第二章4-固體物理課件

2.23非簡(jiǎn)諧效應(yīng)將晶體中原子之間的相互作用勢(shì)能函數(shù)U(r)，在平衡位置r=a附近進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，常數(shù)定義為零平衡微商為零簡(jiǎn)諧項(xiàng)非簡(jiǎn)諧項(xiàng)U(a)是原子間距為平衡間距時(shí)的勢(shì)能。前面討論晶格振動(dòng)是在簡(jiǎn)諧近似下進(jìn)行的，即忽略了泰勒展開式中的三次方和三次方以上項(xiàng)。在晶體原子相互作用勢(shì)能展開式中，三次方和三次方以上的項(xiàng)稱為非簡(jiǎn)諧項(xiàng)，有些物理效應(yīng)是由非簡(jiǎn)諧項(xiàng)引起的，討論這些物理效應(yīng)就必須考慮非簡(jiǎn)諧項(xiàng)。由非簡(jiǎn)諧項(xiàng)引起的效應(yīng)稱為非簡(jiǎn)諧效應(yīng)，典型的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)有熱膨脹和熱傳導(dǎo)。2.23非簡(jiǎn)諧效應(yīng)將晶體中原子之間的相互作用勢(shì)能函數(shù)U(1在簡(jiǎn)諧近似下，相互作用勢(shì)能只保留到二次方項(xiàng)，晶格振動(dòng)為一系列線性獨(dú)立的諧振子（格波）?；ハ嗒?dú)立的格波既不發(fā)生相互作用，也不交換能量。這樣的聲子既不能把能量傳遞給其它頻率的聲子，也不能處于熱平衡。1、簡(jiǎn)諧近似的不足簡(jiǎn)諧近似，勢(shì)能為拋物線，兩邊對(duì)稱在簡(jiǎn)諧近似下，相互作用勢(shì)能只保留到二次方項(xiàng)，晶格振動(dòng)為一系列2簡(jiǎn)諧近似下的運(yùn)動(dòng)方程：簡(jiǎn)諧近似下的解：線性變換引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)動(dòng)能項(xiàng)和勢(shì)能項(xiàng)沒有交叉項(xiàng)，意味著每個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)模式（聲子）之間沒有相互作用簡(jiǎn)諧近似下的運(yùn)動(dòng)方程：簡(jiǎn)諧近似下的解：線性變換引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)動(dòng)3在簡(jiǎn)諧近似下，得出了一些與事實(shí)不符合的結(jié)論：沒有熱膨脹（原子的平衡位置不依賴于溫度）；力常數(shù)和彈性常數(shù)不依賴于溫度和壓力；高溫時(shí)熱容量是常數(shù)（Dulong-Petit定律）；等容熱容和等壓熱容相等（CV=Cp）；聲子間不存在相互作用，聲子的平均自由程和壽命都是無(wú)限的，或者說(shuō)，兩個(gè)點(diǎn)陣波之間不發(fā)生相互作用，單個(gè)波不衰減或不隨時(shí)間改變形式；沒有雜質(zhì)和缺陷的簡(jiǎn)諧晶體的熱導(dǎo)是無(wú)限大的；對(duì)完美的簡(jiǎn)諧晶體而言，紅外吸收峰、Raman和Briiouin散射峰以及非彈性散射峰寬應(yīng)為零。在簡(jiǎn)諧近似下，得出了一些與事實(shí)不符合的結(jié)論：沒有熱膨脹（原子42、相互作用勢(shì)能的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)常數(shù)定義為零平衡微商為零簡(jiǎn)諧項(xiàng)非簡(jiǎn)諧項(xiàng)2、相互作用勢(shì)能的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)常數(shù)定義為零平衡微商為零簡(jiǎn)諧項(xiàng)非簡(jiǎn)5非簡(jiǎn)諧項(xiàng)，代表原子之間排斥作用的非對(duì)稱性>0時(shí)，，吸引力減??；<0時(shí)，，排斥力增大?？紤]這一非簡(jiǎn)諧項(xiàng)后，勢(shì)能曲線不對(duì)稱：>0一邊比較平緩，<0一邊則比較陡峭。因此非簡(jiǎn)諧振動(dòng)，使原子間產(chǎn)生一定的相互斥力，從而引起熱膨脹。所以熱膨脹是一種晶格振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)。非簡(jiǎn)諧項(xiàng)，代表原子之間排斥作用的非對(duì)稱性>0時(shí)，6非簡(jiǎn)諧項(xiàng)，代表在大振幅下振動(dòng)的軟化考慮二階項(xiàng)和四階項(xiàng)，有回復(fù)力常數(shù)減小，振動(dòng)軟化。非簡(jiǎn)諧項(xiàng)，代表在大振幅下振動(dòng)的軟化考慮二階項(xiàng)和四階項(xiàng)，有回復(fù)7力常數(shù)小rU(r)力常數(shù)大力常數(shù)對(duì)勢(shì)能的影響rU(r)四次方項(xiàng)對(duì)勢(shì)能的影響簡(jiǎn)諧勢(shì)非簡(jiǎn)諧勢(shì)力常數(shù)小rU(r)力常數(shù)大力常數(shù)對(duì)勢(shì)能的影響rU(r)四次方83、非簡(jiǎn)諧近似下的解考慮諧振子方程中的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)，雙原子運(yùn)動(dòng)方程是兩原子的約化質(zhì)量令3、非簡(jiǎn)諧近似下的解考慮諧振子方程中的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)，雙原子運(yùn)動(dòng)方9運(yùn)動(dòng)方程解得形式為這里只考慮了Fourier展開式中的頭三項(xiàng)，所以只有2項(xiàng)，如果考慮3項(xiàng)，則會(huì)有3的項(xiàng)。將方程的解代入運(yùn)動(dòng)方程，并假定sA<<1，有利用方程的解，并考慮<cost>=0，<cos2t>=0因?yàn)間0<0，所以a(T)>a運(yùn)動(dòng)方程解得形式為這里只考慮了Fourier展開式中的頭三項(xiàng)10當(dāng)系統(tǒng)與熱源處于熱平衡狀態(tài)時(shí)，雙原子的平均振動(dòng)能振幅的平方與溫度成正比當(dāng)系統(tǒng)與熱源處于熱平衡狀態(tài)時(shí)，雙原子的平均振動(dòng)能振幅的平方與11簡(jiǎn)諧近似下：振動(dòng)模式（聲子）無(wú)相互作用，無(wú)熱量交換無(wú)法進(jìn)入熱平衡狀態(tài)聲子數(shù)目不發(fā)生變化非簡(jiǎn)諧效應(yīng)：振動(dòng)模式（聲子）不再相互獨(dú)立聲子氣體不再是理想氣體在振動(dòng)模式近似獨(dú)立的條件下，可以將高次項(xiàng)考慮為微擾簡(jiǎn)諧近似下：振動(dòng)模式（聲子）無(wú)相互作用，無(wú)熱量交換非簡(jiǎn)諧效應(yīng)122.24熱膨脹簡(jiǎn)諧非諧非諧平均位置1、定性解釋原子之間的相互作用勢(shì)能函數(shù)如圖所示。在溫度較低，原子在平衡位置附近的振動(dòng)為微振動(dòng)時(shí)，原子的左右位移具有對(duì)稱性，原子的左右最大位移絕對(duì)值相同，離開平衡點(diǎn)位移的平均值為零。相鄰原子之間的距離平均還是a，晶格膨脹不明顯。微振動(dòng)的勢(shì)能展開式中，三次方和三次方以上項(xiàng)很小，可以忽略，這就是簡(jiǎn)諧近似。簡(jiǎn)諧近似下，原子之間的勢(shì)能函數(shù)是左右對(duì)稱的拋物線。當(dāng)溫度不很低時(shí)，原子的振動(dòng)幅度較大，原子的左右位移不再具有對(duì)稱性，相鄰原子之間的平均距離大于a，并且，隨著溫度的增大，原子間距也增加，晶格發(fā)生熱膨脹。熱膨脹現(xiàn)象，在勢(shì)能展開式中，是三次方和三次方以上項(xiàng)引起的效應(yīng)，是一種非簡(jiǎn)諧效應(yīng)。2.24熱膨脹簡(jiǎn)諧非諧非諧平均位置1、定性解釋原子之間的13考慮一維原子鏈，如果兩個(gè)原子的間距為r，按照Boltzman統(tǒng)計(jì)，溫度T時(shí)原子的能量分布為兩個(gè)原子之間的平均距離為簡(jiǎn)諧近似下，變換表明在簡(jiǎn)諧近似下，平均間距不隨溫度變化而變化。2、定量計(jì)算考慮一維原子鏈，如果兩個(gè)原子的間距為r，按照Boltzman14利用條件考慮非簡(jiǎn)諧效應(yīng)，相互作用勢(shì)能函數(shù)取到三次方項(xiàng)利用條件考慮非簡(jiǎn)諧效應(yīng)，相互作用勢(shì)能函數(shù)取到三次方項(xiàng)15分母略去高次項(xiàng)后，可得考慮三次項(xiàng)后即可解釋熱膨脹，此時(shí)線膨脹系數(shù)是常數(shù)：分母略去高次項(xiàng)后，可得考慮三次項(xiàng)后即可解釋熱膨脹，此時(shí)線膨脹16固態(tài)氬的晶格常量與溫度的關(guān)系線膨脹系數(shù)直接與非簡(jiǎn)諧系數(shù)有關(guān)。