第三章-機器人運動學課件

3.2運動學模型和約束為整個機器人運動推導一個模型，是一個由底向上的過程。我們必須用相對清晰和一致的參考框架來表達各輪的力和約束，由于移動機器人的獨立和移動本質(zhì)，需要在全局和局部參考框架之間有一個清楚的映射。3.2運動學模型和約束13.2.1表示機器人的位置在整個分析過程中，我們將機器人建模成輪子上的一個剛體，運行在水平面上。為了確定機器人在平面中的位置，我們建立了平面全局參考框架和機器人局部參考框架之間的關系如圖所示3.2.1表示機器人的位置2圖3.1全局參考框架和局部參考框架圖3.1全局參考框架和局部參考框架3（XI，YI）為全局參考框架(XR，YR)為機器人的局部參考框架，相對于機器人底盤上的點P在全局參考框架下，P的位置由坐標x和y確定，全局框架和局部框架的角度差由θ表示。機器人的姿態(tài)可由這三個元素組成的向量來描述，即在全局參考框架下該姿態(tài)的基為：（XI，YI）為全局參考框架4為了根據(jù)分量的移動描述機器人的移動，需要將全局參考架下的移動映射到局部參考框架下的運動。該運動可由正交旋轉(zhuǎn)矩陣來完成：為了根據(jù)分量的移動描述機器人的移動，需要將全局參考架下的移動5舉例（example）圖3.2與全局參考框架并排的機器人舉例（example）圖3.2與全局參考框架并排的機器人6給定在全局參考框架下某個速度，我們可以計算沿機器人局部參考框架軸XR和YR的運動分量。給定在全局參考框架下某個速度，我73.2.2前向運動學模型給定機器人的幾何特征和它的輪子速度，機器人如何運動？即前向運動學模型。該差動機器人有2個輪子，半徑為r，給定中心處為兩輪之間的點P，各輪距P的距離為l。

給定r,l,θ和各輪的轉(zhuǎn)速，前向運動學模型會預測全局參考框架中機器人的總速度：圖3.3在全局參考框架中差動驅(qū)動的機器人3.2.2前向運動學模型圖3.3在全局參考框架中差動驅(qū)動的8建模策略：首先計算在局部參考框架下各輪對機器人運動的貢獻，然后再將其影射到全局參考框架下。首先，考慮在+XR方向上各輪的轉(zhuǎn)動速度對點P的平移速度的貢獻。

計算如果一輪旋轉(zhuǎn)，而另一輪無貢獻且不動，則點P的平移速度為

（1）建模策略：首先計算在局部參考框架下各輪對機器人運動的貢獻，然9其次，計算在YR方向的貢獻

由于沒有一個輪子可以提供側(cè)向運動，所以沿YR方向的速度總是零。最后，計算旋轉(zhuǎn)角速度分量。可獨立的計算各輪的貢獻，且只要簡單相加即可。

（2）其次，計算在YR方向的貢獻（2）10聯(lián)合式（1）和式（2）得到差動驅(qū)動機器人的運動學模型如式（3）所示：（3）聯(lián)合式（1）和式（2）得到差動驅(qū)動機器人的運動學模型如式（311其中：其中：12舉例（example）假定機器人位于θ＝π/2，r＝1，l＝1，各輪轉(zhuǎn)速分別為4和2，則，機器人在全局參考框架中的速度為：舉例（example）假定機器人位于θ＝π/2，r＝1，l＝13在全局參考框架下，機器人沿著y軸，以速度1旋轉(zhuǎn)的同時以速度3瞬時的移動。另外，機器人沿x軸的速度為零。給定各輪的速度，用運動學建模的方法，可提供有關機器人移動的信息。然而，我們希望，對于機器人的地盤結(jié)構(gòu)，要確定機器人可能運動的空間。所以在建立運動學模型的基礎上必須進一步描述各輪加到機器人運動上的約束。在全局參考框架下，機器人沿著y軸，以速度1旋轉(zhuǎn)143.2.3輪子運動學約束首先討論單個輪子的約束，再將單獨輪子的約束聯(lián)合起來計算整個機器人的運動。兩點假設：1輪子的平面總是和地面保持垂直，并且在任何時候，輪子和地面之間只有一個單獨的接觸點。2該接觸點無滑動，即只存在純滾動。標準輪分為固定標準輪和可操縱標準輪。下面首先介紹固定標準輪的運動學約束。3.2.3輪子運動學約束15圖3.4固定標準輪和它的參數(shù)圖3.4固定標準輪和它的參數(shù)16固定標準輪A的位置用機器人局部參考框架下的極坐標（l

