶體中原子之間的相互作用勢能函數(shù)U(1在簡諧近似下，相互作用勢能只保留到二次方項，晶格振動為一系列線性獨立的諧振子（格波）?；ハ嗒毩⒌母癫炔话l(fā)生相互作用，也不交換能量。這樣的聲子既不能把能量傳遞給其它頻率的聲子，也不能處于熱平衡。1、簡諧近似的不足簡諧近似，勢能為拋物線，兩邊對稱在簡諧近似下，相互作用勢能只保留到二次方項，晶格振動為一系列2簡諧近似下的運動方程：簡諧近似下的解：線性變換引入簡正坐標(biāo)動能項和勢能項沒有交叉項，意味著每個簡諧振動模式（聲子）之間沒有相互作用簡諧近似下的運動方程：簡諧近似下的解：線性變換引入簡正坐標(biāo)動3在簡諧近似下，得出了一些與事實不符合的結(jié)論：沒有熱膨脹（原子的平衡位置不依賴于溫度）；力常數(shù)和彈性常數(shù)不依賴于溫度和壓力；高溫時熱容量是常數(shù)（Dulong-Petit定律）；等容熱容和等壓熱容相等（CV=Cp）；聲子間不存在相互作用，聲子的平均自由程和壽命都是無限的，或者說，兩個點陣波之間不發(fā)生相互作用，單個波不衰減或不隨時間改變形式；沒有雜質(zhì)和缺陷的簡諧晶體的熱導(dǎo)是無限大的；對完美的簡諧晶體而言，紅外吸收峰、Raman和Briiouin散射峰以及非彈性散射峰寬應(yīng)為零。在簡諧近似下，得出了一些與事實不符合的結(jié)論：沒有熱膨脹（原子42、相互作用勢能的非簡諧項常數(shù)定義為零平衡微商為零簡諧項非簡諧項2、相互作用勢能的非簡諧項常數(shù)定義為零平衡微商為零簡諧項非簡5非簡諧項，代表原子之間排斥作用的非對稱性>0時，，吸引力減??；<0時，，排斥力增大?？紤]這一非簡諧項后，勢能曲線不對稱：>0一邊比較平緩，<0一邊則比較陡峭。因此非簡諧振動，使原子間產(chǎn)生一定的相互斥力，從而引起熱膨脹。所以熱膨脹是一種晶格振動的非簡諧效應(yīng)。非簡諧項，代表原子之間排斥作用的非對稱性>0時，6非簡諧項，代表在大振幅下振動的軟化考慮二階項和四階項，有回復(fù)力常數(shù)減小，振動軟化。非簡諧項，代表在大振幅下振動的軟化考慮二階項和四階項，有回復(fù)7力常數(shù)小rU(r)力常數(shù)大力常數(shù)對勢能的影響rU(r)四次方項對勢能的影響簡諧勢非簡諧勢力常數(shù)小rU(r)力常數(shù)大力常數(shù)對勢能的影響rU(r)四次方83、非簡諧近似下的解考慮諧振子方程中的非簡諧項，雙原子運動方程是兩原子的約化質(zhì)量令3、非簡諧近似下的解考慮諧振子方程中的非簡諧項，雙原子運動方9運動方程解得形式為這里只考慮了Fourier展開式中的頭三項，所以只有2項，如果考慮3項，則會有3的項。將方程的解代入運動方程，并假定sA<<1，有利用方程的解，并考慮<cost>=0，<cos2t>=0因為g0<0，所以a(T)>a運動方程解得形式為這里只考慮了Fourier展開式中的頭三項10當(dāng)系統(tǒng)與熱源處于熱平衡狀態(tài)時，雙原子的平均振動能振幅的平方與溫度成正比當(dāng)系統(tǒng)與熱源處于熱平衡狀態(tài)時，雙原子的平均振動能振幅的平方與11簡諧近似下：振動模式（聲子）無相互作用，無熱量交換無法進(jìn)入熱平衡狀態(tài)聲子數(shù)目不發(fā)生變化非簡諧效應(yīng)：振動模式（聲子）不再相互獨立聲子氣體不再是理想氣體在振動模式近似獨立的條件下，可以將高次項考慮為微擾簡諧近似下：振動模式（聲子）無相互作用，無熱量交換非簡諧效應(yīng)122.24熱膨脹簡諧非諧非諧平均位置1、定性解釋原子之間的相互作用勢能函數(shù)如圖所示。在溫度較低，原子在平衡位置附近的振動為微振動時，原子的左右位移具有對稱性，原子的左右最大位移絕對值相同，離開平衡點位移的平均值為零。相鄰原子之間的距離平均還是a，晶格膨脹不明顯。微振動的勢能展開式中，三次方和三次方以上項很小，可以忽略，這就是簡諧近似。簡諧近似下，原子之間的勢能函數(shù)是左右對稱的拋物線。當(dāng)溫度不很低時，原子的振動幅度較大，原子的左右位移不再具有對稱性，相鄰原子之間的平均距離大于a，并且，隨著溫度的增大，原子間距也增加，晶格發(fā)生熱膨脹。熱膨脹現(xiàn)象，在勢能展開式中，是三次方和三次方以上項引起的效應(yīng)，是一種非簡諧效應(yīng)。2.24熱膨脹簡諧非諧非諧平均位置1、定性解釋原子之間的13考慮一維原子鏈，如果兩個原子的間距為r，按照Boltzman統(tǒng)計，溫度T時原子的能量分布為兩個原子之間的平均距離為簡諧近似下，變換表明在簡諧近似下，平均間距不隨溫度變化而變化。2、定量計算考慮一維原子鏈，如果兩個原子的間距為r，按照Boltzman14利用條件考慮非簡諧效應(yīng)，相互作用勢能函數(shù)取到三次方項利用條件考慮非簡諧效應(yīng)，相互作用勢能函數(shù)取到三次方項15分母略去高次項后，可得考慮三次項后即可解釋熱膨脹，此時線膨脹系數(shù)是常數(shù)：分母略去高次項后，可得考慮三次項后即可解釋熱膨脹，此時線膨脹16固態(tài)氬的晶格常量與溫度的關(guān)系線膨脹系數(shù)直接與非簡諧系數(shù)有關(guān)。如果只計入勢能的三次項時，線膨脹系數(shù)與溫度無關(guān)，否則，還需計入勢能的更高次項?？紤]三次方以上的更高次項，膨脹系數(shù)就不再是線性的。上述討論只適用偏離平衡位置較小時的情況。溫度很高時，晶體已被溶化而不復(fù)存在。固態(tài)氬的晶格常量與溫度的關(guān)系線膨脹系數(shù)直接與非簡諧系數(shù)有關(guān)。172.25狀態(tài)方程：熱膨脹的熱力學(xué)處理1、基本概念系綜（ensemble）：代表一大群相類似的體系的集合。對一類相同性質(zhì)的體系，其微觀狀態(tài)（如每個粒子的位置和速度）仍然可以大不相同。正則系綜（canonicalensemble）：是統(tǒng)計力學(xué)中系綜的一種，代表了許多具有相同溫度的體系的集合。通常，系統(tǒng)內(nèi)每個體系的粒子數(shù)和體積都是相同的，但每個體系都可以和系綜內(nèi)其它體系交換能量，同時系綜里所有體系的能量總和，以及所有體系的總個數(shù)是固定的。在這些條件下，當(dāng)系綜內(nèi)所有體系被分配到不同的微觀狀態(tài)上，每個微觀狀態(tài)上的體系個數(shù)正比于2.25狀態(tài)方程：熱膨脹的熱力學(xué)處理1、基本概念系綜（18系統(tǒng)的絕大多數(shù)熱力學(xué)性質(zhì)都可以從配分函數(shù)中得到（）配分函數(shù)：是統(tǒng)計物理中經(jīng)常應(yīng)用到的概念。