2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修二浙江專用版講義：第四章 圓與方程滾動(dòng)訓(xùn)練五

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精滾動(dòng)訓(xùn)練五(§4.1～§4。2)一、選擇題1．若圓(x－3）2＋（y＋5)2＝r2上的點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的最近距離為1，則半徑r的值為（）A．4B．5C．6D．9考點(diǎn)與圓有關(guān)的最值問題題點(diǎn)與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值答案A解析由題意可得，圓心（3，－5）到直線的距離等于r＋1，即eq\f(｜12＋15－2|,\r（16＋9）)＝r＋1，求得r＝4。故選A。2．若方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圓取得最大面積，則直線y＝(k－1)x＋2的傾斜角α等于()A．45°B．135°C．60°D．120°考點(diǎn)與圓有關(guān)的最值問題題點(diǎn)與面積有關(guān)的最值答案B解析將圓x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2）))2＋（y＋1)2＝1－eq\f（3k2，4），∴r2＝1－eq\f(3k2,4)，當(dāng)圓取得最大面積時(shí)，k＝0，半徑r＝1，因此直線y＝（k－1)x＋2,即y＝－x＋2.得直線的傾斜角α滿足tanα＝－1，∴α＝135°。3．圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0（t∈R）的位置關(guān)系為()A．相離 B．相切C．相交 D．以上都有可能考點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系題點(diǎn)判斷直線與圓的位置關(guān)系答案C解析直線2tx－y－2－2t＝0恒過點(diǎn)（1,－2),∵12＋(－2）2－2×1＋4×(－2)＝－5〈0，∴點(diǎn)(1，－2）在圓x2＋y2－2x＋4y＝0內(nèi)，直線2tx－y－2－2t＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相交，故選C。4．若3a2＋3b2－4c2＝0，則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長為()A。eq\f(2，3）B．1C.eq\f(1,2）D.eq\f（3,4）考點(diǎn)圓的弦長問題題點(diǎn)求圓的弦長答案B解析∵3a2＋3b2－4c2＝0,∴a2＋b2＝eq\f（4,3)c2,則圓x2＋y2＝1的圓心到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝eq\f（|c|，\r（a2＋b2）)＝eq\f（\r（3),2)；則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長l＝2eq\r(r2－d2）＝1。故選B.5．過圓x2＋y2－4x＝0外一點(diǎn)(m，n）作圓的兩條切線，當(dāng)這兩條切線相互垂直時(shí)，m，n滿足的關(guān)系式是（）A．（m－2)2＋n2＝4 B．（m＋2）2＋n2＝4C．（m－2）2＋n2＝8 D．(m＋2）2＋n2＝8考點(diǎn)與圓有關(guān)的軌跡問題題點(diǎn)有關(guān)點(diǎn)的軌跡的其他問題答案C解析圓x2＋y2－4x＝0的圓心坐標(biāo)為(2，0)，半徑r＝2.由題意，知（m－2)2＋n2＝8。6．已知直線l:3x＋4y＋m＝0（m>0)被圓C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0截得的弦長是圓心C到直線l的距離的2倍，則m等于（)A．6B．8C．11D．9考點(diǎn)圓的弦長問題題點(diǎn)直線和圓位置關(guān)系的綜合問題答案D解析圓C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0可化為(x＋1）2＋(y－1）2＝8，圓心坐標(biāo)為（－1，1）,半徑為2eq\r（2)，由題意可知，圓心到直線的距離d＝eq\f（｜1＋m｜,5）＝2?！適〉0，∴m＝9。7．過點(diǎn)P(－2，4)作圓C：(x－2)2＋(y－1）2＝25的切線l，直線m：ax－3y＝0與切線l平行，則切線l與直線m間的距離為（)A。eq\f(3，5)B．2C．4D。eq\f（12，5）考點(diǎn)圓的切線問題題點(diǎn)求圓的切線方程答案C解析根據(jù)題意，知點(diǎn)P在圓C上，∴切線l的斜率k＝－eq\f（1,kCP)＝eq\f(－1,\f(1－4,2＋2)）＝eq\f(4，3)，∴切線l的方程為y－4＝eq\f(4,3）（x＋2）,即4x－3y＋20＝0。又直線m與切線l平行，∴直線m的方程為4x－3y＝0。故切線l與直線m間的距離d＝eq\f（｜0－20|，\r（42＋－32))＝4。