2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修二人教B版（魯京遼）講義：第一章 立體幾何初步1.1.2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1。1。2棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征學(xué)習(xí)目標(biāo)1.認(rèn)識(shí)組成我們生活世界的各種各樣的多面體。2。認(rèn)識(shí)和把握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)特征.3.了解多面體可按哪些不同的標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，可以分成哪些類(lèi)別．知識(shí)點(diǎn)一多面體多面體的有關(guān)概念(1)多面體:由若干個(gè)平面多邊形所圍成的幾何體．(2）多面體的相關(guān)概念①面：圍成多面體的各個(gè)多邊形．②棱：相鄰的兩個(gè)面的公共邊．③頂點(diǎn)：棱和棱的公共點(diǎn)．④對(duì)角線：連接不在同一個(gè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段．⑤截面：一個(gè)幾何體和一個(gè)平面相交所得到的平面圖形(包含它的內(nèi)部)．(3)凸多面體：把一個(gè)多面體的任意一個(gè)面延展為平面,如果其余的各面都在這個(gè)平面的同一側(cè)，則這樣的多面體就叫做凸多面體．知識(shí)點(diǎn)二棱柱1．棱柱的定義及表示名稱棱柱特征性質(zhì)或定義條件：①有兩個(gè)互相平行的面；②夾在這兩個(gè)平行平面間的每相鄰兩個(gè)面的交線都互相平行圖形表示及相關(guān)名稱棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′（或棱柱AC′）

2.棱柱的分類(lèi)(1)按底面多邊形的邊數(shù)棱柱eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（三棱柱，四棱柱,五棱柱,……））（2)按側(cè)棱與底面是否垂直棱柱eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\o(→，\s\up7（側(cè)棱與底面），\s\do5(垂直)）直棱柱\o（→,\s\up7（底面是正多邊形）)正棱柱,\o(→,\s\up7（側(cè)棱與底面)，\s\do5(不垂直）)斜棱柱）)(3）特殊的四棱柱知識(shí)點(diǎn)三棱錐1．棱錐的定義及表示名稱棱錐特征性質(zhì)或定義條件：①有一個(gè)面是多邊形;②其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形圖形表示及相關(guān)名稱棱錐S－ABCD(或棱錐S－AC)

2。棱錐的分類(lèi)（1)按底面多邊形的邊數(shù)棱錐eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(三棱錐，四棱錐,五棱錐，……））(2)特殊的棱錐正棱錐eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（底面是正多邊形,,頂點(diǎn)在過(guò)底面中心，且與底面垂直的直線上）)知識(shí)點(diǎn)四棱臺(tái)1．棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征及分類(lèi)名稱定義圖形及表示相關(guān)概念分類(lèi)棱臺(tái)棱錐被平行于底面的平面所截,截面和底面間的部分叫做棱臺(tái)如圖可記作:棱臺(tái)ABC－A′B′C′上底面:原棱錐的截面．下底面：原棱錐的底面．側(cè)面：其他各面．側(cè)棱：相鄰兩側(cè)面的公共邊．高：兩底面間的距離由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……2.特殊的棱臺(tái)正棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)．1．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形．（√）2．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐．（×)3．夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺(tái)．(×）