如果只計(jì)入勢(shì)能的三次項(xiàng)時(shí)，線膨脹系數(shù)與溫度無(wú)關(guān)，否則，還需計(jì)入勢(shì)能的更高次項(xiàng)?？紤]三次方以上的更高次項(xiàng)，膨脹系數(shù)就不再是線性的。上述討論只適用偏離平衡位置較小時(shí)的情況。溫度很高時(shí)，晶體已被溶化而不復(fù)存在。固態(tài)氬的晶格常量與溫度的關(guān)系線膨脹系數(shù)直接與非簡(jiǎn)諧系數(shù)有關(guān)。172.25狀態(tài)方程：熱膨脹的熱力學(xué)處理1、基本概念系綜（ensemble）：代表一大群相類似的體系的集合。對(duì)一類相同性質(zhì)的體系，其微觀狀態(tài)（如每個(gè)粒子的位置和速度）仍然可以大不相同。正則系綜（canonicalensemble）：是統(tǒng)計(jì)力學(xué)中系綜的一種，代表了許多具有相同溫度的體系的集合。通常，系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)體系的粒子數(shù)和體積都是相同的，但每個(gè)體系都可以和系綜內(nèi)其它體系交換能量，同時(shí)系綜里所有體系的能量總和，以及所有體系的總個(gè)數(shù)是固定的。在這些條件下，當(dāng)系綜內(nèi)所有體系被分配到不同的微觀狀態(tài)上，每個(gè)微觀狀態(tài)上的體系個(gè)數(shù)正比于2.25狀態(tài)方程：熱膨脹的熱力學(xué)處理1、基本概念系綜（18系統(tǒng)的絕大多數(shù)熱力學(xué)性質(zhì)都可以從配分函數(shù)中得到（）配分函數(shù)：是統(tǒng)計(jì)物理中經(jīng)常應(yīng)用到的概念。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)通過對(duì)大量微觀粒子統(tǒng)計(jì)行為的計(jì)算，將微觀物理狀態(tài)與宏觀物理量相互聯(lián)系起來(lái)，而配分函數(shù)就是聯(lián)系微觀物理狀態(tài)和宏觀物理量的橋梁。系綜中每個(gè)態(tài)存在的可能性：Helmheltzfreeenergy:Internalenergy:Pressure:Entropy:Gibbsfreeenergy:Entholpy:Constantvolumeheatcapacity:Constantpressureheatcapacity:Chemicalpotential:系統(tǒng)的絕大多數(shù)熱力學(xué)性質(zhì)都可以從配分函數(shù)中得到（192、晶體狀態(tài)方程在不考慮原子振動(dòng)情況下，晶體狀態(tài)方程：其中U是原子間相互作用勢(shì)能由熱力學(xué)理論可知，若能求出晶體的自由能F(T,V)，就可由下式求出狀態(tài)方程2、晶體狀態(tài)方程在不考慮原子振動(dòng)情況下，晶體狀態(tài)方程：其中U20自由能的計(jì)算（簡(jiǎn)諧近似）其中E0是絕對(duì)零度時(shí)的晶體內(nèi)能（原子間互作用勢(shì)能U），是晶體體積和原胞數(shù)的函數(shù)；nji是第j個(gè)振動(dòng)模的一種可能的聲子數(shù)，則配分函數(shù)表達(dá)式為，，其中配分函數(shù)Z為取和是對(duì)所用可能的能量狀態(tài)取和，任一可能狀態(tài)的能量Ei可以由各個(gè)振動(dòng)模的一種可能能量的疊加，表示為自由能的計(jì)算（簡(jiǎn)諧近似）其中E0是絕對(duì)零度時(shí)的晶體內(nèi)能（原子21是第j個(gè)振動(dòng)模的配分函數(shù)。代入自由能公式得，其中我們假定把非簡(jiǎn)諧效應(yīng)考慮在內(nèi)時(shí)，上式也近似成立。自由能分為兩部分：F2：由晶格熱振動(dòng)決定的自由能F1：與晶格振動(dòng)無(wú)關(guān)，只與晶體體積有關(guān)的自由能（等于原子間的互作用勢(shì)能U）是第j個(gè)振動(dòng)模的配分函數(shù)。代入自由能公式得，其中我們假定把非22格林愛森晶體狀態(tài)方程是一個(gè)無(wú)量綱的量，格林愛森（Grüneisen）假設(shè)該量近似對(duì)所有振動(dòng)頻率相同（與頻率無(wú)關(guān)）。由于一般隨V增加而減小，>0是頻率為j的諧振子的平均能量溫度為T時(shí)晶格平均振動(dòng)能（包括零點(diǎn)振動(dòng)能）自由能中晶體的內(nèi)能E0（或U）是晶體體積的函數(shù)，同時(shí)，當(dāng)晶體體積改變時(shí)，格波頻率也將改變，即格波頻率j也是體積的函數(shù)，格林愛森晶體狀態(tài)方程是一23熱膨脹就是在給定的外壓強(qiáng)P下，體積隨溫度的變化，熱膨脹系數(shù)的定義為對(duì)各向同性的立方晶體，線膨脹系數(shù)是體膨脹系數(shù)的1/3，即熱膨脹與格林愛森常數(shù)利用熱力學(xué)關(guān)系按定義，體積彈性模量為熱膨脹就是在給定的外壓強(qiáng)P下，體積隨溫度的變化，熱膨脹系數(shù)的24對(duì)大多數(shù)固體而言，盡管溫度變化范圍可能較大，但體積的變化并不大。將dU/dV在平衡體積V0附近展開，并只保留V=V-V0的線性項(xiàng)，得到K為體積彈性模量（）式變?yōu)?，：體積形變引起的晶體內(nèi)部的壓強(qiáng)，晶體受壓時(shí)，V<0，晶體內(nèi)壓強(qiáng)增加；：由于晶格熱振動(dòng)導(dǎo)致的晶體內(nèi)部的壓強(qiáng)，稱為熱壓強(qiáng)。可以估算，室溫下，熱壓強(qiáng)約為103atm。從狀態(tài)方程出發(fā)對(duì)大多數(shù)固體而言，盡管溫度變化范圍可能較大，但體積的變化并不25通常條件下，晶體處在1atm的作用下，有內(nèi)外壓強(qiáng)必定平衡，可以推知晶體內(nèi)總的壓強(qiáng)是1atm。1atm與103atm相比，可以忽略，有將上式兩邊對(duì)溫度求微商，得V是晶體的體膨脹系數(shù)。表明熱膨脹系數(shù)與格林愛森常數(shù)成正比。熱膨脹是非簡(jiǎn)諧效應(yīng)，V和可作為檢驗(yàn)非簡(jiǎn)諧效應(yīng)的尺度。對(duì)大多數(shù)晶體，=1~3，小，晶格熱振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)小，大，非簡(jiǎn)諧效應(yīng)大。=0對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)諧近似。（格林愛森定律）由于彈性模量和格林愛森常數(shù)基本與溫度無(wú)關(guān)，熱膨脹系數(shù)與溫度的關(guān)系與比熱相似。通常條件下，晶體處在1atm的作用下，有內(nèi)外壓強(qiáng)必定平衡，可26簡(jiǎn)諧非諧U(T=0)U(T)熱膨脹與非簡(jiǎn)諧效應(yīng)熱膨脹是無(wú)壓力時(shí)體積隨溫度的變化，令壓力為零，由格林愛森方程得，在簡(jiǎn)諧近似下，頻率與晶格常數(shù)無(wú)關(guān)，溫度大于零，體積必定增大簡(jiǎn)諧非諧U(T=0)U(T)熱膨脹與非簡(jiǎn)諧效應(yīng)熱膨脹是無(wú)壓力27一維單原子鏈的色散關(guān)系設(shè)原子鏈對(duì)應(yīng)的截面積為S，則其體積V=NaS由于q=2l/(Na)，1/2(qa)=l/N與a無(wú)關(guān)，即與體積無(wú)關(guān)。對(duì)色散關(guān)系取對(duì)數(shù)，再對(duì)體積V的對(duì)數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得到一維單原子鏈熱膨脹現(xiàn)象中，體積V發(fā)生變化也就是原子間距a發(fā)射概念變化，力常數(shù)為格林愛森常數(shù)與原子間相互作用勢(shì)能函數(shù)泰勒展開式的三次方系數(shù)成正比。一維單原子鏈的色散關(guān)系設(shè)原子鏈對(duì)應(yīng)的截面積為S，則其體積V=28當(dāng)晶體體積膨脹時(shí)，da>0，即原子間的平衡距離增大。原子相距越遠(yuǎn)，回復(fù)力系數(shù)越小，當(dāng)距離很遠(yuǎn)時(shí)，原子間不存在相互作用，力系數(shù)為零。這說(shuō)明，da>0時(shí)，d<0。