，α）來表示。輪子平面相對于地盤的角度用β表示，該角度為固定值。具有半徑r的輪子在輪子平面內(nèi)可自由轉(zhuǎn)動。固定標準輪A的位置用機器人局部參考框架下的極坐標（l，α17圖3.5約束示意圖圖3.5約束示意圖18固定標準輪的滾動和滑動約束方程：（1）（2）由于所有在方程中的其他參數(shù)α、β等均是依據(jù)機器人的局部參考框架，所以必須將全局參考框架下的運動變換到機器人局部參考框架內(nèi)的運動。固定標準輪的滾動和滑動約束方程：（1）（2）19舉例（example）假定輪A處在一個位置使得α＝90，β＝0，如果θ＝0，那么滑動約束方程（2）可簡化為：這里限定沿YI的運動分量為零，由于YR和YI在本例中平形，所以輪子不會側(cè)向滑動。如果不是特殊情況，則會形成全局參考框架下的軌跡（速度）約束方程。舉例（example）假定輪A處在一個位置使得α＝90，β＝20可操縱標準輪的運動學約束：可操縱標準輪的運動學約束：21可操縱的標準輪的滾動和滑動約束方程：式中β＝β(t)?？刹倏v的標準輪的滾動和滑動約束方程：22小腳輪運動學約束：小腳輪運動學約束：23小腳輪的滾動和滑動約束方程：上式表明：任何正交于輪子平面的運動必須被一個等效的且相反的小腳輪操縱運動量所平衡，這對小腳輪的成功是至關重要的，因為通過設置操縱量，任意的橫向運動是可以被接受的（即使得約束被滿足）。所以只帶有小腳輪的機器人可按任意的速度在可能的機器人運動空間中運動，我們稱此系統(tǒng)為全向的。小腳輪的滾動和滑動約束方程：上式表明：任何正交于輪子平面的運24瑞典輪運動學約束：瑞典輪運動學約束：25瑞典輪的滾動和滑動約束方程為：90度瑞典輪時，滾動方程簡化為固定標準輪的滾動約束。但由于滾柱，正交于輪子平面沒有滑動約束。改變主動輪的轉(zhuǎn)速可以產(chǎn)生任何期望的運動向量以滿足滾動約束方程，所以輪子是全向的。0度瑞典輪時，滾柱有一個平行于主輪旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動軸。若將該值代入滾動約束方程，則得到的卻是固定標準輪的滑動約束方程，即瑞典輪的滾動約束消失（主輪不需要旋轉(zhuǎn)）。瑞典輪的滾動和滑動約束方程為：90度瑞典輪時，滾動方程簡化為26小結(jié)：對于小腳輪、瑞典輪和球形輪，由于其內(nèi)部的自由度，并未對機器人的運動施加實質(zhì)上的約束，即機器人可在全局參考框架下自由運動。也就是說，只有固定標準輪和可操縱標準輪會對機器人的運動施加約束。小結(jié)：對于小腳輪、瑞典輪和球形輪，由于其內(nèi)部的自由度，并未對273.2.4機器人運動學約束給定一個具有M個輪子的機器人，將全部由所有輪子引起的運動學約束適當?shù)穆?lián)合起來，以此來描述機器人的運動學約束。假定機器人總共有N個標準輪，由Nf個固定標準輪和Ns個可操縱標準輪組成。βs(t)表示可操縱標準輪的可變操縱角。βf表示固定標準輪的方向。3.2.4機器人運動學約束28滾動約束：滑動約束：滾動約束：滑動約束：29上述表達式對單個輪子的滾動和滑動約束具有強的相似性，但矩陣代替了單個值，因此把全部輪子的約束都考慮進去了，表示一個投影矩陣，它將機器人局部參考框架下的運動投影到沿著各個輪子平面上的運動。也表示一個投影矩陣，它將機器人局部參考框架下的運動投影到各個輪子的法平面內(nèi)。上述表達式對單個輪子的滾動和滑動約束具有強的相似性，但矩陣代30舉例（example）一個差動驅(qū)動機器人（針對圖3.3所示機器人）將滾動約束和滑動約束方程聯(lián)合起來可得到式：

