2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修二人教B版（魯京遼）講義：第一章 立體幾何初步1.2.2 第1課時

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2。2空間中的平行關(guān)系第1課時平行直線學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握空間中兩條直線的位置關(guān)系,理解空間平行性的傳遞性.2.理解并掌握基本性質(zhì)4及等角公理．知識點一基本性質(zhì)41．文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性．2．符號表達(dá)：eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（a∥b,b∥c））?a∥c.知識點二等角定理思考觀察圖，在長方體ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC與∠A′D′C′，∠ADC與∠D′A′B′的兩邊分別對應(yīng)平行,這兩組角的大小關(guān)系如何？答案從圖中可以看出,∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°。梳理等角定理如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行，并且方向相同,那么這兩個角相等．知識點三空間四邊形順次連接不共面的四點A，B，C,D所構(gòu)成的圖形，叫做空間四邊形．這四個點中的各個點叫做空間四邊形的頂點;所連接的相鄰頂點間的線段叫做空間四邊形的邊；連接不相鄰的頂點的線段叫做空間四邊形的對角線．空間四邊形用表示頂點的四個字母表示．1．若AB∥A′B′,AC∥A′C′，則∠BAC＝∠B′A′C′。(×)2．沒有公共點的兩條直線是異面直線．(×)3．若a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，且a?α，b?β，則a，b是異面直線．(×)

類型一基本性質(zhì)4的應(yīng)用例1如圖，在四棱錐P－ABCD中,底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn),G,H分別為PA，PB，PC，PD的中點，求證：四邊形EFGH是平行四邊形．解在△PAB中，因為E，F(xiàn)分別是PA，PB的中點，所以EF∥AB，EF＝eq\f(1，2）AB,同理GH∥DC,GH＝eq\f（1，2）DC.因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以AB∥CD,AB＝CD.所以EF∥GH，EF＝GH.所以四邊形EFGH是平行四邊形．反思與感悟證明兩條直線平行的兩種方法(1)利用平行線的定義：證明兩條直線在同一平面內(nèi)且無公共點．（2)利用基本性質(zhì)4：尋找第三條直線，然后證明這兩條直線都與所找的第三條直線平行，根據(jù)基本性質(zhì)4，顯然這兩條直線平行．若題設(shè)條件中含有中點，則常利用三角形的中位線性質(zhì)證明直線平行．跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，E，F(xiàn)分別是長方體A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中點．求證：四邊形B1EDF是平行四邊形．證明設(shè)Q是DD1的中點，連接EQ，QC1.∵E是AA1的中點，∴EQ綊A1D1。又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1（基本性質(zhì)4)．∴四邊形EQC1B1為平行四邊形，∴B1E綊C1Q.又∵Q,F是DD1,C1C的中點，∴QD綊C1F.∴四邊形QDFC1為平行四邊形．∴C1Q綊DF，∴B1E綊DF?！嗨倪呅蜝1EDF為平行四邊形．類型二等角定理的應(yīng)用例2如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中,M，M1分別是棱AD和A1D1的中點．求證：(1）四邊形BB1M1M為平行四邊形;(2)∠BMC＝∠B1M1C1.證明(1)在正方形ADD1A1中，M,M1分別為AD，A1D1的中點，∴A1M1綊AM，∴四邊形AMM1A1是平行四邊形,∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．(2)由（1）知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1∥CM.由平面幾何知識可知，∠BMC和∠B1M1C1都是銳角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.反思與感悟有關(guān)證明角相等問題，一般采用下面三種途徑（1）利用等角定理及其推論．（2)利用三角形相似．（3)利用三角形全等．本例是通過第一種途徑來實現(xiàn)的．跟蹤訓(xùn)練2已知棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD,AD的中點．求證:（1）四邊形MNA1C1是梯形；（2)∠DNM＝∠D1A1C1。證明(1）如圖，連接AC，在△ACD中，∵M(jìn)，N分別是CD，AD的中點,∴MN是△ACD的中位線,∴MN∥AC,MN＝eq\f（1，2)AC。由正方體的性質(zhì)，得AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1，2)A1C1，即MN≠A1C1，∴四邊形MNA1C1是梯形．(2)由(1）可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1,∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ)．而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的一個銳角,∴∠DNM＝∠D1A1C1。