反之，當(dāng)體積縮小時(shí)，da<0，d>0。由此可知，格林愛森常數(shù)恒大于零。式中加一負(fù)號(hào)是為了保證為正值。在簡(jiǎn)諧近似下，忽略了三次方項(xiàng)和三次方以上的項(xiàng)，即令這些項(xiàng)的系數(shù)為零，則=0，這時(shí)將不會(huì)發(fā)生熱膨脹。Ge的格林愛森常數(shù)與波矢、與不同振動(dòng)模的關(guān)系，甚至還有負(fù)數(shù)當(dāng)晶體體積膨脹時(shí)，da>0，即原子間的平衡距離增大。原子相距29定義：當(dāng)固體中溫度分布不均勻時(shí)，將會(huì)有熱能從高溫處流向低溫處，這種現(xiàn)象稱為熱傳導(dǎo)。表達(dá)式：熱流密度（j）：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過單位截面?zhèn)鬏數(shù)臒崮?；熱傳?dǎo)系數(shù)（熱導(dǎo)率k）；負(fù)號(hào)表明熱能傳輸總是從高溫流向低溫?zé)醾鲗?dǎo)的種類：固體中可以通過電子運(yùn)動(dòng)導(dǎo)熱（電子熱導(dǎo)），也可以通過格波的傳播導(dǎo)熱（晶格熱導(dǎo)）。絕緣體和一般半導(dǎo)體中的熱傳導(dǎo)主要是靠晶格的熱導(dǎo)。該式意味著能量傳輸過程是一個(gè)無(wú)規(guī)過程，晶格熱導(dǎo)并不簡(jiǎn)單是格波的“自由”傳播。因?yàn)槿绻亲杂蓚鞑サ脑?，熱流密度的表達(dá)式將不是依賴于溫度梯度，而是依賴于樣品兩端的溫度差。2.26熱傳導(dǎo)1、基本概念定義：當(dāng)固體中溫度分布不均勻時(shí)，將會(huì)有熱能從高溫處流向低溫處30簡(jiǎn)諧振動(dòng)熱傳導(dǎo)？與溫度有關(guān)的聲子分布的均勻過程如何建立？靠相互作用，靠碰撞？簡(jiǎn)諧近似：小振動(dòng)理論（簡(jiǎn)諧近似）得到的結(jié)果是不同格波間是完全獨(dú)立的，不存在不同聲子之間的相互碰撞，這種情況相當(dāng)于完全忽略氣體分子之間的相互作用。如果果真如此，格波不可能達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡。必須考慮非簡(jiǎn)諧效應(yīng)——非諧作用使不同格波之間存在一定的耦合，正是這種非諧作用保證不同格波間可以交換能量，達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡。簡(jiǎn)諧振動(dòng)熱傳導(dǎo)？與溫度有關(guān)的聲子分布的均勻過程如何建立？31考察理想氣體的熱傳導(dǎo)試問什么在氣體熱傳導(dǎo)過程中起決定性作用？碰撞！溫度高區(qū)域的分子運(yùn)動(dòng)到溫度低的區(qū)域時(shí)，通過碰撞，把平均動(dòng)能傳給其它分子；反過來(lái)也一樣，這樣的能量傳遞宏觀上就表現(xiàn)為熱傳導(dǎo)，熱導(dǎo)率為：理想氣體：溫差能量輸運(yùn)熱傳導(dǎo)CV：?jiǎn)挝惑w積的熱容；：平均自由程：熱運(yùn)動(dòng)的平均速度2、晶格振動(dòng)的熱傳導(dǎo)考察理想氣體的熱傳導(dǎo)試問什么在氣體熱傳導(dǎo)過程中起決定性作用？32將有限溫度下的晶體想象成包含聲子氣的容器，不同模式的聲子具有不同的動(dòng)量、能量；晶格振動(dòng)的熱傳導(dǎo)假設(shè)晶體的比熱為CV，晶體存在溫度差，高溫的一端，晶體的晶格振動(dòng)將具有較多的振動(dòng)模式和較大的振動(dòng)幅度，也即較多的聲子被激發(fā)。當(dāng)這些格波傳至晶體的冷端，使那里的晶格振動(dòng)趨于具有同樣多的振動(dòng)模式和幅度，這樣聲子就把熱量從晶體一端傳到另一端；熱端冷端聲子氣體如果晶格振動(dòng)間也即聲子間不存在相互作用，則熱導(dǎo)系數(shù)κ將為無(wú)窮大，即在晶體內(nèi)不能存在溫度梯度。（對(duì)N過程，由于總動(dòng)量守恒，熱導(dǎo)也為無(wú)窮大）。將有限溫度下的晶體想象成包含聲子氣的容器，不同模式的聲子具有33考慮非簡(jiǎn)諧效應(yīng)，聲子之間存在相互作用，當(dāng)它們從一端移向另一端時(shí)，相互間會(huì)發(fā)生碰撞，也會(huì)與晶體中的缺陷發(fā)生碰撞，因此聲子在晶體中移動(dòng)時(shí)，有一個(gè)在兩次碰撞之間聲子所走過的路程，即平均自由程，為兩次碰撞間聲子移動(dòng)的距離，設(shè)為聲子兩次碰撞間的相隔時(shí)間，則假設(shè)晶體內(nèi)溫度梯度為dT/dx，則在晶體中距離相差的兩個(gè)區(qū)域間的溫度差T可寫成：聲子移動(dòng)后，把熱量CVT從距離的一端攜帶到另一端。若聲子在晶體中沿x方向的移動(dòng)速率為x，則單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的熱量，即熱能流密度j寫成：是對(duì)所有聲子的平均值由能量均分原理得，熱流密度改寫為考慮非簡(jiǎn)諧效應(yīng)，聲子之間存在相互作用，當(dāng)它們從一端移向另一端34晶格振動(dòng)的熱傳導(dǎo)因此如果將晶格熱運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)看作是聲子氣，則晶格導(dǎo)熱就是聲子擴(kuò)散的過程看作從聲子密度高的區(qū)域向低的區(qū)域擴(kuò)散聲子是能量子，聲子的“定向流動(dòng)”就意味著能量輸運(yùn)，形成熱傳導(dǎo)晶格振動(dòng)聲子聲子數(shù)分布與溫度有關(guān)！當(dāng)樣品內(nèi)存在溫度梯度時(shí)，“聲子氣體”的密度分布是不均勻的，高溫處“聲子”密度高，低溫處“聲子”密度低，因而“聲子”氣體在無(wú)規(guī)則的基礎(chǔ)上產(chǎn)生平均的定向的運(yùn)動(dòng)，即聲子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)。晶格振動(dòng)的熱傳導(dǎo)因此如果將晶格熱運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)看作是聲子氣，則晶格35晶體熱傳導(dǎo)系數(shù)如果勢(shì)能的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)比簡(jiǎn)諧項(xiàng)小得多時(shí)，用微擾，這時(shí)聲子仍可看作理想氣體，但聲子之間有相互作用——碰撞用與理想氣體同樣的方法得到同樣的結(jié)果：比熱CV已知，平均速度p為聲子速度（為了簡(jiǎn)化通常取固體中的聲速），為聲子平均自由程。晶體熱傳導(dǎo)系數(shù)如果勢(shì)能的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)比簡(jiǎn)諧項(xiàng)小得多時(shí)，用微擾，這363、影響聲子平均自由程的因素（定性分析）聲子平均自由程的大小由兩種過程來(lái)決定：聲子之間的碰撞，它是非簡(jiǎn)諧效應(yīng)的反映晶體中雜質(zhì)、缺陷以及晶體邊界對(duì)聲子的散射一個(gè)聲子的存在會(huì)引起周期性彈性應(yīng)變；這種彈性應(yīng)變?nèi)绻^大，則不可能再用簡(jiǎn)諧近似來(lái)描述；這樣，非簡(jiǎn)諧彈性應(yīng)變對(duì)晶體的彈性常數(shù)產(chǎn)生空間和時(shí)間上的調(diào)制第二個(gè)聲子感受到這種彈性常數(shù)的調(diào)制，受到散射而產(chǎn)生第三個(gè)聲子3、影響聲子平均自由程的因素（定性分析）聲子平均自由程的大小37聲子碰撞（耦合）（1）處理方法考慮非簡(jiǎn)諧項(xiàng)后，一維單原子鏈運(yùn)動(dòng)方程的求解：方程求解復(fù)雜，特別是非諧項(xiàng)比較大時(shí)，完全不能用類似的方法表述。處理弱非簡(jiǎn)諧情況時(shí)，可把簡(jiǎn)諧近似下得到的相互獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子解作為基礎(chǔ)，把非簡(jiǎn)諧項(xiàng)作為微擾來(lái)處理，這就導(dǎo)致聲子之間存在著相互作用，就會(huì)發(fā)生碰撞，能量改變且只有有限的壽命。一種頻率的聲子可以湮滅而產(chǎn)生另一種頻率的聲子，這樣經(jīng)過一段時(shí)間后，各種頻率的聲子數(shù)目就會(huì)達(dá)到和環(huán)境溫度相平衡的分布。聲子碰撞（耦合）（1）處理方法考慮非簡(jiǎn)諧項(xiàng)后，一維單原子鏈運(yùn)38通過非簡(jiǎn)諧項(xiàng)的作用，本來(lái)相互獨(dú)立的諧振子之間發(fā)生耦合。