由于小腳輪無動力，并可在任何方向自由運動，因此可忽略第三個接觸點。其余兩個輪不可操縱，因此和分別簡化為和首先辨識各輪α和β的值。對圖3.1，右輪α＝－π/2，β＝π；左輪α＝π/2，β＝0。由于，兩個標準輪是平行的，所以，只有一個獨立的滑動約束方程總的運動約束方程如式：舉例（example）一個差動驅(qū)動機器人（針對圖3.3所示機31將上式求逆，得到特定的差動驅(qū)動機器人的運動學方程：對于簡單的差動驅(qū)動情況，上式展示了輪子滾動和滑動約束的聯(lián)合描述了運動學的行為。另外，上式與圖3.1所對應的運動學模型表示完全一致。將上式求逆，得到特定的差動驅(qū)動機器人的運動學方程：32一個有3個90度瑞典輪的全向機器人對所有輪子和。機器人的局部參考框架和全局參考框架是一致的，即夾角為0。如果輪1，2，3分別以速度4，1，2旋轉(zhuǎn)，那么整個機器人的最終運動會是什么樣呢？一個有3個90度瑞典輪的全向機器人對所有輪子和。機器人的局部333.3移動機器人的機動性機器人可操縱的總自由度，包括通過改變輪子的速度，機器人直接操縱的自由度（活動性）和通過改變操縱的配置和運動，間接操縱的自由度（可操縱度）兩個方面。3.3移動機器人的機動性343.3.2活動性的程度活動性表示機器人在環(huán)境中直接運動的能力。限制活動性的基本約束就是加在輪子上的滑動約束?；瑒蛹s束如前所示為：

3.3.2活動性的程度35在數(shù)學上，的零空間是空間N，使得對任何N中的向量n，。為了滿足約束，運動向量必須屬于投影矩陣的零空間。若遵守運動學約束，則機器人的運動必定總是在該空間N內(nèi)。在幾何上，利用機器人的瞬時轉(zhuǎn)動中心可以同時說明運動學的約束。在數(shù)學上，的零空間是空間N，使得對任36瞬時轉(zhuǎn)動中心ICR（instantaneouscenterofrotation）在任何給定時刻，輪子必定沿著半徑為R的某個圓瞬時的運動，使得那個圓的中心處在零運動直線上，該中心稱為瞬時轉(zhuǎn)動中心。它可以位于沿零運動直線的任何地方。瞬時轉(zhuǎn)動中心ICR（instantaneouscent37第三章-機器人運動學課件38要使機器人運動存在一個單獨的解，必須有一個單獨的ICR，即所有的零運動直線在一個單獨點相交。ICR的幾何特性顯示了機器人的活動性是機器人運動上的獨立約束數(shù)目的函數(shù)而不是輪子數(shù)目的函數(shù)。獨立的滑動約束的數(shù)目可用的秩來描述要使機器人運動存在一個單獨的解，必須有一個單獨39一般地，對于一個安裝有零個或多個標準輪的機器人：秩等于零：在這種情況下，機器人未安裝標準輪秩等于3：機器人在任何方向是完全受約束的，它將不可能在平面中運動。一般地，對于一個安裝有零個或多個標準輪的機器人：40活動性程度：矩陣零空間的維數(shù)（dimN）是通過改變輪子的速度，可以立即操縱機器人底盤的自由度數(shù)目的一個度量?；顒有猿潭龋?1對于一個差動驅(qū)動的機器人底盤：簡單的通過操縱輪子的速度，即可控制方向的變化率又可控制向前/向后的速度。ICR被限制在位于從它的輪子水平軸擴展的無限直線上。自行車的底盤、由全向輪組成的機器人底盤？對于一個差動驅(qū)動的機器人底盤：423.3.2可操縱度

對于可操縱的標準輪，通過改變操縱角，可間接改變機器人的姿態(tài)。

可操縱度即表示獨立的可操縱的參數(shù)的數(shù)目?？紤]活動性，增加的秩，意味著更多的約束，因而是移動較少的系統(tǒng)；考慮可操縱度，增加的秩，意味著更多的操縱自由度，從而有更大的最終機動性。

