2021-2022學年江蘇省常州市新橋等八校高一年級下冊學期期末聯(lián)考數(shù)學試題【含答案】

2021-2022學年江蘇省常州市新橋高級中學等八校高一下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．已知是虛數(shù)單位，，若復數(shù)為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算化簡得到復數(shù)的基本形式，在根據(jù)復數(shù)為純虛數(shù)，即可求解的值.【詳解】由題意，又由為純虛數(shù)，所以，解得.故選：A.2．某單位為了解該單位黨員開展學習黨史知識活動情況，隨機抽取了部分黨員，對他們一周的黨史學習時間進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：黨史學習時間（小時）7891011黨員人數(shù)610987則該單位黨員一周學習黨史時間的眾數(shù)及第40百分位數(shù)分別是（

）A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，9【答案】A【分析】眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的，百分位數(shù)根據(jù)從小到大排列后，根據(jù)計算即可求解.【詳解】黨員人數(shù)一共有，學習黨史事件為8小時的人數(shù)最多，故學習黨史時間的眾數(shù)為8，，那么第40百分位數(shù)是第16和17個數(shù)的平均數(shù)，第16，17個數(shù)分別為8，9，所以第40百分位數(shù)是故選：A3．在中，，，，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理可得，進而得為鈍角，即可求解.【詳解】在中,由余弦定理以及，，可知:,故為鈍角，因此是鈍角三角形故選：CA． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合相互獨立事件概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】依題意，至少答對一個問題的概率是.故選：A5．已知圓臺的上、下底面半徑分別是2，5，且側(cè)面積等于兩底面面積之和，則圓臺母線長為A． B． C． D．【答案】B【分析】利用側(cè)面積等于兩底面面積之和列方程求解．【詳解】設圓臺的母線長為，則圓臺的上底面面積為，圓臺的下底面面積為，所以圓臺的底面面積為．又圓臺的側(cè)面積，故有，即．【點睛】本題主要考查了圓臺的側(cè)面積公式（其中分別為上下底面圓半徑，為圓臺的母線長）6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角和的正弦公式可得，再由余弦二倍角公式可得答案.【詳解】由，得，則.故選：C.7．如圖，矩形中，，正方形的邊長為1，且平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】取AF的中點G，聯(lián)結(jié)AC交BD于O點，異面直線與所成角即直線與所成角.在中，分別求得，利用余弦定理即可求得，從而求得異面直線夾角的余弦值.【詳解】取AF的中點G，聯(lián)結(jié)AC交BD于O點，如圖所示，則，且，異面直線與所成角即直線與所成角，由平面平面知，平面，由題易知，，則，，，則在中，由余弦定理知，，由兩直線夾角取值范圍為，則直線與所成角即異面直線與所成角的余弦值為故選：C【點睛】方法點睛：將異面直線平移到同一個平面內(nèi)，利用余弦定理解三角形，求得線線夾角.二、多選題8．如圖所示設，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系為反射坐標系，若，則把有序數(shù)對叫做向量的反射坐標，記為．在的反射坐標系中，，．則下列結(jié)論中，錯誤的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為【答案】AB【分析】根據(jù)反向坐標的定義把用表示后，根據(jù)向量的減法判斷A，把模平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算判斷B，計算判斷C，由投影向量的定義求解判斷D．【詳解】由題意，，A正確；，，B正確；，C錯誤；，，在上的投影向量為，D錯；故選：AB．9．為平面，有下列命題，其中假命題的是（

）A．若直線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則B．若直線a在平面外，則C．若直線，直線，則D．若直線，則a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線【答案】ABC【分析】根據(jù)線面平行的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，若直線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則可能含于，A為假命題.B選項，若直線a在平面外，則可能與相交，B為假命題.C選項，若直線，直線，則可能含于，C為假命題.D選項，由于直線，不妨設，則，所以，所以a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，D為真命題.故選：ABC10．關(guān)于復數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列說法正確的是（）A． B．在復平面上對應的點位于第二象限C． D．【答案】ACD【分析】利用復數(shù)的運算法則，共軛復數(shù)的定義，幾何意義即可求解【詳解】所以故A正確，則在復平面上對應的點為位于第三象限故B錯誤故C正確故D正確故選：ACD11．甲乙兩個質(zhì)地均勻且完全一樣的骰子，同時拋擲這兩個骰子一次，記事件為“兩個骰子朝上一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件為“甲骰子朝上一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事件為“乙骰子朝上一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則（