不同格波之間的相互作用，表示為聲子間的“碰撞”。非諧作用中的勢(shì)能三次方項(xiàng)對(duì)應(yīng)三聲子過程：二個(gè)聲子碰撞產(chǎn)生另外一個(gè)聲子或一個(gè)聲子劈裂成二個(gè)聲子。非諧作用中勢(shì)能四次方項(xiàng)則對(duì)應(yīng)四個(gè)聲子相互作用的過程。在熱傳導(dǎo)問題中，聲子的碰撞起著限制聲子平均自由程的作用。（2）聲子與聲子之間的碰撞三聲子相互“碰撞”的示意圖聲子間相互“碰撞”需要滿足能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒關(guān)系，以二個(gè)聲子碰撞產(chǎn)生另一個(gè)聲子的三聲子過程為例，有：其中表示倒格子矢量通過非簡(jiǎn)諧項(xiàng)的作用，本來(lái)相互獨(dú)立的諧振子之間發(fā)生耦合。不同格39這里波矢q3和波矢q3+Gh是對(duì)同一聲子的，表述了同樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由于波數(shù)必須在第一布里淵區(qū)取值，因此動(dòng)量守恒的要求會(huì)存在兩種情況：q3仍在第一布里淵區(qū)內(nèi)的稱為正常過程，此時(shí)新聲子的q值等于第一布里淵區(qū)內(nèi)某個(gè)值q3加一個(gè)倒易矢量Gh的稱為倒逆過程，此時(shí)這里波矢q3和波矢q3+Gh是對(duì)同一聲子的，表述了同樣一個(gè)運(yùn)40（3）正常過程（N過程，NormalProcess）正常過程正常過程，對(duì)應(yīng)q1和q2較??；聲子的動(dòng)量沒有發(fā)生變化，因此，N過程只改變聲子的動(dòng)量分布；如果聲子的總動(dòng)量為零，就沒有熱流在熱平衡下，由于，因此，N過程由于只改變聲子的動(dòng)量分布，而基本上不影響熱流的方向，對(duì)熱阻是沒有貢獻(xiàn)的（3）正常過程（N過程，NormalProcess）正常過41正常過程能使系統(tǒng)達(dá)到熱平衡嗎？外界干擾使聲子獲得了某一方向的定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量，在由非平衡態(tài)向平衡態(tài)過渡時(shí)，定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量應(yīng)當(dāng)逐漸減到零，這樣才能使系統(tǒng)進(jìn)入熱平衡狀態(tài)。為了能進(jìn)入熱平衡狀態(tài)，顯然應(yīng)當(dāng)存在這樣一種機(jī)制，它能衰減聲子定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量。正常過程并沒有使動(dòng)量衰減，系統(tǒng)總的動(dòng)量不變，定向運(yùn)動(dòng)沒有被衰減。正常過程對(duì)實(shí)現(xiàn)熱平衡沒有貢獻(xiàn)。正常過程能使系統(tǒng)達(dá)到熱平衡嗎？外界干擾使聲子獲得了某一方向的42（4）翻轉(zhuǎn)過程（U過程，UmklappProcess）翻轉(zhuǎn)過程聲子的總動(dòng)量改變了一個(gè)非零的倒格矢的動(dòng)量對(duì)應(yīng)q1和q2較大，與布里淵區(qū)的尺度可比時(shí)才能發(fā)生U過程，能量大的格波參與才能發(fā)生；在翻轉(zhuǎn)過程中使聲子的動(dòng)量發(fā)生很大變化（如圖所示，是向“右”的，碰撞后是向“左”的），從而破壞了熱流的方向，U過程對(duì)熱阻是有貢獻(xiàn)的，對(duì)熱導(dǎo)率的下降十分有效。U過程要求q1和q2較大，這樣屬性的聲子數(shù)隨溫度很快下降，因此，U過程可改變聲子數(shù)的分布。（4）翻轉(zhuǎn)過程（U過程，UmklappProcess）翻轉(zhuǎn)43倒逆過程能使系統(tǒng)達(dá)到熱平衡嗎？外界干擾使聲子獲得了某一方向的定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量，在由非平衡態(tài)向平衡態(tài)過渡時(shí)，定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量應(yīng)當(dāng)逐漸減到零，這樣才能使系統(tǒng)進(jìn)入熱平衡狀態(tài)。為了能進(jìn)入熱平衡狀態(tài)，顯然應(yīng)當(dāng)存在這樣一種機(jī)制，它能衰減聲子定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量。倒逆過程使得聲子某個(gè)方向動(dòng)量發(fā)生倒轉(zhuǎn)，從而衰減了整個(gè)聲子團(tuán)的動(dòng)量。倒逆過程對(duì)實(shí)現(xiàn)熱平衡（熱傳導(dǎo)）有貢獻(xiàn)。倒逆過程能使系統(tǒng)達(dá)到熱平衡嗎？外界干擾使聲子獲得了某一方向的44聲子能量、動(dòng)量守恒關(guān)系圖（將原點(diǎn)移到1）LATAN過程U過程聲子能量、動(dòng)量守恒關(guān)系圖（將原點(diǎn)移到1）LATAN過程U過45（5）發(fā)生U過程/N過程的可能性估算（5）發(fā)生U過程/N過程的可能性估算46第一BZ的尺寸與德拜球的半徑有相同的數(shù)量級(jí)，若兩個(gè)聲子碰撞后產(chǎn)生的第三個(gè)聲子要超出第一BZ，則這兩個(gè)聲子的波矢應(yīng)在1/2qD附近，這樣的聲子的能量為類似的聲子數(shù)目在高溫下是比較多的，在低溫下是比較少的，根據(jù)玻色分布當(dāng)T>>D，具有的聲子數(shù)與溫度成正比，隨著溫度的升高，達(dá)到能量的聲子數(shù)相當(dāng)多，聲子與聲子的碰撞主要是倒逆過程。當(dāng)T<<D，具有的聲子數(shù)隨著溫度的下降按指數(shù)下降，因此在低溫下發(fā)生倒逆過程的聲子數(shù)目是急劇下降的，倒逆過程發(fā)生的幾率很小，聲子與聲子的碰撞主要是正常過程，倒逆過程在低溫下是凍結(jié)的，平均自由程是比較長(zhǎng)的。第一BZ的尺寸與德拜球的半徑有相同的數(shù)量級(jí)，若兩個(gè)聲子碰撞后47典型非金屬材料的熱導(dǎo)率和平均自由程室溫下，這些晶體中聲子的平均自由程只有幾十個(gè)納米，即幾百個(gè)原子間距內(nèi)就會(huì)發(fā)生碰撞，所以晶體熱導(dǎo)率的數(shù)值有限。典型非金屬材料的熱導(dǎo)率和平均自由程室溫下，這些晶體中聲子的平48（1）聲子與晶體中的缺陷（雜質(zhì)、位錯(cuò)）碰撞晶體的不完整性，如雜質(zhì)和缺陷，也散射聲子。這時(shí)因?yàn)樗鼈儾糠制茐牧死硐氲闹芷谛?，而它恰好是格波自由傳播概念的基礎(chǔ)；與基質(zhì)原子質(zhì)量不同的替代式雜質(zhì)引起波在雜質(zhì)處散射。質(zhì)量差別和雜質(zhì)密度越大，則散射越強(qiáng)，平均自由程越短；特別是在低溫下，聲子間相互碰撞的作用迅速減弱，自由程將由其它散射所決定。雜質(zhì)、缺陷、邊界散射、尺寸效應(yīng)（1）聲子與晶體中的缺陷（雜質(zhì)、位錯(cuò)）碰撞晶體的不完整性，如49（2）聲子和樣品的外部邊界發(fā)生碰撞在很低的溫度（<10K），聲子-聲子以及聲子-不完整性的碰撞都變得無(wú)效，因?yàn)樵谇懊娴那樾?，僅有少數(shù)聲子存在，而在后面的情形，在這樣低的溫度所激發(fā)的聲子是長(zhǎng)波聲子，這時(shí)由于衍射作用，雜質(zhì)、缺陷不再是有效的散射體（即這些聲子不能被大小比波長(zhǎng)小得多的物體如雜質(zhì)有效地散射）。聲子數(shù)隨溫度降低按指數(shù)規(guī)律急劇下降，則增大很快，當(dāng)溫度下降到接近0K時(shí)，。但這時(shí)即使在很純的晶體中，熱導(dǎo)率仍是有限的，這是晶體邊界對(duì)聲子的散射所致。隨溫度降低，增大。當(dāng)增大到與晶體尺寸可相比擬時(shí)，則聲子的就由樣品的邊界決定，不再增大，D。而且在很低的溫度下，U過程出現(xiàn)的幾率很小，邊界散射成為主要因素。