類(lèi)型一棱柱、棱錐、棱臺(tái)的有關(guān)概念例1（1）下列命題中正確的是（）A．棱柱的面中,至少有兩個(gè)面互相平行B．棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面C．在平行六面體中，任意兩個(gè)相對(duì)的面均互相平行，但平行六面體的任意兩個(gè)相對(duì)的面不一定可當(dāng)作它的底面D．棱柱的側(cè)面是平行四邊形,但它的底面一定不是平行四邊形(2）下列說(shuō)法正確的序號(hào)是________．①棱錐的側(cè)面不一定是三角形;②棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)一定相等；③棱臺(tái)的各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn);④有兩個(gè)面互相平行且相似，其余各面都是梯形，則此幾何體是棱臺(tái)．答案（1）A(2）③解析（1)正四棱柱中兩個(gè)相對(duì)側(cè)面互相平行，故B錯(cuò)；平行六面體的任意兩個(gè)相對(duì)面可作底面，故C錯(cuò);棱柱的底面可以是平行四邊形，故D錯(cuò)．（2）棱錐的側(cè)面是有公共頂點(diǎn)的三角形，但是各側(cè)棱不一定相等,故①②不正確；棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的，故各個(gè)側(cè)棱的延長(zhǎng)線一定交于一點(diǎn),③正確;棱臺(tái)的各條側(cè)棱必須交于一點(diǎn)，故④不正確．反思與感悟棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征(1）棱柱有兩個(gè)主要結(jié)構(gòu)特征：一是有兩個(gè)面互相平行，二是各側(cè)棱都平行，各側(cè)面都是平行四邊形．(2）棱錐有兩個(gè)主要結(jié)構(gòu)特征：一是有一個(gè)面是多邊形，二是其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．（3)棱臺(tái)的上、下底面平行且相似，各側(cè)棱延長(zhǎng)交于一點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練1（1)下列命題：①各側(cè)面為矩形的棱柱是長(zhǎng)方體；②直四棱柱是長(zhǎng)方體；③側(cè)棱與底面垂直的棱柱是直棱柱；④各側(cè)面是矩形的直四棱柱為正四棱柱．其中正確的是________．（填序號(hào)）答案③解析①中一定為直棱柱但不一定是長(zhǎng)方體；②直四棱柱的底面可以是任意的四邊形,不一定是矩形；③符合直棱柱的定義；④中的棱柱為一般直棱柱，它的底面不一定為正方形．(2）下列命題：①各個(gè)側(cè)面是等腰三角形的四棱錐是正四棱錐;②底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；③棱錐的所有側(cè)面可以都是直角三角形;④四棱錐的側(cè)面中最多有四個(gè)直角三角形；⑤棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等．其中正確的命題有________．（填序號(hào))答案③④解析在四棱錐P－ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD，底面ABCD為矩形，但不一定是正方形，這樣的棱錐就不是正四棱錐，因此①錯(cuò)誤；底面是正多邊形，但側(cè)棱長(zhǎng)不一定都相等，這樣的棱錐也不一定是正棱錐，故②錯(cuò)誤；在三棱錐P－ABC中，PA垂直于平面ABC，∠ABC＝90°，則此三棱錐的所有側(cè)面都是直角三角形，故③正確；在四棱錐P－ABCD中，PA垂直于平面ABCD,四邊形ABCD為矩形，故④正確;棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)不一定都相等，故⑤錯(cuò)誤．類(lèi)型二簡(jiǎn)單幾何體中的計(jì)算問(wèn)題例2正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3,側(cè)棱長(zhǎng)為2eq\r(3)，求正三棱錐的高．解作出正三棱錐如圖，SO為其高，連接AO，作OD⊥AB于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．在Rt△ADO中，AD＝eq\f（3，2），∠OAD＝30°,故AO＝eq\f（\f(3,2）,cos∠OAD)＝eq\r(3）。在Rt△SAO中，SA＝2eq\r（3），AO＝eq\r（3），故SO＝eq\r(SA2－AO2）＝3，故三棱錐的高為3.引申探究1．若本例條件不變，求正三棱錐的斜高．解作出正三棱錐如圖,取AB的中點(diǎn)E，連接SE,則SE為該正三棱錐的斜高，在△SAE中,SA＝2eq\r(3），AE＝eq\f（3,2），所以SE＝＝eq\f（\r（39）,2).2．