統(tǒng)計物理學(xué)通過對大量微觀粒子統(tǒng)計行為的計算，將微觀物理狀態(tài)與宏觀物理量相互聯(lián)系起來，而配分函數(shù)就是聯(lián)系微觀物理狀態(tài)和宏觀物理量的橋梁。系綜中每個態(tài)存在的可能性：Helmheltzfreeenergy:Internalenergy:Pressure:Entropy:Gibbsfreeenergy:Entholpy:Constantvolumeheatcapacity:Constantpressureheatcapacity:Chemicalpotential:系統(tǒng)的絕大多數(shù)熱力學(xué)性質(zhì)都可以從配分函數(shù)中得到（192、晶體狀態(tài)方程在不考慮原子振動情況下，晶體狀態(tài)方程：其中U是原子間相互作用勢能由熱力學(xué)理論可知，若能求出晶體的自由能F(T,V)，就可由下式求出狀態(tài)方程2、晶體狀態(tài)方程在不考慮原子振動情況下，晶體狀態(tài)方程：其中U20自由能的計算（簡諧近似）其中E0是絕對零度時的晶體內(nèi)能（原子間互作用勢能U），是晶體體積和原胞數(shù)的函數(shù)；nji是第j個振動模的一種可能的聲子數(shù)，則配分函數(shù)表達(dá)式為，，其中配分函數(shù)Z為取和是對所用可能的能量狀態(tài)取和，任一可能狀態(tài)的能量Ei可以由各個振動模的一種可能能量的疊加，表示為自由能的計算（簡諧近似）其中E0是絕對零度時的晶體內(nèi)能（原子21是第j個振動模的配分函數(shù)。代入自由能公式得，其中我們假定把非簡諧效應(yīng)考慮在內(nèi)時，上式也近似成立。自由能分為兩部分：F2：由晶格熱振動決定的自由能F1：與晶格振動無關(guān)，只與晶體體積有關(guān)的自由能（等于原子間的互作用勢能U）是第j個振動模的配分函數(shù)。代入自由能公式得，其中我們假定把非22格林愛森晶體狀態(tài)方程是一個無量綱的量，格林愛森（Grüneisen）假設(shè)該量近似對所有振動頻率相同（與頻率無關(guān)）。由于一般隨V增加而減小，>0是頻率為j的諧振子的平均能量溫度為T時晶格平均振動能（包括零點振動能）自由能中晶體的內(nèi)能E0（或U）是晶體體積的函數(shù)，同時，當(dāng)晶體體積改變時，格波頻率也將改變，即格波頻率j也是體積的函數(shù)，格林愛森晶體狀態(tài)方程是一23熱膨脹就是在給定的外壓強(qiáng)P下，體積隨溫度的變化，熱膨脹系數(shù)的定義為對各向同性的立方晶體，線膨脹系數(shù)是體膨脹系數(shù)的1/3，即熱膨脹與格林愛森常數(shù)利用熱力學(xué)關(guān)系按定義，體積彈性模量為熱膨脹就是在給定的外壓強(qiáng)P下，體積隨溫度的變化，熱膨脹系數(shù)的24對大多數(shù)固體而言，盡管溫度變化范圍可能較大，但體積的變化并不大。將dU/dV在平衡體積V0附近展開，并只保留V=V-V0的線性項，得到K為體積彈性模量（）式變?yōu)?，：體積形變引起的晶體內(nèi)部的壓強(qiáng)，晶體受壓時，V<0，晶體內(nèi)壓強(qiáng)增加；：由于晶格熱振動導(dǎo)致的晶體內(nèi)部的壓強(qiáng)，稱為熱壓強(qiáng)?？梢怨浪?，室溫下，熱壓強(qiáng)約為103atm。從狀態(tài)方程出發(fā)對大多數(shù)固體而言，盡管溫度變化范圍可能較大，但體積的變化并不25通常條件下，晶體處在1atm的作用下，有內(nèi)外壓強(qiáng)必定平衡，可以推知晶體內(nèi)總的壓強(qiáng)是1atm。1atm與103atm相比，可以忽略，有將上式兩邊對溫度求微商，得V是晶體的體膨脹系數(shù)。表明熱膨脹系數(shù)與格林愛森常數(shù)成正比。熱膨脹是非簡諧效應(yīng)，V和可作為檢驗非簡諧效應(yīng)的尺度。對大多數(shù)晶體，=1~3，小，晶格熱振動的非簡諧效應(yīng)小，大，非簡諧效應(yīng)大。=0對應(yīng)簡諧近似。（格林愛森定律）由于彈性模量和格林愛森常數(shù)基本與溫度無關(guān)，熱膨脹系數(shù)與溫度的關(guān)系與比熱相似。通常條件下，晶體處在1atm的作用下，有內(nèi)外壓強(qiáng)必定平衡，可26簡諧非諧U(T=0)U(T)熱膨脹與非簡諧效應(yīng)熱膨脹是無壓力時體積隨溫度的變化，令壓力為零，由格林愛森方程得，在簡諧近似下，頻率與晶格常數(shù)無關(guān)，溫度大于零，體積必定增大簡諧非諧U(T=0)U(T)熱膨脹與非簡諧效應(yīng)熱膨脹是無壓力27一維單原子鏈的色散關(guān)系設(shè)原子鏈對應(yīng)的截面積為S，則其體積V=NaS由于q=2l/(Na)，1/2(qa)=l/N與a無關(guān)，即與體積無關(guān)。對色散關(guān)系取對數(shù)，再對體積V的對數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得到一維單原子鏈熱膨脹現(xiàn)象中，體積V發(fā)生變化也就是原子間距a發(fā)射概念變化，力常數(shù)為格林愛森常數(shù)與原子間相互作用勢能函數(shù)泰勒展開式的三次方系數(shù)成正比。一維單原子鏈的色散關(guān)系設(shè)原子鏈對應(yīng)的截面積為S，則其體積V=28當(dāng)晶體體積膨脹時，da>0，即原子間的平衡距離增大。原子相距越遠(yuǎn)，回復(fù)力系數(shù)越小，當(dāng)距離很遠(yuǎn)時，原子間不存在相互作用，力系數(shù)為零。這說明，da>0時，d<0。反之，當(dāng)體積縮小時，da<0，d>0。由此可知，格林愛森常數(shù)恒大于零。式中加一負(fù)號是為了保證為正值。在簡諧近似下，忽略了三次方項和三次方以上的項，即令這些項的系數(shù)為零，則=0，這時將不會發(fā)生熱膨脹。Ge的格林愛森常數(shù)與波矢、與不同振動模的關(guān)系，甚至還有負(fù)數(shù)當(dāng)晶體體積膨脹時，da>0，即原子間的平衡距離增大。原子相距29定義：當(dāng)固體中溫度分布不均勻時，將會有熱能從高溫處流向低溫處，這種現(xiàn)象稱為熱傳導(dǎo)。表達(dá)式：熱流密度（j）：單位時間內(nèi)通過單位截面?zhèn)鬏數(shù)臒崮?；熱傳?dǎo)系數(shù)（熱導(dǎo)率k）；負(fù)號表明熱能傳輸總是從高溫流向低溫?zé)醾鲗?dǎo)的種類：固體中可以通過電子運動導(dǎo)熱（電子熱導(dǎo)），也可以通過格波的傳播導(dǎo)熱（晶格熱導(dǎo)）。