類型三空間四邊形的認(rèn)識例3如圖，設(shè)E,F，G，H分別是四面體A－BCD的棱AB，BC,CD,DA上的點，且eq\f（AE,AB)＝eq\f（AH,AD）＝λ，eq\f（CF,CB）＝eq\f(CG，CD）＝μ，求證：（1）當(dāng)λ＝μ時，四邊形EFGH是平行四邊形；(2)當(dāng)λ≠μ時，四邊形EFGH是梯形．證明（1）∵eq\f(AE，AB）＝eq\f（AH,AD)＝λ，∴EH∥BD，∴eq\f（EH,BD）＝λ.同理，GF∥BD,eq\f（GF,BD)＝μ。又∵λ＝μ，∴EH＝GF，∴EH綊GF?！嗨倪呅蜤FGH是平行四邊形．(2）由（1）知EH∥GF,又∵λ≠μ,∴EH≠GF.∴四邊形EFGH是梯形．反思與感悟因空間圖形往往包含平面圖形,在解題時容易混淆,所以把相似的概念辨析一下，區(qū)分異同，有利于解題時不出錯，如本例中明確給出了“空間四邊形ABCD"，不包含平面四邊形，說明“A，B，C，D四點必不共面",不能因直觀圖中AD與BC看似平行的關(guān)系認(rèn)為它們是平行的．跟蹤訓(xùn)練3已知空間四邊形ABCD中，AB≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的邊BC上的高，DF是△BCD的邊BC上的中線,判定AE與DF的位置關(guān)系．解由已知，得E，F(xiàn)不重合．設(shè)△BCD所在平面為α,則DF?α，A?α，E∈α，E?DF,所以AE與DF異面．1．直線a∥b，直線b與c相交，則直線a，c一定不存在的位置關(guān)系是(）A．相交B．平行C．異面D．無法判斷答案B解析如圖，a與c相交或異面．2．下列四個結(jié)論中假命題的個數(shù)是（）①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；②平行于同一直線的兩直線平行;③若直線a，b,c滿足a∥b，b⊥c，則a⊥c；④若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線．A．1B．2C．3D．4答案B解析①④均為假命題．①可舉反例，如a、b、c三線兩兩垂直．④如圖甲時，c、d與異面直線l1、l2交于四個點,此時c、d異面；當(dāng)點A在直線l1上運(yùn)動（其余三點不動)時，會出現(xiàn)點A與B重合的情形,如圖乙所示，此時c、d共面相交．3．下列結(jié)論正確的是（）A．若兩個角相等，則這兩個角的兩邊分別平行B．空間四邊形的四個頂點可以在一個平面內(nèi)C．空間四邊形的兩條對角線可以相交D．空間四邊形的兩條對角線不相交答案D解析空間四邊形的四個頂點不在同一平面上,所以它的對角線不相交,否則四個頂點共面，故選D。4．下面三個命題,其中正確的個數(shù)是()①三條相互平行的直線必共面；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;③若四邊形有一組對角都是直角，則這個四邊形是圓的內(nèi)接四邊形．A．1B．2C．3D．0答案D解析空間中三條平行線不一定共面，故①錯;當(dāng)把正方形沿對角線折成空間四邊形，這時滿足兩組對邊分別相等，也滿足有一組對角都是直角，故②、③都錯,故選D。5．兩個三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對應(yīng)平行，那么這兩個三角形(）A．全等 B．不相似C．僅有一個角相等 D．相似答案D解析由等角定理知，這兩個三角形的三個角分別對應(yīng)相等，故選D。1．判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法．另外,我們解決空間有關(guān)線線問題時，不要忘了我們生活中的模型,比如說教室就是一個長方體模型，里面的線線關(guān)系非常豐富，我們要好好地利用它，它是我們培養(yǎng)空間想象能力的好工具．3．注意：等角定理的逆命題不成立．一、選擇題1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°,則∠PQR等于（）A．30° B．30°或150°C．150° D．以上結(jié)論都不對答案B解析由等角定理可知∠PQR與∠ABC相等或互補(bǔ)，故答案為B。2．分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是（)A．一定平行 B．一定相交C．一定異面 D．相交或異面答案D3．若∠AOB＝∠A1O1B1,且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB與O1B1不平行D．