若將本例中“正三棱錐”改為“正四棱錐"，其他條件不變，求正四棱錐的高．解如圖，在正四棱錐S－ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝3,AC＝3eq\r(2),所以O(shè)C＝eq\f(3,2）eq\r(2)。在Rt△SOC中，SC＝2eq\r(3)，所以SO＝eq\r(SC2－OC2）＝eq\r（12－\f（9,2））＝eq\f（\r（30),2）。即正四棱錐的高為eq\f(\r(30）,2）。反思與感悟（1)正棱錐中直角三角形的應(yīng)用已知正棱錐如圖（以正四棱錐為例)，其高為PO，底面為正方形，作PE⊥CD于點(diǎn)E，則PE為斜高．①斜高、側(cè)棱構(gòu)成直角三角形，如圖中Rt△PEC；②斜高、高構(gòu)成直角三角形，如圖中Rt△POE；③側(cè)棱、高構(gòu)成直角三角形，如圖中Rt△POC.（2)正棱臺(tái)中直角梯形的應(yīng)用已知正棱臺(tái)如圖(以正四棱臺(tái)為例），O1，O分別為上，下底面中心,作O1E1⊥B1C1于點(diǎn)E1，OE⊥BC于點(diǎn)E，則E1E為斜高．①斜高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形E1ECC1；②斜高、高構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形O1E1EO；③高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形O1OCC1.跟蹤訓(xùn)練2已知正四棱臺(tái)的上、下底面面積分別為4、16,一側(cè)面面積為12，分別求該棱臺(tái)的斜高、高、側(cè)棱長(zhǎng)．解如圖，設(shè)O′，O分別為上、下底面的中心,即OO′為正四棱臺(tái)的高，E，F(xiàn)分別為B′C′，BC的中點(diǎn)，∴EF⊥B′C′,即EF為斜高．由上底面面積為4,上底面為正方形,可得B′C′＝2；同理，BC＝4.∵四邊形BCC′B′的面積為12，∴eq\f（1,2）×（2＋4）·EF＝12，∴EF＝4。過(guò)B′作B′H⊥BC交BC于H，則BH＝BF－B′E＝2－1＝1，B′H＝EF＝4.在Rt△B′BH中，BB′＝eq\r（BH2＋B′H2）＝eq\r(17）.同理,在直角梯形O′OFE中,計(jì)算出O′O＝eq\r(15）。綜上，該正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r（17)，斜高為4，高為eq\r(15）.類(lèi)型三多面體的展開(kāi)圖例3如圖，在側(cè)棱長(zhǎng)為2eq\r(3）的正三棱錐V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，過(guò)點(diǎn)A作截面△AEF，求截面△AEF周長(zhǎng)的最小值．

解沿著側(cè)棱VA把正三棱錐V－ABC展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，如圖．則AA′的長(zhǎng)即為截面△AEF周長(zhǎng)的最小值,且∠AVA′＝3×40°＝120°.在△VAA′中，AA′＝2×2eq\r（3）×eq\f（\r（3)，2)＝6，故截面△AEF周長(zhǎng)的最小值為6.反思與感悟求幾何體表面上兩點(diǎn)間的最小距離(1)將幾何體沿著某棱剪開(kāi)后展開(kāi)，畫(huà)出其側(cè)面展開(kāi)圖．（2）將所求曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問(wèn)題．(3)結(jié)合已知條件求得結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示,在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面（經(jīng)過(guò)棱AA1)到達(dá)頂點(diǎn)C1,與AA1的交點(diǎn)記為M，則從點(diǎn)B經(jīng)點(diǎn)M到C1的最短路線長(zhǎng)為()A．2eq\r（2)B．2eq\r（5）C．4D．4eq\r(5）答案B解析沿側(cè)棱BB1將正三棱柱的側(cè)面展開(kāi),得到一個(gè)矩形BB1B1′B′(如圖）．由側(cè)面展開(kāi)圖可知，當(dāng)B，M，C1三點(diǎn)共線時(shí)，從點(diǎn)B經(jīng)過(guò)M到達(dá)C1的路線最短．所以最短路線長(zhǎng)為BC1＝eq\r（42＋22）＝2eq\r（5）.1．觀察如圖所示的四個(gè)幾何體,其中判斷不正確的是()A．①是棱柱 B．②不是棱錐C．③不是棱錐 D．④是棱臺(tái)考點(diǎn)空間幾何體題點(diǎn)空間幾何體結(jié)構(gòu)判斷答案B解析結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義可知①是棱柱，②是棱錐，④是棱臺(tái)，③不是棱錐，故B錯(cuò)誤．