3.3.2可操縱度43可操縱度的取值范圍：為零，說明機器人沒有可操縱的標準輪；為2，說明機器人（偽自行車）沒有固定標準輪，說明機器人可以把ICR放到地平面上任何地方?？紤]一輛普通汽車，如圖所示，Nf＝2和Ns＝2。由于兩個固定標準輪共享一個公共軸，所以。固定標準輪和任何一個可操縱輪限制ICR成為沿著從后軸延伸的直線的一個點，所以第二個可操縱輪不再施加獨立的運動學約束，故，在此情況下，活動性程度為1，可操縱度為1?？刹倏v度的取值范圍：為零，說明機器人沒有可操縱的標準輪；為2443.3.3機器人的機動性機器人可以操縱的總的自由度，稱為機動程度定義為：。包括直接操縱的自由度和間接操縱的自由度。3.3.3機器人的機動性45第三章-機器人運動學課件463.4運動控制運動控制的目標是跟蹤一條軌跡，該軌跡由機器人的位置或速度輪廓描述成為時間的函數(shù)。通過將軌跡（路徑）分割成形狀清晰的被定義的運動區(qū)段（如直線或圓弧段）來完成運動控制的任務。控制問題則是根據(jù)直線和圓弧段，預先計算平滑的軌跡，驅(qū)動機器人從初始位置走到最終位置。3.4運動控制473.4.1開環(huán)控制（openloopcontrol）通過將軌跡（路徑）分割成形狀清晰的被定義的運動區(qū)段（如直線或圓弧段）來完成運動控制的任務?？刂茊栴}則是根據(jù)直線和圓弧段，預先計算平滑的軌跡，驅(qū)動機器人從初始位置走到最終位置。特點是所測量的機器人位置不被反饋當作速度或位置控制。

3.4.1開環(huán)控制（openloopcontrol）48根據(jù)直線和圓軌跡段的運動機器人的開環(huán)控制根據(jù)直線和圓軌跡段的運動機器人的開環(huán)控制493.4.2反饋控制（feedbackcontrol）在移動機器人的運動控制中，使用狀態(tài)反饋控制器，路徑規(guī)劃問題可簡化為在所要求的路徑中間點設置子目標。3.4.2反饋控制（feedbackcontrol）50移動機器人反饋控制的典型情況移動機器人反饋控制的典型情況513.4.2.1問題陳述在機器人局部參考框架下，給定實際姿態(tài)誤差向量為，x，y和θ是機器人的目標坐標。如果存在一個控制矩陣K使得v（t）和w（t）的控制，使得誤差e趨向零。3.4.2.1問題陳述523.4.2.2運動學模型

機器人的運動學和它感興趣的框架3.4.2.2運動學模型機器人的運動學和它感興趣的框架53假定目標在全局參考框架的原點，在下面，位置向量總是被標是在全局參考框架下。在全局參考框架下，差動驅(qū)動的機器人的運動學給定如下：假定目標在全局參考框架的原點，在下面，位置向量54當前位置在全局參考框架下的極坐標為：當前位置在全局參考框架下的極坐標為：55利用矩陣方程，用極坐標描述得到一個系統(tǒng)的描述：利用矩陣方程，用極坐標描述得到一個系統(tǒng)的描述：563.4.2.3控制率設計控制信號v和w，以把機器人從它的實際位置驅(qū)動到目標位置。考慮線性率：可用下式描述閉環(huán)控制系統(tǒng)：