這種情況稱為尺寸效應(yīng)，此時(shí)點(diǎn)陣的熱導(dǎo)率（2）聲子和樣品的外部邊界發(fā)生碰撞在很低的溫度（<10K），50高溫典型情況：高溫時(shí)，平均聲子數(shù)為高溫時(shí)，比熱與溫度無(wú)關(guān)，則：4、聲子平均自由程與溫度的關(guān)系聲子數(shù)隨溫度增加，碰撞幾率增大，平均自由程減小，且與溫度成反比即在高溫時(shí)，平均聲子數(shù)正比于溫度T高溫典型情況：高溫時(shí)，平均聲子數(shù)為高溫時(shí)，比熱與溫度無(wú)關(guān)，則51低溫典型情況：因?yàn)檫@時(shí)真正起作用的是U過程，自由程的增大是可以參與U過程的聲子數(shù)急劇減小的結(jié)果；低溫時(shí)，U過程需要聲子波矢大，至少有一個(gè)聲子的波矢與Debye波矢相當(dāng)，這時(shí)聲子數(shù)為：即在低溫時(shí)，這樣平均聲子數(shù)隨溫度T增大迅速下降，碰撞幾率減小，平均自由程迅速增大基本上由樣品線度決定：低溫典型情況：因?yàn)檫@時(shí)真正起作用的是U過程，自由程的增大是可525、熱導(dǎo)率的影響因素：示例圓柱型藍(lán)寶石樣品低溫?zé)釋?dǎo)率：d=1.02mm：d=1.55mm+：d=2.80mm在峰值和它左邊更低溫度范圍，樣品表面散射已成為主要限制自由程的因素，因此，尺寸小的樣品自由程較短，熱導(dǎo)更低；在這種情況下，熱導(dǎo)率隨溫度的變化主要決定于比熱，熱導(dǎo)率隨溫度下降趨近T3關(guān)系。在峰值右邊，熱導(dǎo)率隨T下降而陡峻上升，在這個(gè)溫度范圍自由程主要由聲子間相互碰撞所決定，基本符合關(guān)系。5、熱導(dǎo)率的影響因素：示例圓柱型藍(lán)寶石樣品低溫?zé)釋?dǎo)率：d=53合金的熱導(dǎo)率原子無(wú)序分布給熱導(dǎo)率帶來(lái)的影響：雜質(zhì)、缺陷參與聲子散射，使得平均自由程減小，熱導(dǎo)率降低合金的熱導(dǎo)率原子無(wú)序分布給熱導(dǎo)率帶來(lái)的影響：雜質(zhì)、缺陷參與聲54熱導(dǎo)率與雜質(zhì)鍺晶體同位素效應(yīng)對(duì)熱導(dǎo)率的影響。富集樣品中含有96%的Ge74，而天然樣品含有不足40%的Ge74，所以前者熱導(dǎo)率大于后者。LiF晶體中同位素效應(yīng)對(duì)熱導(dǎo)率的影響，與Ge晶體同位素效應(yīng)對(duì)熱導(dǎo)率的影響結(jié)果是一致的。熱導(dǎo)率與雜質(zhì)鍺晶體同位素效應(yīng)對(duì)熱導(dǎo)率的影響。富集樣品中含有955第二章4-固體物理課件56聲子氣體和真實(shí)氣體的熱傳導(dǎo)過程示意圖熱端熱端冷端冷端聲子氣體真實(shí)氣體聲子氣體和真實(shí)氣體的熱傳導(dǎo)過程示意圖熱端熱端冷端冷端聲子氣體57TheClassicalGasvs.thePhononGasTheClassicalGasvs.thePhon58精品課件！精品課件！59精品課件！精品課件！60關(guān)鍵是改變聲子分布看上去是平均自由程，關(guān)鍵是改變聲子數(shù)分布；晶體中存在這樣的機(jī)制，使聲子分布可以局域地趨于平衡。否則，不能說(shuō)晶體一端的聲子處于T1的熱平衡中，另一端處于T2的熱平衡中；這就需要建立使聲子趨于平衡的機(jī)制，這就是聲子之間的碰撞，三聲子碰撞；N過程不能建立熱平衡兩個(gè)動(dòng)量在某一方向的聲子碰撞，產(chǎn)生一個(gè)動(dòng)量方向相反的聲子，改變了聲子的分布，對(duì)熱傳導(dǎo)有貢獻(xiàn)。不改變總動(dòng)量，某溫度下的聲子局域平衡分布可以以某個(gè)漂移速度在晶體中運(yùn)動(dòng)，熱流一旦建立，永不衰減。U過程對(duì)改變聲子數(shù)分布最有效關(guān)鍵是改變聲子分布看上去是平均自由程，關(guān)鍵是改變聲子數(shù)分布；612.23非簡(jiǎn)諧效應(yīng)將晶體中原子之間的相互作用勢(shì)能函數(shù)U(r)，在平衡位置r=a附近進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，常數(shù)定義為零平衡微商為零簡(jiǎn)諧項(xiàng)非簡(jiǎn)諧項(xiàng)U(a)是原子間距為平衡間距時(shí)的勢(shì)能。前面討論晶格振動(dòng)是在簡(jiǎn)諧近似下進(jìn)行的，即忽略了泰勒展開式中的三次方和三次方以上項(xiàng)。在晶體原子相互作用勢(shì)能展開式中，三次方和三次方以上的項(xiàng)稱為非簡(jiǎn)諧項(xiàng)，有些物理效應(yīng)是由非簡(jiǎn)諧項(xiàng)引起的，討論這些物理效應(yīng)就必須考慮非簡(jiǎn)諧項(xiàng)。由非簡(jiǎn)諧項(xiàng)引起的效應(yīng)稱為非簡(jiǎn)諧效應(yīng)，典型的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)有熱膨脹和熱傳導(dǎo)。2.23非簡(jiǎn)諧效應(yīng)將晶體中原子之間的相互作用勢(shì)能函數(shù)U(62在簡(jiǎn)諧近似下，相互作用勢(shì)能只保留到二次方項(xiàng)，晶格振動(dòng)為一系列線性獨(dú)立的諧振子（格波）?；ハ嗒?dú)立的格波既不發(fā)生相互作用，也不交換能量。這樣的聲子既不能把能量傳遞給其它頻率的聲子，也不能處于熱平衡。1、簡(jiǎn)諧近似的不足簡(jiǎn)諧近似，勢(shì)能為拋物線，兩邊對(duì)稱在簡(jiǎn)諧近似下，相互作用勢(shì)能只保留到二次方項(xiàng)，晶格振動(dòng)為一系列63簡(jiǎn)諧近似下的運(yùn)動(dòng)方程：簡(jiǎn)諧近似下的解：線性變換引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)動(dòng)能項(xiàng)和勢(shì)能項(xiàng)沒有交叉項(xiàng)，意味著每個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)模式（聲子）之間沒有相互作用簡(jiǎn)諧近似下的運(yùn)動(dòng)方程：簡(jiǎn)諧近似下的解：線性變換引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)動(dòng)64在簡(jiǎn)諧近似下，得出了一些與事實(shí)不符合的結(jié)論：沒有熱膨脹（原子的平衡位置不依賴于溫度）；力常數(shù)和彈性常數(shù)不依賴于溫度和壓力；高溫時(shí)熱容量是常數(shù)（Dulong-Petit定律）；等容熱容和等壓熱容相等（CV=Cp）；聲子間不存在相互作用，聲子的平均自由程和壽命都是無(wú)限的，或者說(shuō)，兩個(gè)點(diǎn)陣波之間不發(fā)生相互作用，單個(gè)波不衰減或不隨時(shí)間改變形式；沒有雜質(zhì)和缺陷的簡(jiǎn)諧晶體的熱導(dǎo)是無(wú)限大的；對(duì)完美的簡(jiǎn)諧晶體而言，紅外吸收峰、Raman和Briiouin散射峰以及非彈性散射峰寬應(yīng)為零。在簡(jiǎn)諧近似下，得出了一些與事實(shí)不符合的結(jié)論：沒有熱膨脹（原子652、相互作用勢(shì)能的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)常數(shù)定義為零平衡微商為零簡(jiǎn)諧項(xiàng)非簡(jiǎn)諧項(xiàng)2、相互作用勢(shì)能的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)常數(shù)定義為零平衡微商為零簡(jiǎn)諧項(xiàng)非簡(jiǎn)66非簡(jiǎn)諧項(xiàng)，代表原子之間排斥作用的非對(duì)稱性>0時(shí)，，吸引力減??；<0時(shí)，，排斥力增大?？紤]這一非簡(jiǎn)諧項(xiàng)后，勢(shì)能曲線不對(duì)稱：>0一邊比較平緩，<0一邊則比較陡峭。因此非簡(jiǎn)諧振動(dòng)，使原子間產(chǎn)生一定的相互斥力，從而引起熱膨脹。所以熱膨脹是一種晶格振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)。非簡(jiǎn)諧項(xiàng)，代表原子之間排斥作用的非對(duì)稱性>0時(shí)，67非簡(jiǎn)諧項(xiàng)，代表在大振幅下振動(dòng)的軟化考慮二階項(xiàng)和四階項(xiàng)，有回復(fù)力常數(shù)減小，振動(dòng)軟化。非簡(jiǎn)諧項(xiàng)，代表在大振幅下振動(dòng)的軟化考慮二階項(xiàng)和四階項(xiàng)，有回復(fù)68力常數(shù)小rU(r)力常數(shù)大力常數(shù)對(duì)勢(shì)能的影響rU(r)四次方項(xiàng)對(duì)勢(shì)能的影響簡(jiǎn)諧勢(shì)非簡(jiǎn)諧勢(shì)力常數(shù)小rU(r)力常數(shù)大力常數(shù)對(duì)勢(shì)能的影響rU(r)四次方693、非簡(jiǎn)諧近似下的解考慮諧振子方程中的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)，雙原子運(yùn)動(dòng)方程是兩原子的約化質(zhì)量令3、非簡(jiǎn)諧近似下的解考慮諧振子方程中的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)，雙原子運(yùn)動(dòng)方70運(yùn)動(dòng)方程解得形式為這里只考慮了Fourier展開式中的頭三項(xiàng)，所以只有2項(xiàng)，如果考慮3項(xiàng)，則會(huì)有3的項(xiàng)。