絕緣體和一般半導(dǎo)體中的熱傳導(dǎo)主要是靠晶格的熱導(dǎo)。該式意味著能量傳輸過程是一個無規(guī)過程，晶格熱導(dǎo)并不簡單是格波的“自由”傳播。因為如果是自由傳播的話，熱流密度的表達(dá)式將不是依賴于溫度梯度，而是依賴于樣品兩端的溫度差。2.26熱傳導(dǎo)1、基本概念定義：當(dāng)固體中溫度分布不均勻時，將會有熱能從高溫處流向低溫處30簡諧振動熱傳導(dǎo)？與溫度有關(guān)的聲子分布的均勻過程如何建立？靠相互作用，靠碰撞？簡諧近似：小振動理論（簡諧近似）得到的結(jié)果是不同格波間是完全獨立的，不存在不同聲子之間的相互碰撞，這種情況相當(dāng)于完全忽略氣體分子之間的相互作用。如果果真如此，格波不可能達(dá)到統(tǒng)計平衡。必須考慮非簡諧效應(yīng)——非諧作用使不同格波之間存在一定的耦合，正是這種非諧作用保證不同格波間可以交換能量，達(dá)到統(tǒng)計平衡。簡諧振動熱傳導(dǎo)？與溫度有關(guān)的聲子分布的均勻過程如何建立？31考察理想氣體的熱傳導(dǎo)試問什么在氣體熱傳導(dǎo)過程中起決定性作用？碰撞！溫度高區(qū)域的分子運動到溫度低的區(qū)域時，通過碰撞，把平均動能傳給其它分子；反過來也一樣，這樣的能量傳遞宏觀上就表現(xiàn)為熱傳導(dǎo)，熱導(dǎo)率為：理想氣體：溫差能量輸運熱傳導(dǎo)CV：單位體積的熱容；：平均自由程：熱運動的平均速度2、晶格振動的熱傳導(dǎo)考察理想氣體的熱傳導(dǎo)試問什么在氣體熱傳導(dǎo)過程中起決定性作用？32將有限溫度下的晶體想象成包含聲子氣的容器，不同模式的聲子具有不同的動量、能量；晶格振動的熱傳導(dǎo)假設(shè)晶體的比熱為CV，晶體存在溫度差，高溫的一端，晶體的晶格振動將具有較多的振動模式和較大的振動幅度，也即較多的聲子被激發(fā)。當(dāng)這些格波傳至晶體的冷端，使那里的晶格振動趨于具有同樣多的振動模式和幅度，這樣聲子就把熱量從晶體一端傳到另一端；熱端冷端聲子氣體如果晶格振動間也即聲子間不存在相互作用，則熱導(dǎo)系數(shù)κ將為無窮大，即在晶體內(nèi)不能存在溫度梯度。（對N過程，由于總動量守恒，熱導(dǎo)也為無窮大）。將有限溫度下的晶體想象成包含聲子氣的容器，不同模式的聲子具有33考慮非簡諧效應(yīng)，聲子之間存在相互作用，當(dāng)它們從一端移向另一端時，相互間會發(fā)生碰撞，也會與晶體中的缺陷發(fā)生碰撞，因此聲子在晶體中移動時，有一個在兩次碰撞之間聲子所走過的路程，即平均自由程，為兩次碰撞間聲子移動的距離，設(shè)為聲子兩次碰撞間的相隔時間，則假設(shè)晶體內(nèi)溫度梯度為dT/dx，則在晶體中距離相差的兩個區(qū)域間的溫度差T可寫成：聲子移動后，把熱量CVT從距離的一端攜帶到另一端。若聲子在晶體中沿x方向的移動速率為x，則單位時間內(nèi)通過單位面積的熱量，即熱能流密度j寫成：是對所有聲子的平均值由能量均分原理得，熱流密度改寫為考慮非簡諧效應(yīng)，聲子之間存在相互作用，當(dāng)它們從一端移向另一端34晶格振動的熱傳導(dǎo)因此如果將晶格熱運動系統(tǒng)看作是聲子氣，則晶格導(dǎo)熱就是聲子擴(kuò)散的過程看作從聲子密度高的區(qū)域向低的區(qū)域擴(kuò)散聲子是能量子，聲子的“定向流動”就意味著能量輸運，形成熱傳導(dǎo)晶格振動聲子聲子數(shù)分布與溫度有關(guān)！當(dāng)樣品內(nèi)存在溫度梯度時，“聲子氣體”的密度分布是不均勻的，高溫處“聲子”密度高，低溫處“聲子”密度低，因而“聲子”氣體在無規(guī)則的基礎(chǔ)上產(chǎn)生平均的定向的運動，即聲子的擴(kuò)散運動。晶格振動的熱傳導(dǎo)因此如果將晶格熱運動系統(tǒng)看作是聲子氣，則晶格35晶體熱傳導(dǎo)系數(shù)如果勢能的非簡諧項比簡諧項小得多時，用微擾，這時聲子仍可看作理想氣體，但聲子之間有相互作用——碰撞用與理想氣體同樣的方法得到同樣的結(jié)果：比熱CV已知，平均速度p為聲子速度（為了簡化通常取固體中的聲速），為聲子平均自由程。晶體熱傳導(dǎo)系數(shù)如果勢能的非簡諧項比簡諧項小得多時，用微擾，這363、影響聲子平均自由程的因素（定性分析）聲子平均自由程的大小由兩種過程來決定：聲子之間的碰撞，它是非簡諧效應(yīng)的反映晶體中雜質(zhì)、缺陷以及晶體邊界對聲子的散射一個聲子的存在會引起周期性彈性應(yīng)變；這種彈性應(yīng)變?nèi)绻^大，則不可能再用簡諧近似來描述；這樣，非簡諧彈性應(yīng)變對晶體的彈性常數(shù)產(chǎn)生空間和時間上的調(diào)制第二個聲子感受到這種彈性常數(shù)的調(diào)制，受到散射而產(chǎn)生第三個聲子3、影響聲子平均自由程的因素（定性分析）聲子平均自由程的大小37聲子碰撞（耦合）（1）處理方法考慮非簡諧項后，一維單原子鏈運動方程的求解：方程求解復(fù)雜，特別是非諧項比較大時，完全不能用類似的方法表述。處理弱非簡諧情況時，可把簡諧近似下得到的相互獨立的簡諧振子解作為基礎(chǔ)，把非簡諧項作為微擾來處理，這就導(dǎo)致聲子之間存在著相互作用，就會發(fā)生碰撞，能量改變且只有有限的壽命。一種頻率的聲子可以湮滅而產(chǎn)生另一種頻率的聲子，這樣經(jīng)過一段時間后，各種頻率的聲子數(shù)目就會達(dá)到和環(huán)境溫度相平衡的分布。聲子碰撞（耦合）（1）處理方法考慮非簡諧項后，一維單原子鏈運38通過非簡諧項的作用，本來相互獨立的諧振子之間發(fā)生耦合。不同格波之間的相互作用，表示為聲子間的“碰撞”。非諧作用中的勢能三次方項對應(yīng)三聲子過程：二個聲子碰撞產(chǎn)生另外一個聲子或一個聲子劈裂成二個聲子。非諧作用中勢能四次方項則對應(yīng)四個聲子相互作用的過程。在熱傳導(dǎo)問題中，聲子的碰撞起著限制聲子平均自由程的作用。（2）聲子與聲子之間的碰撞三聲子相互“碰撞”的示意圖聲子間相互“碰撞”需要滿足能量守恒和準(zhǔn)動量守恒關(guān)系，以二個聲子碰撞產(chǎn)生另一個聲子的三聲子過程為例，有：其中表示倒格子矢量通過非簡諧項的作用，本來相互獨立的諧振子之間發(fā)生耦合。不同格39這里波矢q3和波矢q3+Gh是對同一聲子的，表述了同樣一個運動狀態(tài)。