3.4.2.3控制率57該閉環(huán)系統(tǒng)在有一個唯一的平衡點，因此，它會使機器人到達目標點?？刂茀?shù)設置如下：仿真結(jié)果見下頁：該閉環(huán)系統(tǒng)在有一個唯一的平衡點58機器人初始位置在x，y平面單位圓上時的最終路徑機器人初始位置在x，y平面單位圓上時的最終路徑593.2運動學模型和約束為整個機器人運動推導一個模型，是一個由底向上的過程。我們必須用相對清晰和一致的參考框架來表達各輪的力和約束，由于移動機器人的獨立和移動本質(zhì)，需要在全局和局部參考框架之間有一個清楚的映射。3.2運動學模型和約束603.2.1表示機器人的位置在整個分析過程中，我們將機器人建模成輪子上的一個剛體，運行在水平面上。為了確定機器人在平面中的位置，我們建立了平面全局參考框架和機器人局部參考框架之間的關系如圖所示3.2.1表示機器人的位置61圖3.1全局參考框架和局部參考框架圖3.1全局參考框架和局部參考框架62（XI，YI）為全局參考框架(XR，YR)為機器人的局部參考框架，相對于機器人底盤上的點P在全局參考框架下，P的位置由坐標x和y確定，全局框架和局部框架的角度差由θ表示。機器人的姿態(tài)可由這三個元素組成的向量來描述，即在全局參考框架下該姿態(tài)的基為：（XI，YI）為全局參考框架63為了根據(jù)分量的移動描述機器人的移動，需要將全局參考架下的移動映射到局部參考框架下的運動。該運動可由正交旋轉(zhuǎn)矩陣來完成：為了根據(jù)分量的移動描述機器人的移動，需要將全局參考架下的移動64舉例（example）圖3.2與全局參考框架并排的機器人舉例（example）圖3.2與全局參考框架并排的機器人65給定在全局參考框架下某個速度，我們可以計算沿機器人局部參考框架軸XR和YR的運動分量。給定在全局參考框架下某個速度，我663.2.2前向運動學模型給定機器人的幾何特征和它的輪子速度，機器人如何運動？即前向運動學模型。該差動機器人有2個輪子，半徑為r，給定中心處為兩輪之間的點P，各輪距P的距離為l。

給定r,l,θ和各輪的轉(zhuǎn)速，前向運動學模型會預測全局參考框架中機器人的總速度：圖3.3在全局參考框架中差動驅(qū)動的機器人3.2.2前向運動學模型圖3.3在全局參考框架中差動驅(qū)動的67建模策略：首先計算在局部參考框架下各輪對機器人運動的貢獻，然后再將其影射到全局參考框架下。首先，考慮在+XR方向上各輪的轉(zhuǎn)動速度對點P的平移速度的貢獻。

計算如果一輪旋轉(zhuǎn)，而另一輪無貢獻且不動，則點P的平移速度為

（1）建模策略：首先計算在局部參考框架下各輪對機器人運動的貢獻，然68其次，計算在YR方向的貢獻

由于沒有一個輪子可以提供側(cè)向運動，所以沿YR方向的速度總是零。最后，計算旋轉(zhuǎn)角速度分量?？瑟毩⒌挠嬎愀鬏喌呢暙I，且只要簡單相加即可。

（2）其次，計算在YR方向的貢獻（2）69聯(lián)合式（1）和式（2）得到差動驅(qū)動機器人的運動學模型如式（3）所示：（3）聯(lián)合式（1）和式（2）得到差動驅(qū)動機器人的運動學模型如式（370其中：其中：71舉例（example）假定機器人位于θ＝π/2，r＝1，l＝1，各輪轉(zhuǎn)速分別為4和2，則，機器人在全局參考框架中的速度為：舉例（example）假定機器人位于θ＝π/2，r＝1，l＝72在全局參考框架下，機器人沿著y軸，以速度1旋轉(zhuǎn)的同時以速度3瞬時的移動。另外，機器人沿x軸的速度為零。給定各輪的速度，用運動學建模的方法，可提供有關機器人移動的信息。然而，我們希望，對于機器人的地盤結(jié)構(gòu)，要確定機器人可能運動的空間。所以在建立運動學模型的基礎上必須進一步描述各輪加到機器人運動上的約束。在全局參考框架下，機器人沿著y軸，以速度1旋轉(zhuǎn)733.2.3輪子運動學約束首先討論單個輪子的約束，再將單獨輪子的約束聯(lián)合起來計算整個機器人的運動。兩點假設：1輪子的平面總是和地面保持垂直，并且在任何時候，輪子和地面之間只有一個單獨的接觸點。2該接觸點無滑動，即只存在純滾動。標準輪分為固定標準輪和可操縱標準輪。下面首先介紹固定標準輪的運動學約束。3.2.3輪子運動學約束74圖3.4固定標準輪和它的參數(shù)圖3.4固定標準輪和它的參數(shù)75固定標準輪A的位置用機器人局部參考框架下的極坐標（l