2．下列說(shuō)法中，正確的是（）A．有一個(gè)底面為多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體是棱錐B．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)C．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形答案A解析B錯(cuò)，截面與底面平行時(shí)才能得棱臺(tái)；C錯(cuò),棱柱底面可能是平行四邊形;D錯(cuò)，棱柱側(cè)面的平行四邊形不一定全等，如長(zhǎng)方體．3．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（)A．多面體至少有四個(gè)面B．九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形C．長(zhǎng)方體、正方體都是棱柱D．三棱柱的側(cè)面為三角形答案D解析由于三棱柱的側(cè)面為平行四邊形，故D錯(cuò)．4．正四棱錐S-ABCD的所有棱長(zhǎng)都等于a，過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱作截面SAC，則截面面積為_(kāi)_______．答案eq\f（1,2)a2解析AC＝eq\r（a2＋a2)＝eq\r(2)a，由SA＝SC＝a，則有SA2＋SC2＝AC2，∴∠ASC＝90°。所以S△SAC＝eq\f（1,2）·a·a＝eq\f（1,2)a2.5．對(duì)棱柱而言，下列說(shuō)法正確的是________．(填序號(hào))①有兩個(gè)平面互相平行,其余各面都是平行四邊形；②所有的棱長(zhǎng)都相等；③棱柱中至少有2個(gè)面的形狀完全相同；④相鄰兩個(gè)面的交線叫做側(cè)棱．答案①③解析①正確，根據(jù)棱柱的定義可知；②錯(cuò)誤,因?yàn)閭?cè)棱與底面上棱長(zhǎng)不一定相等；③正確，根據(jù)棱柱的特征知，棱柱中上下兩個(gè)底面一定是全等的,棱柱中至少有兩個(gè)面的形狀完全相同；④錯(cuò)誤，因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面的交線不是側(cè)棱．1．在理解的基礎(chǔ)上，要牢記棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義，能夠根據(jù)定義判斷幾何體的形狀．2．(1)各種棱柱之間的關(guān)系①棱柱的分類(lèi)棱柱eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(直棱柱\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正棱柱,一般的直棱柱)），斜棱柱）)②常見(jiàn)的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系（2)棱柱、棱錐、棱臺(tái)在結(jié)構(gòu)上既有區(qū)別又有聯(lián)系，具體見(jiàn)下表：名稱底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤飧咂叫杏诘酌娴慕孛胬庵崩庵叫星胰鹊膬蓚€(gè)多邊形平行四邊形平行且相等與底面全等直棱柱平行且全等的兩個(gè)多邊形矩形平行、相等且垂直于底面等于側(cè)棱與底面全等正棱柱平行且全等的兩個(gè)正多邊形全等的矩形平行、相等且垂直于底面等于側(cè)棱與底面全等棱錐正棱錐一個(gè)正多邊形全等的等腰三角形有一個(gè)公共頂點(diǎn)且相等過(guò)底面中心與底面相似其他棱錐一個(gè)多邊形三角形有一個(gè)公共頂點(diǎn)與底面相似棱臺(tái)正棱臺(tái)平行且相似的兩個(gè)正多邊形全等的等腰梯形相等且延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)與底面相似其他棱臺(tái)平行且相似的兩個(gè)多邊形梯形延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)與底面相似一、選擇題1．下面幾何體中是棱柱的有（)A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)答案C解析棱柱有三個(gè)特征：(1）有兩個(gè)面互相平行；(2)其余各面是四邊形；(3)側(cè)棱相互平行．本題所給幾何體中，⑥⑦不符合棱柱的三個(gè)特征，而①②③④⑤符合，故選C.2．下面多面體中有12條棱的是(）A．四棱柱 B．四棱錐C．五棱錐 D．