將方程的解代入運(yùn)動(dòng)方程，并假定sA<<1，有利用方程的解，并考慮<cost>=0，<cos2t>=0因?yàn)間0<0，所以a(T)>a運(yùn)動(dòng)方程解得形式為這里只考慮了Fourier展開式中的頭三項(xiàng)71當(dāng)系統(tǒng)與熱源處于熱平衡狀態(tài)時(shí)，雙原子的平均振動(dòng)能振幅的平方與溫度成正比當(dāng)系統(tǒng)與熱源處于熱平衡狀態(tài)時(shí)，雙原子的平均振動(dòng)能振幅的平方與72簡(jiǎn)諧近似下：振動(dòng)模式（聲子）無(wú)相互作用，無(wú)熱量交換無(wú)法進(jìn)入熱平衡狀態(tài)聲子數(shù)目不發(fā)生變化非簡(jiǎn)諧效應(yīng)：振動(dòng)模式（聲子）不再相互獨(dú)立聲子氣體不再是理想氣體在振動(dòng)模式近似獨(dú)立的條件下，可以將高次項(xiàng)考慮為微擾簡(jiǎn)諧近似下：振動(dòng)模式（聲子）無(wú)相互作用，無(wú)熱量交換非簡(jiǎn)諧效應(yīng)732.24熱膨脹簡(jiǎn)諧非諧非諧平均位置1、定性解釋原子之間的相互作用勢(shì)能函數(shù)如圖所示。在溫度較低，原子在平衡位置附近的振動(dòng)為微振動(dòng)時(shí)，原子的左右位移具有對(duì)稱性，原子的左右最大位移絕對(duì)值相同，離開平衡點(diǎn)位移的平均值為零。相鄰原子之間的距離平均還是a，晶格膨脹不明顯。微振動(dòng)的勢(shì)能展開式中，三次方和三次方以上項(xiàng)很小，可以忽略，這就是簡(jiǎn)諧近似。簡(jiǎn)諧近似下，原子之間的勢(shì)能函數(shù)是左右對(duì)稱的拋物線。當(dāng)溫度不很低時(shí)，原子的振動(dòng)幅度較大，原子的左右位移不再具有對(duì)稱性，相鄰原子之間的平均距離大于a，并且，隨著溫度的增大，原子間距也增加，晶格發(fā)生熱膨脹。熱膨脹現(xiàn)象，在勢(shì)能展開式中，是三次方和三次方以上項(xiàng)引起的效應(yīng)，是一種非簡(jiǎn)諧效應(yīng)。2.24熱膨脹簡(jiǎn)諧非諧非諧平均位置1、定性解釋原子之間的74考慮一維原子鏈，如果兩個(gè)原子的間距為r，按照Boltzman統(tǒng)計(jì)，溫度T時(shí)原子的能量分布為兩個(gè)原子之間的平均距離為簡(jiǎn)諧近似下，變換表明在簡(jiǎn)諧近似下，平均間距不隨溫度變化而變化。2、定量計(jì)算考慮一維原子鏈，如果兩個(gè)原子的間距為r，按照Boltzman75利用條件考慮非簡(jiǎn)諧效應(yīng)，相互作用勢(shì)能函數(shù)取到三次方項(xiàng)利用條件考慮非簡(jiǎn)諧效應(yīng)，相互作用勢(shì)能函數(shù)取到三次方項(xiàng)76分母略去高次項(xiàng)后，可得考慮三次項(xiàng)后即可解釋熱膨脹，此時(shí)線膨脹系數(shù)是常數(shù)：分母略去高次項(xiàng)后，可得考慮三次項(xiàng)后即可解釋熱膨脹，此時(shí)線膨脹77固態(tài)氬的晶格常量與溫度的關(guān)系線膨脹系數(shù)直接與非簡(jiǎn)諧系數(shù)有關(guān)。如果只計(jì)入勢(shì)能的三次項(xiàng)時(shí)，線膨脹系數(shù)與溫度無(wú)關(guān)，否則，還需計(jì)入勢(shì)能的更高次項(xiàng)?？紤]三次方以上的更高次項(xiàng)，膨脹系數(shù)就不再是線性的。上述討論只適用偏離平衡位置較小時(shí)的情況。溫度很高時(shí)，晶體已被溶化而不復(fù)存在。固態(tài)氬的晶格常量與溫度的關(guān)系線膨脹系數(shù)直接與非簡(jiǎn)諧系數(shù)有關(guān)。782.25狀態(tài)方程：熱膨脹的熱力學(xué)處理1、基本概念系綜（ensemble）：代表一大群相類似的體系的集合。對(duì)一類相同性質(zhì)的體系，其微觀狀態(tài)（如每個(gè)粒子的位置和速度）仍然可以大不相同。正則系綜（canonicalensemble）：是統(tǒng)計(jì)力學(xué)中系綜的一種，代表了許多具有相同溫度的體系的集合。通常，系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)體系的粒子數(shù)和體積都是相同的，但每個(gè)體系都可以和系綜內(nèi)其它體系交換能量，同時(shí)系綜里所有體系的能量總和，以及所有體系的總個(gè)數(shù)是固定的。在這些條件下，當(dāng)系綜內(nèi)所有體系被分配到不同的微觀狀態(tài)上，每個(gè)微觀狀態(tài)上的體系個(gè)數(shù)正比于2.25狀態(tài)方程：熱膨脹的熱力學(xué)處理1、基本概念系綜（79系統(tǒng)的絕大多數(shù)熱力學(xué)性質(zhì)都可以從配分函數(shù)中得到（）配分函數(shù)：是統(tǒng)計(jì)物理中經(jīng)常應(yīng)用到的概念。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)通過對(duì)大量微觀粒子統(tǒng)計(jì)行為的計(jì)算，將微觀物理狀態(tài)與宏觀物理量相互聯(lián)系起來(lái)，而配分函數(shù)就是聯(lián)系微觀物理狀態(tài)和宏觀物理量的橋梁。系綜中每個(gè)態(tài)存在的可能性：Helmheltzfreeenergy:Internalenergy:Pressure:Entropy:Gibbsfreeenergy:Entholpy:Constantvolumeheatcapacity:Constantpressureheatcapacity:Chemicalpotential:系統(tǒng)的絕大多數(shù)熱力學(xué)性質(zhì)都可以從配分函數(shù)中得到（802、晶體狀態(tài)方程在不考慮原子振動(dòng)情況下，晶體狀態(tài)方程：其中U是原子間相互作用勢(shì)能由熱力學(xué)理論可知，若能求出晶體的自由能F(T,V)，就可由下式求出狀態(tài)方程2、晶體狀態(tài)方程在不考慮原子振動(dòng)情況下，晶體狀態(tài)方程：其中U81自由能的計(jì)算（簡(jiǎn)諧近似）其中E0是絕對(duì)零度時(shí)的晶體內(nèi)能（原子間互作用勢(shì)能U），是晶體體積和原胞數(shù)的函數(shù)；nji是第j個(gè)振動(dòng)模的一種可能的聲子數(shù)，則配分函數(shù)表達(dá)式為，，其中配分函數(shù)Z為取和是對(duì)所用可能的能量狀態(tài)取和，任一可能狀態(tài)的能量Ei可以由各個(gè)振動(dòng)模的一種可能能量的疊加，表示為自由能的計(jì)算（簡(jiǎn)諧近似）其中E0是絕對(duì)零度時(shí)的晶體內(nèi)能（原子82是第j個(gè)振動(dòng)模的配分函數(shù)。代入自由能公式得，其中我們假定把非簡(jiǎn)諧效應(yīng)考慮在內(nèi)時(shí)，上式也近似成立。自由能分為兩部分：F2：由晶格熱振動(dòng)決定的自由能F1：與晶格振動(dòng)無(wú)關(guān)，只與晶體體積有關(guān)的自由能（等于原子間的互作用勢(shì)能U）是第j個(gè)振動(dòng)模的配分函數(shù)。代入自由能公式得，其中我們假定把非83格林愛森晶體狀態(tài)方程是一個(gè)無(wú)量綱的量，格林愛森（Grüneisen）假設(shè)該量近似對(duì)所有振動(dòng)頻率相同（與頻率無(wú)關(guān)）。由于一般隨V增加而減小，>0是頻率為j的諧振子的平均能量溫度為T時(shí)晶格平均振動(dòng)能（包括零點(diǎn)振動(dòng)能）自由能中晶體的內(nèi)能E0（或U）是晶體體積的函數(shù)，同時(shí)，當(dāng)晶體體積改變時(shí)，格波頻率也將改變，即格波頻率j也是體積的函數(shù)，格林愛森晶體狀態(tài)方程是一84熱膨脹就是在給定的外壓強(qiáng)P下，體積隨溫度的變化，熱膨脹系數(shù)的定義為對(duì)各向同性的立方晶體，線膨脹系數(shù)是體膨脹系數(shù)的1/3，即熱膨脹與格林愛森常數(shù)利用熱力學(xué)關(guān)系按定義，體積彈性模量為熱膨脹就是在給定的外壓強(qiáng)P下，體積隨溫度的變化，熱膨脹系數(shù)的85對(duì)大多數(shù)固體而言，盡管溫度變化范圍可能較大，但體積的變化并不大。