，α）來表示。輪子平面相對于地盤的角度用β表示，該角度為固定值。具有半徑r的輪子在輪子平面內(nèi)可自由轉(zhuǎn)動。固定標準輪A的位置用機器人局部參考框架下的極坐標（l，α76圖3.5約束示意圖圖3.5約束示意圖77固定標準輪的滾動和滑動約束方程：（1）（2）由于所有在方程中的其他參數(shù)α、β等均是依據(jù)機器人的局部參考框架，所以必須將全局參考框架下的運動變換到機器人局部參考框架內(nèi)的運動。固定標準輪的滾動和滑動約束方程：（1）（2）78舉例（example）假定輪A處在一個位置使得α＝90，β＝0，如果θ＝0，那么滑動約束方程（2）可簡化為：這里限定沿YI的運動分量為零，由于YR和YI在本例中平形，所以輪子不會側(cè)向滑動。如果不是特殊情況，則會形成全局參考框架下的軌跡（速度）約束方程。舉例（example）假定輪A處在一個位置使得α＝90，β＝79可操縱標準輪的運動學約束：可操縱標準輪的運動學約束：80可操縱的標準輪的滾動和滑動約束方程：式中β＝β(t)。可操縱的標準輪的滾動和滑動約束方程：81小腳輪運動學約束：小腳輪運動學約束：82小腳輪的滾動和滑動約束方程：上式表明：任何正交于輪子平面的運動必須被一個等效的且相反的小腳輪操縱運動量所平衡，這對小腳輪的成功是至關重要的，因為通過設置操縱量，任意的橫向運動是可以被接受的（即使得約束被滿足）。所以只帶有小腳輪的機器人可按任意的速度在可能的機器人運動空間中運動，我們稱此系統(tǒng)為全向的。小腳輪的滾動和滑動約束方程：上式表明：任何正交于輪子平面的運83瑞典輪運動學約束：瑞典輪運動學約束：84瑞典輪的滾動和滑動約束方程為：90度瑞典輪時，滾動方程簡化為固定標準輪的滾動約束。但由于滾柱，正交于輪子平面沒有滑動約束。改變主動輪的轉(zhuǎn)速可以產(chǎn)生任何期望的運動向量以滿足滾動約束方程，所以輪子是全向的。0度瑞典輪時，滾柱有一個平行于主輪旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動軸。若將該值代入滾動約束方程，則得到的卻是固定標準輪的滑動約束方程，即瑞典輪的滾動約束消失（主輪不需要旋轉(zhuǎn)）。瑞典輪的滾動和滑動約束方程為：90度瑞典輪時，滾動方程簡化為85小結(jié)：對于小腳輪、瑞典輪和球形輪，由于其內(nèi)部的自由度，并未對機器人的運動施加實質(zhì)上的約束，即機器人可在全局參考框架下自由運動。也就是說，只有固定標準輪和可操縱標準輪會對機器人的運動施加約束。小結(jié)：對于小腳輪、瑞典輪和球形輪，由于其內(nèi)部的自由度，并未對863.2.4機器人運動學約束給定一個具有M個輪子的機器人，將全部由所有輪子引起的運動學約束適當?shù)穆?lián)合起來，以此來描述機器人的運動學約束。假定機器人總共有N個標準輪，由Nf個固定標準輪和Ns個可操縱標準輪組成。βs(t)表示可操縱標準輪的可變操縱角。βf表示固定標準輪的方向。3.2.4機器人運動學約束87滾動約束：滑動約束：滾動約束：滑動約束：88上述表達式對單個輪子的滾動和滑動約束具有強的相似性，但矩陣代替了單個值，因此把全部輪子的約束都考慮進去了，表示一個投影矩陣，它將機器人局部參考框架下的運動投影到沿著各個輪子平面上的運動。也表示一個投影矩陣，它將機器人局部參考框架下的運動投影到各個輪子的法平面內(nèi)。上述表達式對單個輪子的滾動和滑動約束具有強的相似性，但矩陣代89舉例（example）一個差動驅(qū)動機器人（針對圖3.3所示機器人）將滾動約束和滑動約束方程聯(lián)合起來可得到式：