OB與O1B1不一定平行答案D解析等角定理的實質(zhì)是角的平移，其逆命題不一定成立，OB與O1B1有可能平行，也可能不在同一平面內(nèi),位置關(guān)系不確定．4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中,E,F分別是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分別是線段AB，BC的中點,則直線EF與直線GH的位置關(guān)系是（）A．相交 B．異面C．平行 D．垂直答案C解析如圖,連接AD1，CD1，AC,則E,F分別為AD1，CD1的中點．由三角形的中位線定理知，EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH,故選C.5．正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為AA1，CC1的中點，則四邊形D1PBQ是（)A．正方形 B．菱形C．矩形 D．空間四邊形答案B解析設(shè)正方體棱長為2,直接計算可知四邊形D1PBQ各邊均為eq\r(5）,又D1PBQ是平行四邊形，所以四邊形D1PBQ是菱形．6.已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中(如圖)，l?平面A1B1C1D1，且l與B1C1不平行，則下列一定不可能的是（)A．l與AD平行B．l與AD不平行C．l與AC平行D．l與BD垂直答案A解析假設(shè)l∥AD，則由AD∥BC∥B1C1知，l∥B1C1，這與l與B1C1不平行矛盾，所以l與AD不平行．7．長方體ABCD－A1B1C1D1的12條棱中，所在直線與棱AA1所在直線垂直的共有()A．6條B．8條C．10條D．12條答案B解析所在直線與棱AA1所在直線垂直的有AB,BC，CD，DA,A1B1，B1C1,C1D1，D1A1，共8條．8．異面直線a,b，有a?α，b?β且α∩β＝c，則直線c與a,b的關(guān)系是（)A．c與a，b都相交B．c與a,b都不相交C．c至多與a，b中的一條相交D．c至少與a，b中的一條相交答案D解析若c與a,b都不相交，∵c與a在α內(nèi)，∴a∥c.又c與b都在β內(nèi)，∴b∥c。由基本性質(zhì)4，可知a∥b，與已知條件矛盾．如圖,只有以下三種情況．二、填空題9．空間兩個角α、β，且α與β的兩邊對應(yīng)平行且α＝60°，則β＝________。答案60°或120°10．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________;(2）直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；（3）直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；（4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．答案（1）平行(2）異面(3)相交（4）異面11．a(chǎn)，b，c是空間中三條直線，下面給出幾個說法：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a與b相交，b與c相交，則a與c也相交；③若a,b分別在兩個相交平面內(nèi)，則這兩條直線不可能平行．則上述說法中正確的為________．（僅填序號）答案①解析由基本性質(zhì)4知①正確．若a與b相交，b與c相交，則a與c可能平行，也可能相交或異面，②錯誤；若平面α∩β＝l，a?α，b?β,a∥l,b∥l，則a∥b，③錯誤．三、解答題12.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1內(nèi)有一點P，經(jīng)過點P作棱BC的平行線，應(yīng)該怎樣畫？并說明理由．解如圖所示，在面A1C1內(nèi)過點P作直線EF∥B1C1，交A1B1于點E，交C1D1于點F，則直線EF即為所求．理由:因為EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.13.如圖所示,兩個三角形△ABC和△A′B′C′的對應(yīng)頂點的連線AA′，BB′，CC′交于同一點O,且eq\f（AO，A′O)＝eq\f(BO,B′O）＝eq\f（CO,C′O）＝eq\f（2,3）。(1)證明：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′；(2)求eq\f(S△ABC，S△A′B′C′）的值．（1)證明∵AA′與BB′相交于O點，且eq\f（AO，OA′）＝eq\f（BO,OB′），∴AB∥A′B′.同理AC∥A′C′,BC∥B′C′.（2）解∵AB∥A′B′，AC∥A′C′且AB和A′B′，AC和A′C′的方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，因此△ABC∽△A′B′C′，又eq\f（AB,A′B′)＝eq\f(AO，A′O)＝eq\f（2,3）?！鄀q\f（S△ABC，S△A′B′C′）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2，3))）2＝eq\f（4，9）.四、探究與拓展14.如圖所示，已知三棱錐A－BCD中，M，N分別為AB,CD的中點，則下列結(jié)論正