五棱柱考點(diǎn)空間幾何體題點(diǎn)空間幾何體結(jié)構(gòu)判斷答案A解析∵n棱柱共有3n條棱，n棱錐共有2n條棱,∴四棱柱共有12條棱；四棱錐共有8條棱;五棱錐共有10條棱;五棱柱共有15條棱．故選A。3．一棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，且所有側(cè)棱長(zhǎng)之和為100，則其側(cè)棱長(zhǎng)為（）A．10B．20C．5D．15答案B解析易知該棱柱為五棱柱，共有5條側(cè)棱，且側(cè)棱長(zhǎng)相等，故其側(cè)棱長(zhǎng)為eq\f（100,5)＝20.4．有兩個(gè)面平行的多面體不可能是（）A．棱柱 B．棱錐C．棱臺(tái) D．以上都錯(cuò)考點(diǎn)空間幾何體題點(diǎn)空間幾何體結(jié)構(gòu)判斷答案B解析由棱錐的結(jié)構(gòu)特征可得．5．下列說(shuō)法正確的是()A．棱柱的底面一定是平行四邊形B．棱錐的底面一定是三角形C．棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐D．棱柱被平面分成的兩部分可能都是棱柱答案D解析棱柱與棱錐的底面可以是任意多邊形，A、B不正確；過(guò)棱錐的頂點(diǎn)的縱截面可以把棱錐分成兩個(gè)棱錐，C不正確．6．如圖所示，在三棱臺(tái)A′B′C′－ABC中，截去三棱錐A′－ABC，則剩余部分是()A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．三棱臺(tái)考點(diǎn)棱錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)棱錐的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用答案B解析由題圖知剩余的部分是四棱錐A′－BCC′B′。7．已知集合A＝｛正方體｝，B＝｛長(zhǎng)方體}，C＝{正四棱柱}，D＝{直平行六面體}，則(）A．ABCD B．CABDC．ACBD D．它們無(wú)確切包含關(guān)系答案C解析在這4種圖形中,包含元素最多的是直平行六面體,其次是長(zhǎng)方體，最少的是正方體，其次是正四棱柱．二、填空題8．下圖中不可能?chē)烧襟w的是________．（填序號(hào))答案④9．以三棱臺(tái)的頂點(diǎn)為三棱錐的頂點(diǎn),這樣可以把一個(gè)三棱臺(tái)分成________個(gè)三棱錐．答案3解析如圖，分割為A1－ABC，B－A1CC1，C1－A1B1B，3個(gè)棱錐．10．若正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是5和7,對(duì)角線長(zhǎng)為9,則該棱臺(tái)的高為_(kāi)_______．答案3解析由題意,得正四棱臺(tái)的對(duì)角面為等腰梯形，其中上底長(zhǎng)為5eq\r(2）,下底長(zhǎng)為7eq\r（2)，對(duì)角線長(zhǎng)為9，則高為eq\r（92－6\r（2）2)＝3.11.如圖所示，對(duì)幾何體的說(shuō)法正確的是________．(填序號(hào)）①這是一個(gè)六面體；②這是一個(gè)四棱臺(tái)；③這是一個(gè)四棱柱；④此幾何體可由三棱柱截去一個(gè)三棱柱得到；⑤此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)三棱柱得到．答案①③④⑤解析①正確，因?yàn)橛辛鶄€(gè)面，屬于六面體．②錯(cuò)誤，因?yàn)閭?cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，所以不正確．③正確，如果把幾何體放倒就會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)四棱柱．④⑤都正確，如圖所示．三、解答題12。如圖，在邊長(zhǎng)為2a的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB,BC的中點(diǎn)，沿圖中虛線將3個(gè)三角形折起，使點(diǎn)A,B，C重合，重合后記為點(diǎn)P。問(wèn)：（1)折起后形成的幾何體是什么幾何體?（2)這個(gè)幾何體共有幾個(gè)面，每個(gè)面的三角形有何特點(diǎn)？（3)每個(gè)面的三角形面積為多少？解（1）如圖,折起后的幾何體是三棱錐．(2)這個(gè)幾何體共有4個(gè)面,其中△DEF為等腰三角形,△PEF為等腰直角三角形，△DPE和△DPF均為直角三角形．（3）S△PEF＝eq\f（1，2）a2，S△DPF＝S△DPE＝eq\f（1,2）×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝（2a)2－eq\f（1,2)a2－a2－a2＝eq\f（3,2）a2.13