由于波數(shù)必須在第一布里淵區(qū)取值，因此動量守恒的要求會存在兩種情況：q3仍在第一布里淵區(qū)內(nèi)的稱為正常過程，此時新聲子的q值等于第一布里淵區(qū)內(nèi)某個值q3加一個倒易矢量Gh的稱為倒逆過程，此時這里波矢q3和波矢q3+Gh是對同一聲子的，表述了同樣一個運40（3）正常過程（N過程，NormalProcess）正常過程正常過程，對應(yīng)q1和q2較小；聲子的動量沒有發(fā)生變化，因此，N過程只改變聲子的動量分布；如果聲子的總動量為零，就沒有熱流在熱平衡下，由于，因此，N過程由于只改變聲子的動量分布，而基本上不影響熱流的方向，對熱阻是沒有貢獻(xiàn)的（3）正常過程（N過程，NormalProcess）正常過41正常過程能使系統(tǒng)達(dá)到熱平衡嗎？外界干擾使聲子獲得了某一方向的定向運動的動量，在由非平衡態(tài)向平衡態(tài)過渡時，定向運動的動量應(yīng)當(dāng)逐漸減到零，這樣才能使系統(tǒng)進(jìn)入熱平衡狀態(tài)。為了能進(jìn)入熱平衡狀態(tài)，顯然應(yīng)當(dāng)存在這樣一種機(jī)制，它能衰減聲子定向運動的動量。正常過程并沒有使動量衰減，系統(tǒng)總的動量不變，定向運動沒有被衰減。正常過程對實現(xiàn)熱平衡沒有貢獻(xiàn)。正常過程能使系統(tǒng)達(dá)到熱平衡嗎？外界干擾使聲子獲得了某一方向的42（4）翻轉(zhuǎn)過程（U過程，UmklappProcess）翻轉(zhuǎn)過程聲子的總動量改變了一個非零的倒格矢的動量對應(yīng)q1和q2較大，與布里淵區(qū)的尺度可比時才能發(fā)生U過程，能量大的格波參與才能發(fā)生；在翻轉(zhuǎn)過程中使聲子的動量發(fā)生很大變化（如圖所示，是向“右”的，碰撞后是向“左”的），從而破壞了熱流的方向，U過程對熱阻是有貢獻(xiàn)的，對熱導(dǎo)率的下降十分有效。U過程要求q1和q2較大，這樣屬性的聲子數(shù)隨溫度很快下降，因此，U過程可改變聲子數(shù)的分布。（4）翻轉(zhuǎn)過程（U過程，UmklappProcess）翻轉(zhuǎn)43倒逆過程能使系統(tǒng)達(dá)到熱平衡嗎？外界干擾使聲子獲得了某一方向的定向運動的動量，在由非平衡態(tài)向平衡態(tài)過渡時，定向運動的動量應(yīng)當(dāng)逐漸減到零，這樣才能使系統(tǒng)進(jìn)入熱平衡狀態(tài)。為了能進(jìn)入熱平衡狀態(tài)，顯然應(yīng)當(dāng)存在這樣一種機(jī)制，它能衰減聲子定向運動的動量。倒逆過程使得聲子某個方向動量發(fā)生倒轉(zhuǎn)，從而衰減了整個聲子團(tuán)的動量。倒逆過程對實現(xiàn)熱平衡（熱傳導(dǎo)）有貢獻(xiàn)。倒逆過程能使系統(tǒng)達(dá)到熱平衡嗎？外界干擾使聲子獲得了某一方向的44聲子能量、動量守恒關(guān)系圖（將原點移到1）LATAN過程U過程聲子能量、動量守恒關(guān)系圖（將原點移到1）LATAN過程U過45（5）發(fā)生U過程/N過程的可能性估算（5）發(fā)生U過程/N過程的可能性估算46第一BZ的尺寸與德拜球的半徑有相同的數(shù)量級，若兩個聲子碰撞后產(chǎn)生的第三個聲子要超出第一BZ，則這兩個聲子的波矢應(yīng)在1/2qD附近，這樣的聲子的能量為類似的聲子數(shù)目在高溫下是比較多的，在低溫下是比較少的，根據(jù)玻色分布當(dāng)T>>D，具有的聲子數(shù)與溫度成正比，隨著溫度的升高，達(dá)到能量的聲子數(shù)相當(dāng)多，聲子與聲子的碰撞主要是倒逆過程。當(dāng)T<<D，具有的聲子數(shù)隨著溫度的下降按指數(shù)下降，因此在低溫下發(fā)生倒逆過程的聲子數(shù)目是急劇下降的，倒逆過程發(fā)生的幾率很小，聲子與聲子的碰撞主要是正常過程，倒逆過程在低溫下是凍結(jié)的，平均自由程是比較長的。第一BZ的尺寸與德拜球的半徑有相同的數(shù)量級，若兩個聲子碰撞后47典型非金屬材料的熱導(dǎo)率和平均自由程室溫下，這些晶體中聲子的平均自由程只有幾十個納米，即幾百個原子間距內(nèi)就會發(fā)生碰撞，所以晶體熱導(dǎo)率的數(shù)值有限。典型非金屬材料的熱導(dǎo)率和平均自由程室溫下，這些晶體中聲子的平48（1）聲子與晶體中的缺陷（雜質(zhì)、位錯）碰撞晶體的不完整性，如雜質(zhì)和缺陷，也散射聲子。這時因為它們部分破壞了理想的周期性，而它恰好是格波自由傳播概念的基礎(chǔ)；與基質(zhì)原子質(zhì)量不同的替代式雜質(zhì)引起波在雜質(zhì)處散射。質(zhì)量差別和雜質(zhì)密度越大，則散射越強(qiáng)，平均自由程越短；特別是在低溫下，聲子間相互碰撞的作用迅速減弱，自由程將由其它散射所決定。雜質(zhì)、缺陷、邊界散射、尺寸效應(yīng)（1）聲子與晶體中的缺陷（雜質(zhì)、位錯）碰撞晶體的不完整性，如49（2）聲子和樣品的外部邊界發(fā)生碰撞在很低的溫度（<10K），聲子-聲子以及聲子-不完整性的碰撞都變得無效，因為在前面的情形，僅有少數(shù)聲子存在，而在后面的情形，在這樣低的溫度所激發(fā)的聲子是長波聲子，這時由于衍射作用，雜質(zhì)、缺陷不再是有效的散射體（即這些聲子不能被大小比波長小得多的物體如雜質(zhì)有效地散射）。聲子數(shù)隨溫度降低按指數(shù)規(guī)律急劇下降，則增大很快，當(dāng)溫度下降到接近0K時，。但這時即使在很純的晶體中，熱導(dǎo)率仍是有限的，這是晶體邊界對聲子的散射所致。隨溫度降低，增大。當(dāng)增大到與晶體尺寸可相比擬時，則聲子的就由樣品的邊界決定，不再增大，D。而且在很低的溫度下，U過程出現(xiàn)的幾率很小，邊界散射成為主要因素。這種情況稱為尺寸效應(yīng)，此時點陣的熱導(dǎo)率（2）聲子和樣品的外部邊界發(fā)生碰撞在很低的溫度（<10K），50高溫典型情況：高溫時，平均聲子數(shù)為高溫時，比熱與溫度無關(guān)，則：4、聲子平均自由程與溫度的關(guān)系聲子數(shù)隨溫度增加，碰撞幾率增大，平均自由程減小，且與溫度成反比即在高溫時，平均聲子數(shù)正比于溫度T高溫典型情況：高溫時，平均聲子數(shù)為高溫時，比熱與溫度無關(guān)，則51低溫典型情況：因為這時真正起作用的是U過程，自由程的增大是可以參與U過程的聲子數(shù)急劇減小的結(jié)果；低溫時，U過程需要聲子波矢大，至少有一個聲子的波矢與Debye波矢相當(dāng)，這時聲子數(shù)為：即在低溫時，這樣平均聲子數(shù)隨溫度T增大迅速下降，碰撞幾率減小，平均自由程迅速增大基本上由樣品線度決定：低溫典型情況：因為這時真正起作用的是U過程，自由程的增大是可525、熱導(dǎo)率的影響因素：示例圓柱型藍(lán)寶石樣品低溫?zé)釋?dǎo)率：d=1.02mm：d=1.55mm+：d=2.80mm在峰值和它左邊更低溫度范圍，樣品表面散射已成為主要限制自由程的因素，因此，尺寸小的樣品自由程較短，熱導(dǎo)更低；在這種情況下，熱導(dǎo)率隨溫度的變化主要決定于比熱，熱導(dǎo)率隨溫度下降趨近T3關(guān)系。