由于小腳輪無動力，并可在任何方向自由運動，因此可忽略第三個接觸點。其余兩個輪不可操縱，因此和分別簡化為和首先辨識各輪α和β的值。對圖3.1，右輪α＝－π/2，β＝π；左輪α＝π/2，β＝0。由于，兩個標準輪是平行的，所以，只有一個獨立的滑動約束方程總的運動約束方程如式：舉例（example）一個差動驅(qū)動機器人（針對圖3.3所示機90將上式求逆，得到特定的差動驅(qū)動機器人的運動學方程：對于簡單的差動驅(qū)動情況，上式展示了輪子滾動和滑動約束的聯(lián)合描述了運動學的行為。另外，上式與圖3.1所對應的運動學模型表示完全一致。將上式求逆，得到特定的差動驅(qū)動機器人的運動學方程：91一個有3個90度瑞典輪的全向機器人對所有輪子和。機器人的局部參考框架和全局參考框架是一致的，即夾角為0。如果輪1，2，3分別以速度4，1，2旋轉(zhuǎn)，那么整個機器人的最終運動會是什么樣呢？一個有3個90度瑞典輪的全向機器人對所有輪子和。機器人的局部923.3移動機器人的機動性機器人可操縱的總自由度，包括通過改變輪子的速度，機器人直接操縱的自由度（活動性）和通過改變操縱的配置和運動，間接操縱的自由度（可操縱度）兩個方面。3.3移動機器人的機動性933.3.2活動性的程度活動性表示機器人在環(huán)境中直接運動的能力。限制活動性的基本約束就是加在輪子上的滑動約束?；瑒蛹s束如前所示為：

3.3.2活動性的程度94在數(shù)學上，的零空間是空間N，使得對任何N中的向量n，。為了滿足約束，運動向量必須屬于投影矩陣的零空間。若遵守運動學約束，則機器人的運動必定總是在該空間N內(nèi)。在幾何上，利用機器人的瞬時轉(zhuǎn)動中心可以同時說明運動學的約束。在數(shù)學上，的零空間是空間N，使得對任95瞬時轉(zhuǎn)動中心ICR（instantaneouscenterofrotation）在任何給定時刻，輪子必定沿著半徑為R的某個圓瞬時的運動，使得那個圓的中心處在零運動直線上，該中心稱為瞬時轉(zhuǎn)動中心。它可以位于沿零運動直線的任何地方。瞬時轉(zhuǎn)動中心ICR（instantaneouscent96第三章-機器人運動學課件97要使機器人運動存在一個單獨的解，必須有一個單獨的ICR，即所有的零運動直線在一個單獨點相交。ICR的幾何特性顯示了機器人的活動性是機器人運動上的獨立約束數(shù)目的函數(shù)而不是輪子數(shù)目的函數(shù)。獨立的滑動約束的數(shù)目可用的秩來描述要使機器人運動存在一個單獨的解，必須有一個單獨98一般地，對于一個安裝有零個或多個標準輪的機器人：秩等于零：在這種情況下，機器人未安裝標準輪秩等于3：機器人在任何方向是完全受約束的，它將不可能在平面中運動。一般地，對于一個安裝有零個或多個標準輪的機器人：99活動性程度：矩陣零空間的維數(shù)（dimN）是通過改變輪子的速度，可以立即操縱機器人底盤的自由度數(shù)目的一個度量?；顒有猿潭龋?00對于一個差動驅(qū)動的機器人底盤：簡單的通過操縱輪子的速度，即可控制方向的變化率又可控制向前/向后的速度。ICR被限制在位于從它的輪子水平軸擴展的無限直線上。自行車的底盤、由全向輪組成的機器人底盤？對于一個差動驅(qū)動的機器人底盤：1013.3.2可操縱度

對于可操縱的標準輪，通過改變操縱角，可間接改變機器人的姿態(tài)。

可操縱度即表示獨立的可操縱的參數(shù)的數(shù)目?？紤]活動性，增加的秩，意味著更多的約束，因而是移動較少的系統(tǒng)；考慮可操縱度，增加的秩，意味著更多的操縱自由度，從而有更大的最終機動性。

3.3.2可操縱度102可操縱度的取值范圍：為零，說明機器人沒有可操縱的標準輪；為2，說明機器人（偽自行車）沒有固定標準輪，說明機器人可以把ICR放到地平面上任何地方?？紤]一輛普通汽車，如圖所示，Nf＝2和Ns＝2。由于兩個固定標準輪共享一個公共軸，所以。固定標準輪和任何一個可操縱輪限制ICR成為沿著從后軸延伸的直線的一個點，所以第二個可操縱輪不再施加獨立的運動學約束，故