）A．事件、是相互獨立事件 B．事件、是互斥事件C． D．【答案】AC【分析】利用列舉法分別求出事件，，，，的概率，結(jié)合互斥事件、相互獨立事件的定義直接求解．【詳解】解：甲、乙兩個質(zhì)地均勻且完全一樣的骰子，同時拋擲這兩個骰子一次，基本事件總數(shù)，記事件為“兩個骰子朝上一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則事件包含的基本事件有18個，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，事件為“甲骰子朝上一面的數(shù)字為奇數(shù)”，則事件包含的基本事件有18個，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，事件為“乙骰子朝上一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則事件包含的基本事件有18個，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，事件包含的基本事件有9個，分別為：，，，，，，，，，，，事件、是相互獨立事件，故正確；事件與能同時發(fā)生，故事件與不是互斥事件，故錯誤；，故正確；包包含的基本事件有9個，分別為：，，，，，，，，，．故錯誤．故選：．12．在正四棱錐中，，，O為底面正方形的中心，點E，F(xiàn)分別為，的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．四棱錐外接球的表面積為 D．點E到平面的距離為【答案】ACD【分析】以O為原點，為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系.利用向量法進行求解：對于A：判斷出兩平面的法向量，即可得到平面平面；對于B：判斷出兩平面的法向量不垂直，所以平面平面不垂直；對于C：設外接球的球心為.由,解得：.求出球的半徑，即可求出球的表面積.對于D：利用向量法求出E到平面PBC的距離.【詳解】在正四棱錐，O為正方形ABCD的中心，所以平面ABCD,.所以CA、BD、OP兩兩垂直.以O為原點，為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系.因為，所以,所以.因為，所以.所以,,,,,,.所以,.,.設平面OEF的法向量為，所以，不妨令，則.同理可求：平面PDC的一個法向量為；平面PBC的一個法向量為.對于A：因為，，所以，所以，所以平面平面.故A正確；對于B：因為，，所以，所以不垂直，所以平面平面不垂直.故B不正確；對于C：因為正四棱錐，所以外接球的球心落在直線OP上.設外接球的球心為.由,則，解得：.所以球的半徑.所以球的表面積為故C正確；對于D：因為.所以E到平面PBC的距離為.故D正確.故選：ACD.三、填空題13．已知一組樣本數(shù)據(jù)5、6、a、6、8的極差為5，若，則其方差為________.【答案】3.2【分析】根據(jù)極差的定義可求得a的值，再根據(jù)方差公式可求得結(jié)果.【詳解】因為該組數(shù)據(jù)的極差為5，，所以，解得.因為，所以該組數(shù)據(jù)的方差為．故答案為：.14．2021年湖南新高考實行“3+1+2模式”，即語文、數(shù)學、英語必選，物理與歷史2選1，政治、地理、化學和生物4選2，共有12種選課模式．今年高一小明與小芳都準備選歷史與政治，假設他們都對后面三科沒有偏好，則他們選課相同的概率為________．【答案】【分析】求出基本事件的總數(shù)，以及他們選課相同包含的基本事件的個數(shù)，由古典概率公式即可求解.【詳解】今年高一的小明與小芳都準備選歷史與政治，假若他們都對后面三科沒有偏好，則基本事件有（地，地），（地，化），（地，生），（化，地），（化，化），（化，生），（生，地），（生，化），（生，生）共個，他們選課相同包含的基本事件有：（地，地），（化，化），（生，生）共有個，所以他們選課相同的概率．故答案為：.15．已知，則________．【答案】【分析】由兩角差的正弦公式展開，由商數(shù)關(guān)系求得，然后由二倍角的正切公式計算．【詳解】，，．故答案為：．四、雙空題16．在四面體中，底面，，、、、均為直角三角形，若該四面體最大棱長等于，則該四面體外接球的表面積為_________；該四面體體積的最大值為___________．【答案】