在峰值右邊，熱導(dǎo)率隨T下降而陡峻上升，在這個溫度范圍自由程主要由聲子間相互碰撞所決定，基本符合關(guān)系。5、熱導(dǎo)率的影響因素：示例圓柱型藍(lán)寶石樣品低溫?zé)釋?dǎo)率：d=53合金的熱導(dǎo)率原子無序分布給熱導(dǎo)率帶來的影響：雜質(zhì)、缺陷參與聲子散射，使得平均自由程減小，熱導(dǎo)率降低合金的熱導(dǎo)率原子無序分布給熱導(dǎo)率帶來的影響：雜質(zhì)、缺陷參與聲54熱導(dǎo)率與雜質(zhì)鍺晶體同位素效應(yīng)對熱導(dǎo)率的影響。富集樣品中含有96%的Ge74，而天然樣品含有不足40%的Ge74，所以前者熱導(dǎo)率大于后者。LiF晶體中同位素效應(yīng)對熱導(dǎo)率的影響，與Ge晶體同位素效應(yīng)對熱導(dǎo)率的影響結(jié)果是一致的。熱導(dǎo)率與雜質(zhì)鍺晶體同位素效應(yīng)對熱導(dǎo)率的影響。富集樣品中含有955第二章4-固體物理課件56聲子氣體和真實氣體的熱傳導(dǎo)過程示意圖熱端熱端冷端冷端聲子氣體真實氣體聲子氣體和真實氣體的熱傳導(dǎo)過程示意圖熱端熱端冷端冷端聲子氣體57TheClassicalGasvs.thePhononGasTheClassicalGasvs.thePhon58精品課件！精品課件！59精品課件！精品課件！60關(guān)鍵是改變聲子分布看上去是平均自由程，關(guān)鍵是改變聲子數(shù)分布；晶體中存在這樣的機(jī)制，使聲子分布可以局域地趨于平衡。否則，不能說晶體一端的聲子處于T1的熱平衡中，另一端處于T2的熱平衡中；這就需要建立使聲子趨于平衡的機(jī)制，這就是聲子之間的碰撞，三聲子碰撞；N過程不能建立熱平衡兩個動量在某一方向的聲子碰撞，產(chǎn)生一個動量方向相反的聲子，改變了聲子的分布，對熱傳導(dǎo)有貢獻(xiàn)。不改變總動量，某溫度下的聲子局域平衡分布可以以某個漂移速度在晶體中運動，熱流一旦建立，永不衰減。U過程對改變聲子數(shù)分布最有效關(guān)鍵是改變聲子分布看上去是平均自由程，關(guān)鍵是改變聲子數(shù)分布；612.23非簡諧效應(yīng)將晶體中原子之間的相互作用勢能函數(shù)U(r)，在平衡位置r=a附近進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，常數(shù)定義為零平衡微商為零簡諧項非簡諧項U(a)是原子間距為平衡間距時的勢能。前面討論晶格振動是在簡諧近似下進(jìn)行的，即忽略了泰勒展開式中的三次方和三次方以上項。在晶體原子相互作用勢能展開式中，三次方和三次方以上的項稱為非簡諧項，有些物理效應(yīng)是由非簡諧項引起的，討論這些物理效應(yīng)就必須考慮非簡諧項。由非簡諧項引起的效應(yīng)稱為非簡諧效應(yīng)，典型的非簡諧效應(yīng)有熱膨脹和熱傳導(dǎo)。2.23非簡諧效應(yīng)將晶體中原子之間的相互作用勢能函數(shù)U(62在簡諧近似下，相互作用勢能只保留到二次方項，晶格振動為一系列線性獨立的諧振子（格波）。互相獨立的格波既不發(fā)生相互作用，也不交換能量。這樣的聲子既不能把能量傳遞給其它頻率的聲子，也不能處于熱平衡。1、簡諧近似的不足簡諧近似，勢能為拋物線，兩邊對稱在簡諧近似下，相互作用勢能只保留到二次方項，晶格振動為一系列63簡諧近似下的運動方程：簡諧近似下的解：線性變換引入簡正坐標(biāo)動能項和勢能項沒有交叉項，意味著每個簡諧振動模式（聲子）之間沒有相互作用簡諧近似下的運動方程：簡諧近似下的解：線性變換引入簡正坐標(biāo)動64在簡諧近似下，得出了一些與事實不符合的結(jié)論：沒有熱膨脹（原子的平衡位置不依賴于溫度）；力常數(shù)和彈性常數(shù)不依賴于溫度和壓力；高溫時熱容量是常數(shù)（Dulong-Petit定律）；等容熱容和等壓熱容相等（CV=Cp）；聲子間不存在相互作用，聲子的平均自由程和壽命都是無限的，或者說，兩個點陣波之間不發(fā)生相互作用，單個波不衰減或不隨時間改變形式；沒有雜質(zhì)和缺陷的簡諧晶體的熱導(dǎo)是無限大的；對完美的簡諧晶體而言，紅外吸收峰、Raman和Briiouin散射峰以及非彈性散射峰寬應(yīng)為零。在簡諧近似下，得出了一些與事實不符合的結(jié)論：沒有熱膨脹（原子652、相互作用勢能的非簡諧項常數(shù)定義為零平衡微商為零簡諧項非簡諧項2、相互作用勢能的非簡諧項常數(shù)定義為零平衡微商為零簡諧項非簡66非簡諧項，代表原子之間排斥作用的非對稱性>0時，，吸引力減?。?lt;0時，，排斥力增大。考慮這一非簡諧項后，勢能曲線不對稱：>0一邊比較平緩，<0一邊則比較陡峭。因此非簡諧振動，使原子間產(chǎn)生一定的相互斥力，從而引起熱膨脹。所以熱膨脹是一種晶格振動的非簡諧效應(yīng)。非簡諧項，代表原子之間排斥作用的非對稱性>0時，67非簡諧項，代表在大振幅下振動的軟化考慮二階項和四階項，有回復(fù)力常數(shù)減小，振動軟化。非簡諧項，代表在大振幅下振動的軟化考慮二階項和四階項，有回復(fù)68力常數(shù)小rU(r)力常數(shù)大力常數(shù)對勢能的影響rU(r)四次方項對勢能的影響簡諧勢非簡諧勢力常數(shù)小rU(r)力常數(shù)大力常數(shù)對勢能的影響rU(r)四次方693、非簡諧近似下的解考慮諧振子方程中的非簡諧項，雙原子運動方程是兩原子的約化質(zhì)量令3、非簡諧近似下的解考慮諧振子方程中的非簡諧項，雙原子運動方70運動方程解得形式為這里只考慮了Fourier展開式中的頭三項，所以只有2項，如果考慮3項，則會有3的項。將方程的解代入運動方程，并假定sA<<1，有利用方程的解，并考慮<cost>=0，<cos2t>=0因為g0<0，所以a(T)>a運動方程解得形式為這里只考慮了Fourier展開式中的頭三項71當(dāng)系統(tǒng)與熱源處于熱平衡狀態(tài)時，雙原子的平均振動能振幅的平方與溫度成正比當(dāng)系統(tǒng)與熱源處于熱平衡狀態(tài)時，雙原子的平均振動能振幅的平方與72簡諧近似下：振動模式（聲子）無相互作用，無熱量交換無法進(jìn)入熱平衡狀態(tài)聲子數(shù)目不發(fā)生變化非簡諧效應(yīng)：振動模式（聲子）不再相互獨立聲子氣體不再是理想氣體在振動模式近似獨立的條件下，可以將高次項考慮為微擾簡諧近似下：振動模式（聲子）無相互作用，無熱量交換非簡諧效應(yīng)732.24熱膨脹簡諧非諧非諧平均位置1、定性解釋原子之間的相互作用勢能函數(shù)如圖所示。