將dU/dV在平衡體積V0附近展開，并只保留V=V-V0的線性項(xiàng)，得到K為體積彈性模量（）式變?yōu)?，：體積形變引起的晶體內(nèi)部的壓強(qiáng)，晶體受壓時(shí)，V<0，晶體內(nèi)壓強(qiáng)增加；：由于晶格熱振動(dòng)導(dǎo)致的晶體內(nèi)部的壓強(qiáng)，稱為熱壓強(qiáng)?？梢怨浪?，室溫下，熱壓強(qiáng)約為103atm。從狀態(tài)方程出發(fā)對(duì)大多數(shù)固體而言，盡管溫度變化范圍可能較大，但體積的變化并不86通常條件下，晶體處在1atm的作用下，有內(nèi)外壓強(qiáng)必定平衡，可以推知晶體內(nèi)總的壓強(qiáng)是1atm。1atm與103atm相比，可以忽略，有將上式兩邊對(duì)溫度求微商，得V是晶體的體膨脹系數(shù)。表明熱膨脹系數(shù)與格林愛森常數(shù)成正比。熱膨脹是非簡(jiǎn)諧效應(yīng)，V和可作為檢驗(yàn)非簡(jiǎn)諧效應(yīng)的尺度。對(duì)大多數(shù)晶體，=1~3，小，晶格熱振動(dòng)的非簡(jiǎn)諧效應(yīng)小，大，非簡(jiǎn)諧效應(yīng)大。=0對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)諧近似。（格林愛森定律）由于彈性模量和格林愛森常數(shù)基本與溫度無(wú)關(guān)，熱膨脹系數(shù)與溫度的關(guān)系與比熱相似。通常條件下，晶體處在1atm的作用下，有內(nèi)外壓強(qiáng)必定平衡，可87簡(jiǎn)諧非諧U(T=0)U(T)熱膨脹與非簡(jiǎn)諧效應(yīng)熱膨脹是無(wú)壓力時(shí)體積隨溫度的變化，令壓力為零，由格林愛森方程得，在簡(jiǎn)諧近似下，頻率與晶格常數(shù)無(wú)關(guān)，溫度大于零，體積必定增大簡(jiǎn)諧非諧U(T=0)U(T)熱膨脹與非簡(jiǎn)諧效應(yīng)熱膨脹是無(wú)壓力88一維單原子鏈的色散關(guān)系設(shè)原子鏈對(duì)應(yīng)的截面積為S，則其體積V=NaS由于q=2l/(Na)，1/2(qa)=l/N與a無(wú)關(guān)，即與體積無(wú)關(guān)。對(duì)色散關(guān)系取對(duì)數(shù)，再對(duì)體積V的對(duì)數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得到一維單原子鏈熱膨脹現(xiàn)象中，體積V發(fā)生變化也就是原子間距a發(fā)射概念變化，力常數(shù)為格林愛森常數(shù)與原子間相互作用勢(shì)能函數(shù)泰勒展開式的三次方系數(shù)成正比。一維單原子鏈的色散關(guān)系設(shè)原子鏈對(duì)應(yīng)的截面積為S，則其體積V=89當(dāng)晶體體積膨脹時(shí)，da>0，即原子間的平衡距離增大。原子相距越遠(yuǎn)，回復(fù)力系數(shù)越小，當(dāng)距離很遠(yuǎn)時(shí)，原子間不存在相互作用，力系數(shù)為零。這說(shuō)明，da>0時(shí)，d<0。反之，當(dāng)體積縮小時(shí)，da<0，d>0。由此可知，格林愛森常數(shù)恒大于零。式中加一負(fù)號(hào)是為了保證為正值。在簡(jiǎn)諧近似下，忽略了三次方項(xiàng)和三次方以上的項(xiàng)，即令這些項(xiàng)的系數(shù)為零，則=0，這時(shí)將不會(huì)發(fā)生熱膨脹。Ge的格林愛森常數(shù)與波矢、與不同振動(dòng)模的關(guān)系，甚至還有負(fù)數(shù)當(dāng)晶體體積膨脹時(shí)，da>0，即原子間的平衡距離增大。原子相距90定義：當(dāng)固體中溫度分布不均勻時(shí)，將會(huì)有熱能從高溫處流向低溫處，這種現(xiàn)象稱為熱傳導(dǎo)。表達(dá)式：熱流密度（j）：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過單位截面?zhèn)鬏數(shù)臒崮?；熱傳?dǎo)系數(shù)（熱導(dǎo)率k）；負(fù)號(hào)表明熱能傳輸總是從高溫流向低溫?zé)醾鲗?dǎo)的種類：固體中可以通過電子運(yùn)動(dòng)導(dǎo)熱（電子熱導(dǎo)），也可以通過格波的傳播導(dǎo)熱（晶格熱導(dǎo)）。絕緣體和一般半導(dǎo)體中的熱傳導(dǎo)主要是靠晶格的熱導(dǎo)。該式意味著能量傳輸過程是一個(gè)無(wú)規(guī)過程，晶格熱導(dǎo)并不簡(jiǎn)單是格波的“自由”傳播。因?yàn)槿绻亲杂蓚鞑サ脑?，熱流密度的表達(dá)式將不是依賴于溫度梯度，而是依賴于樣品兩端的溫度差。2.26熱傳導(dǎo)1、基本概念定義：當(dāng)固體中溫度分布不均勻時(shí)，將會(huì)有熱能從高溫處流向低溫處91簡(jiǎn)諧振動(dòng)熱傳導(dǎo)？與溫度有關(guān)的聲子分布的均勻過程如何建立？靠相互作用，靠碰撞？簡(jiǎn)諧近似：小振動(dòng)理論（簡(jiǎn)諧近似）得到的結(jié)果是不同格波間是完全獨(dú)立的，不存在不同聲子之間的相互碰撞，這種情況相當(dāng)于完全忽略氣體分子之間的相互作用。如果果真如此，格波不可能達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡。必須考慮非簡(jiǎn)諧效應(yīng)——非諧作用使不同格波之間存在一定的耦合，正是這種非諧作用保證不同格波間可以交換能量，達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡。簡(jiǎn)諧振動(dòng)熱傳導(dǎo)？與溫度有關(guān)的聲子分布的均勻過程如何建立？92考察理想氣體的熱傳導(dǎo)試問什么在氣體熱傳導(dǎo)過程中起決定性作用？碰撞！溫度高區(qū)域的分子運(yùn)動(dòng)到溫度低的區(qū)域時(shí)，通過碰撞，把平均動(dòng)能傳給其它分子；反過來(lái)也一樣，這樣的能量傳遞宏觀上就表現(xiàn)為熱傳導(dǎo)，熱導(dǎo)率為：理想氣體：溫差能量輸運(yùn)熱傳導(dǎo)CV：?jiǎn)挝惑w積的熱容；：平均自由程：熱運(yùn)動(dòng)的平均速度2、晶格振動(dòng)的熱傳導(dǎo)考察理想氣體的熱傳導(dǎo)試問什么在氣體熱傳導(dǎo)過程中起決定性作用？93將有限溫度下的晶體想象成包含聲子氣的容器，不同模式的聲子具有不同的動(dòng)量、能量；晶格振動(dòng)的熱傳導(dǎo)假設(shè)晶體的比熱為CV，晶體存在溫度差，高溫的一端，晶體的晶格振動(dòng)將具有較多的振動(dòng)模式和較大的振動(dòng)幅度，也即較多的聲子被激發(fā)。當(dāng)這些格波傳至晶體的冷端，使那里的晶格振動(dòng)趨于具有同樣多的振動(dòng)模式和幅度，這樣聲子就把熱量從晶體一端傳到另一端；熱端冷端聲子氣體如果晶格振動(dòng)間也即聲子間不存在相互作用，則熱導(dǎo)系數(shù)κ將為無(wú)窮大，即在晶體內(nèi)不能存在溫度梯度。（對(duì)N過程，由于總動(dòng)量守恒，熱導(dǎo)也為無(wú)窮大）。將有限溫度下的晶體想象成包含聲子氣的容器，不同模式的聲子具有94考慮非簡(jiǎn)諧效應(yīng)，聲子之間存在相互作用，當(dāng)它們從一端移向另一端時(shí)，相互間會(huì)發(fā)生碰撞，也會(huì)與晶體中的缺陷發(fā)生碰撞，因此聲子在晶體中移動(dòng)時(shí)，有一個(gè)在兩次碰撞之間聲子所走過的路程，即平均自由程，為兩次碰撞間聲子移動(dòng)的距離，設(shè)為聲子兩次碰撞間的相隔時(shí)間，則假設(shè)晶體內(nèi)溫度梯度為dT/dx，則在晶體中距離相差的兩個(gè)區(qū)域間的溫度差T可寫成：聲子移動(dòng)后，把熱量CVT從距離的一端攜帶到另一端。若聲子在晶體中沿x方向的移動(dòng)速率為x，則單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的熱量，即熱能流密度j寫成：是對(duì)所有聲子的平均值由能量均分原理得，熱流密度改寫為考慮非簡(jiǎn)諧效應(yīng)，聲子之間存在相互作用，當(dāng)它們從一端移向另一端95晶格振動(dòng)的熱傳導(dǎo)因此如果將晶格熱運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)看作是聲子氣，則晶格導(dǎo)熱就是聲子擴(kuò)散的過程看作從聲子密度高的區(qū)域向低的區(qū)域擴(kuò)散聲子是能量子，聲子的“定向流動(dòng)”就意味著能量輸運(yùn)，形成熱傳導(dǎo)晶格振動(dòng)聲子聲子數(shù)分布與溫度有關(guān)！