【分析】將四面體放置在長方體模型中，利用長方體的外接球即可求出四面體的外接球表面積，即可求出空；求出長度，再由基本不等式求得的最大值，即可求出四面體體積的最大值，進而求出空.【詳解】解：利用長方體模型，因為四面體的所有面均為直角三角形，因此取長方體的四個頂點作為四面體的頂點，如圖所示，所以該四面體外接球半徑為：所以該四面體外接球的表面積為：由圖知，，即當且僅當時取等號故答案為：，.五、解答題17．已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量與夾角的大?。敬鸢浮浚á瘢?；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）首先求出的坐標，再根據(jù)，可得，即可求出，再根據(jù)向量模的坐標表示計算可得；（Ⅱ）首先求出的坐標，再根據(jù)計算可得；【詳解】解：（Ⅰ）因為，所以，由，可得，即，解得，即，所以；（Ⅱ）依題意，可得，即，所以，因為，所以與的夾角大小是．18．在直三棱柱中，，，點，，分別是棱，，的中點．（1）求證：平面；（2）求證：直線平面．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析．【分析】（1）通過證明四邊形是平行四邊形，推出，然后利用直線與平面平行的判定定理證明平面．（2）說明，證明，利用直線與平面垂直的判定定理證明平面．【詳解】（1）在直三棱柱中，且，因點，分別是棱，的中點，所以且，所以四邊形是平行四邊形，即且，又且，所以且，即四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因為直三棱柱，所以四邊形是平行四邊形，又因，所以四邊形是菱形，所以，又點，分別是棱，的中點，即，所以．因為，點是棱的中點，所以，由直三棱柱，知底面，即，又平面，平面，且，所以平面，又平面，則，又平面，平面，且，所以平面．【點睛】本題考查直線與平面垂直的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．19．某區(qū)政府組織了以“不忘初心，牢記使命”為主題的教育活動，為統(tǒng)計全區(qū)黨員干部一周參與主題教育活動的時間，從全區(qū)的黨員干部中隨機抽取n名，獲得了他們一周參與主題教育活動時間（單位：h）的頻率分布直方圖如圖所示，已知參與主題教育活動時間在內(nèi)的人數(shù)為92．(1)求n的值；(2)以每組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作為本組的代表，估算這些黨員干部參與主題教育活動時間的中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）．(3)如果計劃對參與主題教育活動時間在內(nèi)的黨員干部給予獎勵，且在，內(nèi)的分別評為二等獎和一等獎，那么按照分層抽樣的方法從獲得一、二等獎的黨員干部中選取5人參加社區(qū)義務宣講活動，再從這5人中隨機抽取2人作為主宣講人，求這2人均是二等獎的概率．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，求出，再計算即可．（2）設中位數(shù)為，由，求出即可．（3）列舉出所有的基本事件及滿足條件的事件，再求出這2人均是二等獎的概率．【詳解】(1)由已知可得，．則，得．(2)設中位數(shù)為，則，得．(3)按照分層抽樣的方法從，內(nèi)選取的人數(shù)為，從，內(nèi)選取的人數(shù)為．記二等獎的4人分別為，，，，一等獎的1人為，事件為“從這5人中抽取2人作為主宣講人，且這2人均是二等獎”．從這5人中隨機抽取2人的基本事件為，，，，，，，，，，共10種，其中2人均是二等獎的情況有，，，，，，共6種，由古典概型的概率計算公式得．20．已知的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，滿足.（1）求；（2）若，，角的角平分線交邊于點，求的長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理化邊為角結(jié)合兩角和的正弦公式以及三角形的內(nèi)角和即可求得角；（2）利用余弦定理可得的值，進而可求出角，在中，求出、利用正弦定理即可求解.【詳解】（1）由正弦定理化邊為角可得：，即所以，因為，所以即.因為，所以.（2）在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)可得：即.解得：或(舍).所以，所以，在中，由是的角平分線，得，則，在中，由正弦定理得：即，可得：.21．進行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會?經(jīng)濟?生態(tài)等多方面的效益，是關(guān)乎生態(tài)文明建設全局的大事.為了普及垃圾分類知識，某學校舉行了垃圾分類知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學答對每題的概率都為，乙同學答對每題的概率都為，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響.已知每題甲，乙同時答對的概率為，恰有一人答對的概率為.（1）求和的值；（2）試求兩人共答對3道題的概率.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由互斥事件和對立事件的概率公式列方程組可解得；（2）分別求出兩人答對1道的概率，答對兩道題的概率，兩人共答對3道題，則是一人答對2道題另一人答對1道題，由互斥事件和獨立事件概率公式可得結(jié)論．【詳解】解：（1）設{甲同學答對第一題}，{乙同學答對第一題}，則，.設{甲、乙二人均答對第一題}，{甲、乙二人中恰有一人答對第一題}，則，.由于二人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，所以與相互獨立，與相互互斥，所以，.由題意可得即解得或由于，所以，.（2）設{甲同學答對了道題}，{乙同學答對了道題}，，1，2.由題意得，，，，.設{甲乙二人共答對3道題}，則.由于和相互獨立，與相互互斥，所以.所以，甲乙二人共答對3道題的概率為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查互斥事件與獨立事件的概率公式，解題關(guān)鍵是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如設{甲同學答對第一題}，{乙同學答對第一題}，設{甲、乙二人均答對第一題}，{甲、乙二人中恰有一人答對第一題}，則，．同樣兩人共答對3題分拆成甲答對2題乙答對1題與甲答對1題乙答對2題兩個互斥事件．22．如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