在溫度較低，原子在平衡位置附近的振動為微振動時，原子的左右位移具有對稱性，原子的左右最大位移絕對值相同，離開平衡點位移的平均值為零。相鄰原子之間的距離平均還是a，晶格膨脹不明顯。微振動的勢能展開式中，三次方和三次方以上項很小，可以忽略，這就是簡諧近似。簡諧近似下，原子之間的勢能函數(shù)是左右對稱的拋物線。當(dāng)溫度不很低時，原子的振動幅度較大，原子的左右位移不再具有對稱性，相鄰原子之間的平均距離大于a，并且，隨著溫度的增大，原子間距也增加，晶格發(fā)生熱膨脹。熱膨脹現(xiàn)象，在勢能展開式中，是三次方和三次方以上項引起的效應(yīng)，是一種非簡諧效應(yīng)。2.24熱膨脹簡諧非諧非諧平均位置1、定性解釋原子之間的74考慮一維原子鏈，如果兩個原子的間距為r，按照Boltzman統(tǒng)計，溫度T時原子的能量分布為兩個原子之間的平均距離為簡諧近似下，變換表明在簡諧近似下，平均間距不隨溫度變化而變化。2、定量計算考慮一維原子鏈，如果兩個原子的間距為r，按照Boltzman75利用條件考慮非簡諧效應(yīng)，相互作用勢能函數(shù)取到三次方項利用條件考慮非簡諧效應(yīng)，相互作用勢能函數(shù)取到三次方項76分母略去高次項后，可得考慮三次項后即可解釋熱膨脹，此時線膨脹系數(shù)是常數(shù)：分母略去高次項后，可得考慮三次項后即可解釋熱膨脹，此時線膨脹77固態(tài)氬的晶格常量與溫度的關(guān)系線膨脹系數(shù)直接與非簡諧系數(shù)有關(guān)。如果只計入勢能的三次項時，線膨脹系數(shù)與溫度無關(guān)，否則，還需計入勢能的更高次項。考慮三次方以上的更高次項，膨脹系數(shù)就不再是線性的。上述討論只適用偏離平衡位置較小時的情況。溫度很高時，晶體已被溶化而不復(fù)存在。固態(tài)氬的晶格常量與溫度的關(guān)系線膨脹系數(shù)直接與非簡諧系數(shù)有關(guān)。782.25狀態(tài)方程：熱膨脹的熱力學(xué)處理1、基本概念系綜（ensemble）：代表一大群相類似的體系的集合。對一類相同性質(zhì)的體系，其微觀狀態(tài)（如每個粒子的位置和速度）仍然可以大不相同。正則系綜（canonicalensemble）：是統(tǒng)計力學(xué)中系綜的一種，代表了許多具有相同溫度的體系的集合。通常，系統(tǒng)內(nèi)每個體系的粒子數(shù)和體積都是相同的，但每個體系都可以和系綜內(nèi)其它體系交換能量，同時系綜里所有體系的能量總和，以及所有體系的總個數(shù)是固定的。在這些條件下，當(dāng)系綜內(nèi)所有體系被分配到不同的微觀狀態(tài)上，每個微觀狀態(tài)上的體系個數(shù)正比于2.25狀態(tài)方程：熱膨脹的熱力學(xué)處理1、基本概念系綜（79系統(tǒng)的絕大多數(shù)熱力學(xué)性質(zhì)都可以從配分函數(shù)中得到（）配分函數(shù)：是統(tǒng)計物理中經(jīng)常應(yīng)用到的概念。統(tǒng)計物理學(xué)通過對大量微觀粒子統(tǒng)計行為的計算，將微觀物理狀態(tài)與宏觀物理量相互聯(lián)系起來，而配分函數(shù)就是聯(lián)系微觀物理狀態(tài)和宏觀物理量的橋梁。系綜中每個態(tài)存在的可能性：Helmheltzfreeenergy:Internalenergy:Pressure:Entropy:Gibbsfreeenergy:Entholpy:Constantvolumeheatcapacity:Constantpressureheatcapacity:Chemicalpotential:系統(tǒng)的絕大多數(shù)熱力學(xué)性質(zhì)都可以從配分函數(shù)中得到（802、晶體狀態(tài)方程在不考慮原子振動情況下，晶體狀態(tài)方程：其中U是原子間相互作用勢能由熱力學(xué)理論可知，若能求出晶體的自由能F(T,V)，就可由下式求出狀態(tài)方程2、晶體狀態(tài)方程在不考慮原子振動情況下，晶體狀態(tài)方程：其中U81自由能的計算（簡諧近似）其中E0是絕對零度時的晶體內(nèi)能（原子間互作用勢能U），是晶體體積和原胞數(shù)的函數(shù)；nji是第j個振動模的一種可能的聲子數(shù)，則配分函數(shù)表達(dá)式為，，其中配分函數(shù)Z為取和是對所用可能的能量狀態(tài)取和，任一可能狀態(tài)的能量Ei可以由各個振動模的一種可能能量的疊加，表示為自由能的計算（簡諧近似）其中E0是絕對零度時的晶體內(nèi)能（原子82是第j個振動模的配分函數(shù)。代入自由能公式得，其中我們假定把非簡諧效應(yīng)考慮在內(nèi)時，上式也近似成立。自由能分為兩部分：F2：由晶格熱振動決定的自由能F1：與晶格振動無關(guān)，只與晶體體積有關(guān)的自由能（等于原子間的互作用勢能U）是第j個振動模的配分函數(shù)。代入自由能公式得，其中我們假定把非83格林愛森晶體狀態(tài)方程是一個無量綱的量，格林愛森（Grüneisen）假設(shè)該量近似對所有振動頻率相同（與頻率無關(guān)）。由于一般隨V增加而減小，>0是頻率為j的諧振子的平均能量溫度為T時晶格平均振動能（包括零點振動能）自由能中晶體的內(nèi)能E0（或U）是晶體體積的函數(shù)，同時，當(dāng)晶體體積改變時，格波頻率也將改變，即格波頻率j也是體積的函數(shù)，格林愛森晶體狀態(tài)方程是一84熱膨脹就是在給定的外壓強(qiáng)P下，體積隨溫度的變化，熱膨脹系數(shù)的定義為對各向同性的立方晶體，線膨脹系數(shù)是體膨脹系數(shù)的1/3，即熱膨脹與格林愛森常數(shù)利用熱力學(xué)關(guān)系按定義，體積彈性模量為熱膨脹就是在給定的外壓強(qiáng)P下，體積隨溫度的變化，熱膨脹系數(shù)的85對大多數(shù)固體而言，盡管溫度變化范圍可能較大，但體積的變化并不大。將dU/dV在平衡體積V0附近展開，并只保留V=V-V0的線性項，得到K為體積彈性模量（）式變?yōu)?，：體積形變引起的晶體內(nèi)部的壓強(qiáng)，晶體受壓時，V<0，晶體內(nèi)壓強(qiáng)增加；：由于晶格熱振動導(dǎo)致的晶體內(nèi)部的壓強(qiáng)，稱為熱壓強(qiáng)。