當(dāng)樣品內(nèi)存在溫度梯度時(shí)，“聲子氣體”的密度分布是不均勻的，高溫處“聲子”密度高，低溫處“聲子”密度低，因而“聲子”氣體在無(wú)規(guī)則的基礎(chǔ)上產(chǎn)生平均的定向的運(yùn)動(dòng)，即聲子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)。晶格振動(dòng)的熱傳導(dǎo)因此如果將晶格熱運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)看作是聲子氣，則晶格96晶體熱傳導(dǎo)系數(shù)如果勢(shì)能的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)比簡(jiǎn)諧項(xiàng)小得多時(shí)，用微擾，這時(shí)聲子仍可看作理想氣體，但聲子之間有相互作用——碰撞用與理想氣體同樣的方法得到同樣的結(jié)果：比熱CV已知，平均速度p為聲子速度（為了簡(jiǎn)化通常取固體中的聲速），為聲子平均自由程。晶體熱傳導(dǎo)系數(shù)如果勢(shì)能的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)比簡(jiǎn)諧項(xiàng)小得多時(shí)，用微擾，這973、影響聲子平均自由程的因素（定性分析）聲子平均自由程的大小由兩種過程來(lái)決定：聲子之間的碰撞，它是非簡(jiǎn)諧效應(yīng)的反映晶體中雜質(zhì)、缺陷以及晶體邊界對(duì)聲子的散射一個(gè)聲子的存在會(huì)引起周期性彈性應(yīng)變；這種彈性應(yīng)變?nèi)绻^大，則不可能再用簡(jiǎn)諧近似來(lái)描述；這樣，非簡(jiǎn)諧彈性應(yīng)變對(duì)晶體的彈性常數(shù)產(chǎn)生空間和時(shí)間上的調(diào)制第二個(gè)聲子感受到這種彈性常數(shù)的調(diào)制，受到散射而產(chǎn)生第三個(gè)聲子3、影響聲子平均自由程的因素（定性分析）聲子平均自由程的大小98聲子碰撞（耦合）（1）處理方法考慮非簡(jiǎn)諧項(xiàng)后，一維單原子鏈運(yùn)動(dòng)方程的求解：方程求解復(fù)雜，特別是非諧項(xiàng)比較大時(shí)，完全不能用類似的方法表述。處理弱非簡(jiǎn)諧情況時(shí)，可把簡(jiǎn)諧近似下得到的相互獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子解作為基礎(chǔ)，把非簡(jiǎn)諧項(xiàng)作為微擾來(lái)處理，這就導(dǎo)致聲子之間存在著相互作用，就會(huì)發(fā)生碰撞，能量改變且只有有限的壽命。一種頻率的聲子可以湮滅而產(chǎn)生另一種頻率的聲子，這樣經(jīng)過一段時(shí)間后，各種頻率的聲子數(shù)目就會(huì)達(dá)到和環(huán)境溫度相平衡的分布。聲子碰撞（耦合）（1）處理方法考慮非簡(jiǎn)諧項(xiàng)后，一維單原子鏈運(yùn)99通過非簡(jiǎn)諧項(xiàng)的作用，本來(lái)相互獨(dú)立的諧振子之間發(fā)生耦合。不同格波之間的相互作用，表示為聲子間的“碰撞”。非諧作用中的勢(shì)能三次方項(xiàng)對(duì)應(yīng)三聲子過程：二個(gè)聲子碰撞產(chǎn)生另外一個(gè)聲子或一個(gè)聲子劈裂成二個(gè)聲子。非諧作用中勢(shì)能四次方項(xiàng)則對(duì)應(yīng)四個(gè)聲子相互作用的過程。在熱傳導(dǎo)問題中，聲子的碰撞起著限制聲子平均自由程的作用。（2）聲子與聲子之間的碰撞三聲子相互“碰撞”的示意圖聲子間相互“碰撞”需要滿足能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒關(guān)系，以二個(gè)聲子碰撞產(chǎn)生另一個(gè)聲子的三聲子過程為例，有：其中表示倒格子矢量通過非簡(jiǎn)諧項(xiàng)的作用，本來(lái)相互獨(dú)立的諧振子之間發(fā)生耦合。不同格100這里波矢q3和波矢q3+Gh是對(duì)同一聲子的，表述了同樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由于波數(shù)必須在第一布里淵區(qū)取值，因此動(dòng)量守恒的要求會(huì)存在兩種情況：q3仍在第一布里淵區(qū)內(nèi)的稱為正常過程，此時(shí)新聲子的q值等于第一布里淵區(qū)內(nèi)某個(gè)值q3加一個(gè)倒易矢量Gh的稱為倒逆過程，此時(shí)這里波矢q3和波矢q3+Gh是對(duì)同一聲子的，表述了同樣一個(gè)運(yùn)101（3）正常過程（N過程，NormalProcess）正常過程正常過程，對(duì)應(yīng)q1和q2較??；聲子的動(dòng)量沒有發(fā)生變化，因此，N過程只改變聲子的動(dòng)量分布；如果聲子的總動(dòng)量為零，就沒有熱流在熱平衡下，由于，因此，N過程由于只改變聲子的動(dòng)量分布，而基本上不影響熱流的方向，對(duì)熱阻是沒有貢獻(xiàn)的（3）正常過程（N過程，NormalProcess）正常過102正常過程能使系統(tǒng)達(dá)到熱平衡嗎？外界干擾使聲子獲得了某一方向的定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量，在由非平衡態(tài)向平衡態(tài)過渡時(shí)，定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量應(yīng)當(dāng)逐漸減到零，這樣才能使系統(tǒng)進(jìn)入熱平衡狀態(tài)。為了能進(jìn)入熱平衡狀態(tài)，顯然應(yīng)當(dāng)存在這樣一種機(jī)制，它能衰減聲子定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量。正常過程并沒有使動(dòng)量衰減，系統(tǒng)總的動(dòng)量不變，定向運(yùn)動(dòng)沒有被衰減。正常過程對(duì)實(shí)現(xiàn)熱平衡沒有貢獻(xiàn)。正常過程能使系統(tǒng)達(dá)到熱平衡嗎？外界干擾使聲子獲得了某一方向的103（4）翻轉(zhuǎn)過程（U過程，UmklappProcess）翻轉(zhuǎn)過程聲子的總動(dòng)量改變了一個(gè)非零的倒格矢的動(dòng)量對(duì)應(yīng)q1和q2較大，與布里淵區(qū)的尺度可比時(shí)才能發(fā)生U過程，能量大的格波參與才能發(fā)生；在翻轉(zhuǎn)過程中使聲子的動(dòng)量發(fā)生很大變化（如圖所示，是向“右”的，碰撞后是向“左”的），從而破壞了熱流的方向，U過程對(duì)熱阻是有貢獻(xiàn)的，對(duì)熱導(dǎo)率的下降十分有效。U過程要求q1和q2較大，這樣屬性的聲子數(shù)隨溫度很快下降，因此，U過程可改變聲子數(shù)的分布。（4）翻轉(zhuǎn)過程（U過程，UmklappProcess）翻轉(zhuǎn)104倒逆過程能使系統(tǒng)達(dá)到熱平衡嗎？外界干擾使聲子獲得了某一方向的定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量，在由非平衡態(tài)向平衡態(tài)過渡時(shí)，定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量應(yīng)當(dāng)逐漸減到零，這樣才能使系統(tǒng)進(jìn)入熱平衡狀態(tài)。為了能進(jìn)入熱平衡狀態(tài)，顯然應(yīng)當(dāng)存在這樣一種機(jī)制，它能衰減聲子定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量。倒逆過程使得聲子某個(gè)方向動(dòng)量發(fā)生倒轉(zhuǎn)，從而衰減了整個(gè)聲子團(tuán)的動(dòng)量。倒逆過程對(duì)實(shí)現(xiàn)熱平衡（熱傳導(dǎo)）有貢獻(xiàn)。倒逆過程能使系統(tǒng)達(dá)到熱平衡嗎？外界干擾使聲子獲得了某一方向的105聲子能量、動(dòng)量守恒關(guān)系圖（將原點(diǎn)移到1）LATAN過程U過程聲子能量、動(dòng)量守恒關(guān)系圖（將原點(diǎn)移到1）LATAN過程U過106（5）發(fā)生U過程/N過程的可能性估算（5）發(fā)生U過程/N過程的可能性估算107第一BZ的尺寸與德拜球的半徑有相同的數(shù)量級(jí)，若兩個(gè)聲子碰撞后產(chǎn)生的第三個(gè)聲子要超出第一BZ，則這兩個(gè)聲子的波矢應(yīng)在1/2qD附近，這樣的聲子的能量為類