可以估算，室溫下，熱壓強(qiáng)約為103atm。從狀態(tài)方程出發(fā)對大多數(shù)固體而言，盡管溫度變化范圍可能較大，但體積的變化并不86通常條件下，晶體處在1atm的作用下，有內(nèi)外壓強(qiáng)必定平衡，可以推知晶體內(nèi)總的壓強(qiáng)是1atm。1atm與103atm相比，可以忽略，有將上式兩邊對溫度求微商，得V是晶體的體膨脹系數(shù)。表明熱膨脹系數(shù)與格林愛森常數(shù)成正比。熱膨脹是非簡諧效應(yīng)，V和可作為檢驗非簡諧效應(yīng)的尺度。對大多數(shù)晶體，=1~3，小，晶格熱振動的非簡諧效應(yīng)小，大，非簡諧效應(yīng)大。=0對應(yīng)簡諧近似。（格林愛森定律）由于彈性模量和格林愛森常數(shù)基本與溫度無關(guān)，熱膨脹系數(shù)與溫度的關(guān)系與比熱相似。通常條件下，晶體處在1atm的作用下，有內(nèi)外壓強(qiáng)必定平衡，可87簡諧非諧U(T=0)U(T)熱膨脹與非簡諧效應(yīng)熱膨脹是無壓力時體積隨溫度的變化，令壓力為零，由格林愛森方程得，在簡諧近似下，頻率與晶格常數(shù)無關(guān)，溫度大于零，體積必定增大簡諧非諧U(T=0)U(T)熱膨脹與非簡諧效應(yīng)熱膨脹是無壓力88一維單原子鏈的色散關(guān)系設(shè)原子鏈對應(yīng)的截面積為S，則其體積V=NaS由于q=2l/(Na)，1/2(qa)=l/N與a無關(guān)，即與體積無關(guān)。對色散關(guān)系取對數(shù)，再對體積V的對數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得到一維單原子鏈熱膨脹現(xiàn)象中，體積V發(fā)生變化也就是原子間距a發(fā)射概念變化，力常數(shù)為格林愛森常數(shù)與原子間相互作用勢能函數(shù)泰勒展開式的三次方系數(shù)成正比。一維單原子鏈的色散關(guān)系設(shè)原子鏈對應(yīng)的截面積為S，則其體積V=89當(dāng)晶體體積膨脹時，da>0，即原子間的平衡距離增大。原子相距越遠(yuǎn)，回復(fù)力系數(shù)越小，當(dāng)距離很遠(yuǎn)時，原子間不存在相互作用，力系數(shù)為零。這說明，da>0時，d<0。反之，當(dāng)體積縮小時，da<0，d>0。由此可知，格林愛森常數(shù)恒大于零。式中加一負(fù)號是為了保證為正值。在簡諧近似下，忽略了三次方項和三次方以上的項，即令這些項的系數(shù)為零，則=0，這時將不會發(fā)生熱膨脹。Ge的格林愛森常數(shù)與波矢、與不同振動模的關(guān)系，甚至還有負(fù)數(shù)當(dāng)晶體體積膨脹時，da>0，即原子間的平衡距離增大。原子相距90定義：當(dāng)固體中溫度分布不均勻時，將會有熱能從高溫處流向低溫處，這種現(xiàn)象稱為熱傳導(dǎo)。表達(dá)式：熱流密度（j）：單位時間內(nèi)通過單位截面?zhèn)鬏數(shù)臒崮?；熱傳?dǎo)系數(shù)（熱導(dǎo)率k）；負(fù)號表明熱能傳輸總是從高溫流向低溫?zé)醾鲗?dǎo)的種類：固體中可以通過電子運動導(dǎo)熱（電子熱導(dǎo)），也可以通過格波的傳播導(dǎo)熱（晶格熱導(dǎo)）。絕緣體和一般半導(dǎo)體中的熱傳導(dǎo)主要是靠晶格的熱導(dǎo)。該式意味著能量傳輸過程是一個無規(guī)過程，晶格熱導(dǎo)并不簡單是格波的“自由”傳播。因為如果是自由傳播的話，熱流密度的表達(dá)式將不是依賴于溫度梯度，而是依賴于樣品兩端的溫度差。2.26熱傳導(dǎo)1、基本概念定義：當(dāng)固體中溫度分布不均勻時，將會有熱能從高溫處流向低溫處91簡諧振動熱傳導(dǎo)？與溫度有關(guān)的聲子分布的均勻過程如何建立？靠相互作用，靠碰撞？簡諧近似：小振動理論（簡諧近似）得到的結(jié)果是不同格波間是完全獨立的，不存在不同聲子之間的相互碰撞，這種情況相當(dāng)于完全忽略氣體分子之間的相互作用。如果果真如此，格波不可能達(dá)到統(tǒng)計平衡。必須考慮非簡諧效應(yīng)——非諧作用使不同格波之間存在一定的耦合，正是這種非諧作用保證不同格波間可以交換能量，達(dá)到統(tǒng)計平衡。簡諧振動熱傳導(dǎo)？與溫度有關(guān)的聲子分布的均勻過程如何建立？92考察理想氣體的熱傳導(dǎo)試問什么在氣體熱傳導(dǎo)過程中起決定性作用？碰撞！溫度高區(qū)域的分子運動到溫度低的區(qū)域時，通過碰撞，把平均動能傳給其它分子；反過來也一樣，這樣的能量傳遞宏觀上就表現(xiàn)為熱傳導(dǎo)，熱導(dǎo)率為：理想氣體：溫差能量輸運熱傳導(dǎo)CV：單位體積的熱容；：平均自由程：熱運動的平均速度2、晶格振動的熱傳導(dǎo)考察理想氣體的熱傳導(dǎo)試問什么在氣體熱傳導(dǎo)過程中起決定性作用？93將有限溫度下的晶體想象成包含聲子氣的容器，不同模式的聲子具有不同的動量、能量；晶格振動的熱傳導(dǎo)假設(shè)晶體的比熱為CV，晶體存在溫度差，高溫的一端，晶體的晶格振動將具有較多的振動模式和較大的振動幅度，也即較多的聲子被激發(fā)。當(dāng)這些格波傳至晶體的冷端，使那里的晶格振動趨于具有同樣多的振動模式和幅度，這樣聲子就把熱量從晶體一端傳到另一端；熱端冷端聲子氣體如果晶格振動間也即聲子間不存在相互作用，則熱導(dǎo)系數(shù)κ將為無窮大，即在晶體內(nèi)不能存在溫度梯度。（對N過程，由于總動量守恒，熱導(dǎo)也為無窮大）。將有限溫度下的晶體想象成包含聲子氣的容器，不同模式的聲子具有94考慮非簡諧效應(yīng)，聲子之間存在相互作用，當(dāng)它們從一端移向另一端時，相互間會發(fā)生碰撞，也會與晶體中的缺陷發(fā)生碰撞，因此聲子在晶體中移動時，有一個在兩次碰撞之間聲子所走過的路程，即平均自由程，為兩次碰撞間聲子移動的距離，設(shè)為聲子兩次碰撞間的相隔時間，則假設(shè)晶體內(nèi)溫度梯度為dT/dx，則在晶體中距離相差的兩個區(qū)域間的溫度差T可寫成：聲子移動后，把熱量CVT從距離的一端攜帶到另一端。若聲子在晶體中沿x方向的移動速率為x，則單位時間內(nèi)通過單位面積的熱量，即熱能流密度j寫成：是對所有聲子的平均值由能量均分原理得，熱流密度改寫為考慮非簡諧效應(yīng)，聲子之間存在相互作用，當(dāng)它們從一端移向另一端95晶格振動的熱傳導(dǎo)因此如果將晶格熱運動系統(tǒng)看作是聲子氣，則晶格導(dǎo)熱就是聲子擴(kuò)散的過程看作從聲子密度高的區(qū)域向低的區(qū)域擴(kuò)散聲子是能量子，聲子的“定向流動”就意味著能量輸運，形成熱傳導(dǎo)晶格振動聲子聲子數(shù)分布與溫度有關(guān)！當(dāng)樣品內(nèi)存在溫度梯度時，“聲子氣體”的密度分布是不均勻的，高溫處“聲子”密度高，低溫處“聲子”密度低，因而“聲子”氣體在無規(guī)則的基礎(chǔ)上產(chǎn)生平均的定向的運動，即聲子的擴(kuò)散運動。晶格振動的熱傳導(dǎo)因此如果將晶格熱運動系統(tǒng)看作是聲子氣，則晶格96晶體熱傳導(dǎo)系數(shù)如果勢能的非簡諧項比簡諧項小得多時，用微擾，這時聲子仍可看作理想氣體，但聲子之間有相互作用——碰撞用與理想氣體同樣的方法得到同樣的結(jié)果：比熱CV已知，平均速度p為聲子速度（為了簡化通常取固體中的聲速），為聲子平均自由程。晶體熱傳導(dǎo)系數(shù)如果勢能的非簡諧項比簡諧項小得多時，用微擾，這973、影響聲子平均自由程的因素（定性分析）聲子平均自由程的大小由兩種過程來決定：聲子之間的碰撞，它是非簡諧效應(yīng)的反映晶體中雜質(zhì)、缺陷以及晶體邊界對聲子的散射一個聲子的存在會引起周期性彈性應(yīng)變；這種彈性應(yīng)變?nèi)绻^大，則不可能再用簡諧近似來描述；這樣，非簡諧彈性應(yīng)變對晶體的彈性常數(shù)產(chǎn)生空間和時間上的調(diào)制第二個聲子感受到這種彈性常數(shù)的調(diào)制，受到散射而產(chǎn)生第三個聲子3、影響聲子平均自由程的因素（定性分析）聲子平均自由程的大小98聲子碰撞（耦合）（1）處理方法考慮非簡諧項后，一維單原子鏈運動方程的求解：方程求解復(fù)雜，特別是非諧項比較大時，完全不能用類似的方法表述。處理弱非簡諧情況時，可把簡諧近似下得到的相互獨立的簡諧振子解作為基礎(chǔ)，把非簡諧項作為微擾來處理，這就導(dǎo)致聲子之間存在著相互作用，就會發(fā)生碰撞，能量改變且只有有限的壽命。一種頻率的聲子可以湮滅而產(chǎn)生另一種頻率的聲子，這樣經(jīng)過一段時間后，各種頻率的聲子數(shù)目就會達(dá)到和環(huán)境溫度相平衡的分布。聲子碰撞（耦合）（1）處理方法考慮非簡諧項后，一維單原子鏈運99通過非簡諧項的作用，本來相互獨立的諧振子之間發(fā)生耦合。不同格波之間的相互作用，表示為聲子間的“碰撞”。非諧作用中的勢能三次方項對應(yīng)三聲子過程：二個聲子碰撞產(chǎn)生另外一個聲子或一個聲子劈裂成二個聲子。非諧作用中勢能四次方項則對應(yīng)四個聲子相互作用的過程。在熱傳導(dǎo)問題中，聲子的碰撞起著限制聲子平均自由程的作用。（2）聲子與聲子之間的碰撞三聲子相互“碰撞”的示意圖聲子間相互“碰撞”需要滿足能量守恒和準(zhǔn)動量守恒關(guān)系，以二個聲子碰撞產(chǎn)生另一個聲子的三聲子過程為例，有：其中表示倒格子矢量通過非簡諧項的作用，本來相互獨立的諧振子之間發(fā)生耦合。不同格100這里波矢q3和波矢q3+Gh是對同一聲子的，表述了同樣一個運動狀態(tài)。由于波數(shù)必須在第一布里淵區(qū)取值，因此動量守恒的要求會存在兩種情況：q3仍在第一布里淵區(qū)內(nèi)的稱為正常過程，此時新聲子的q值等于第一布里淵區(qū)內(nèi)某個值q3加一個倒易矢量Gh的稱為倒逆過程，此時這里波矢q3和波矢q3+Gh是對同一聲子的，表述了同樣一個運101（3）正常過程（N過程，NormalProcess）正常過程正常過程，對應(yīng)q1和q2較??；聲子的動量沒有發(fā)生變化，因此，N過程只改變聲子的動量分布；如果聲子的總動量為零，就沒有熱流在熱平衡下，由于，因此，N過程由于只改變聲子的動量分布，而基本上不影響熱流的方向，對熱阻是沒有貢獻(xiàn)的（3）正常過程（N過程，NormalProcess）正常過102正常過程能使系統(tǒng)達(dá)到熱平衡嗎？外界干擾使聲子獲得了某一方向的定向運動的動量，在由非平衡態(tài)向平衡態(tài)過渡時，定向運動的動量應(yīng)當(dāng)逐漸減到零，這樣才能使系統(tǒng)進(jìn)入熱平衡狀態(tài)。為了能進(jìn)入熱平衡狀態(tài)，顯然應(yīng)當(dāng)存在這樣一種機(jī)制，它能衰減聲子定向運動的動量。正常過程并沒有使動量衰減，系統(tǒng)總的動量不變，定向運動沒有被衰減。正常過程對實現(xiàn)熱平衡沒有貢獻(xiàn)。正常過程能使系統(tǒng)達(dá)到熱平衡嗎？外界干擾使聲子獲得了某一方向的103（4）翻轉(zhuǎn)過程（U過程，UmklappProcess）翻轉(zhuǎn)過程聲子的總動量改變了一個非零的倒格矢的動量對應(yīng)q1和q2較大，與布里淵區(qū)的尺度可比時才能發(fā)生U過程，能量大的格波參與才能發(fā)生；在翻轉(zhuǎn)過程中使聲子的動量發(fā)生很大變化（如圖所示，是向“右”的，碰撞后是向“左”的），從而破壞了熱流的方向，U過程對熱阻是有貢獻(xiàn)的，對熱導(dǎo)率的下降十分有效。U過程要求q1和q2較大，這樣屬性的聲子數(shù)隨溫度很快下降，因此，U過程可改變聲子數(shù)的分布。（4）翻轉(zhuǎn)過程（U過程，UmklappProcess）翻轉(zhuǎn)104倒逆過程能使系統(tǒng)達(dá)到熱平衡嗎？外界干擾使聲子獲得了某一方向的定向運動的動量，在由非平衡態(tài)向平衡態(tài)過渡時，定向運動的動量應(yīng)當(dāng)逐漸減到零，這樣才能使系統(tǒng)進(jìn)入熱平衡狀態(tài)。為了能進(jìn)入熱平衡狀態(tài)，顯然應(yīng)當(dāng)存在這樣一種機(jī)制，它能衰減聲子定向運動的動量。倒逆過程使得聲子某個方向動量發(fā)生倒轉(zhuǎn)，從而衰減了整個聲子團(tuán)的動量。倒逆過程對實現(xiàn)熱平衡（熱傳導(dǎo)）有貢獻(xiàn)。倒逆過程能使系統(tǒng)達(dá)到熱平衡嗎？外界干擾使聲子獲得了某一方向的105聲子能量、動量守恒關(guān)系圖（將原點移到1）LATAN過程U過程聲子能量、動量守恒關(guān)系圖（將原點移到1）LATAN過程U過106（5）發(fā)生U過程/N過程的可能性估算（5）發(fā)生U過程/N過程的可能性估算107第一BZ的尺寸與德拜球的半徑有相同的數(shù)量級，若兩個聲子碰撞后產(chǎn)生的第三個聲子要超出第一BZ，則這兩個聲子的波矢應(yīng)在1/2qD附近，這樣的聲子的能量為類