8．如圖，定圓半徑為a,圓心為(b,c），則直線ax＋by＋c＝0與直線x－y＋1＝0的交點(diǎn)在（）A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限考點(diǎn)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用題點(diǎn)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用答案B解析由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（ax＋by＋c＝0，,x－y＋1＝0,)）解得交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（b＋c，a＋b)，\f（a－c，a＋b）））.由圖可知，－b>a〉c>0，∴－eq\f(b＋c，a＋b)<0，eq\f（a－c，a＋b）〈0，∴交點(diǎn)在第三象限，故選B。二、填空題9．若直線l：ax＋by＝1與圓C:x2＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則點(diǎn)P（a，b）與圓C的位置關(guān)系是________．考點(diǎn)圓的弦長問題題點(diǎn)直線和圓位置關(guān)系的綜合問題答案點(diǎn)P在圓外解析∵直線l：ax＋by＝1與圓C：x2＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴eq\f（1，\r(a2＋b2））〈1，即eq\r（a2＋b2)>1，∴點(diǎn)P(a，b)在圓外．10．點(diǎn)P在圓C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上,點(diǎn)Q在圓C2:x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，則|PQ|的最小值是________．考點(diǎn)與圓有關(guān)的最值問題題點(diǎn)與距離或距離的平方有關(guān)的最值答案3eq\r(5)－5解析把圓C1、圓C2的方程都化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得（x－4）2＋（y－2）2＝9，(x＋2）2＋（y＋1)2＝4.圓C1的圓心坐標(biāo)是（4,2)，半徑是3；圓C2的圓心坐標(biāo)是（－2，－1）,半徑是2。圓心距d＝eq\r（4＋22＋2＋12)＝3eq\r（5）＞3＋2＝5，所以圓C1與圓C2相離，所以|PQ|的最小值是3eq\r(5）－5。11．已知直線l：y＝eq\f(\r(3),3）x＋2eq\r(3）與圓x2＋y2＝12交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn),則｜CD|＝________。考點(diǎn)圓的弦長問題題點(diǎn)直線和圓位置關(guān)系的綜合問題答案4解析由題意，得圓心到直線的距離d＝eq\f(2\r(3）,\r(1＋\f(1，3))）＝3，∴｜AB｜＝2eq\r（12－9）＝2eq\r（3）.又易知直線l的傾斜角為30°，∴|CD|＝eq\f(|AB｜，cos30°)＝eq\f(2\r（3），\f（\r(3），2)）＝4.三、解答題12．已知圓心為N（3，4）的圓被直線x＝1截得的弦長為2eq\r(5）.(1)求圓N的方程；(2)點(diǎn)B（3，－2）與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱,求以C為圓心且與圓N外切的圓的方程．考點(diǎn)直線和圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線和圓的位置關(guān)系解(1）由題意得，圓心N(3，4）到直線x＝1的距離等于3－1＝2?！邎AN被直線x＝1截得的弦長為2eq\r（5），∴圓N的半徑r＝eq\r(\r(5)2＋22）＝3.∴圓N的方程為（x－3)2＋(y－4)2＝9.(2)∵點(diǎn)B（3，－2）與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－5,－2），設(shè)所求圓的方程為（x＋5）2＋（y＋2)2＝r2(r>0）,∵圓C與圓N外切，∴r＋3＝eq\r（3＋52＋4＋22)＝10,得r＝7.∴圓C的方程為（x＋5）2＋(y＋2）2＝49。13．已知從圓外一點(diǎn)P(4，6)作圓O:x2＋y2＝1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A，B。（1）求以O(shè)P為直徑的圓的方程；（2)求直線AB的方程．考點(diǎn)求過直線與圓或圓與圓交點(diǎn)的圓的方程題點(diǎn)兩圓公共弦所在直線的方程解(1）∵所求圓的圓心為線段OP的中點(diǎn)（2，3)．半徑為eq\f(1,2）｜OP|＝eq\f（1，2）eq\r（4－02＋6－02)＝eq\r(13)，∴以O(shè)P為直徑的圓的方程為（x－2)2＋（y－3）2＝13。(2)∵PA，PB是圓O:x2＋y2＝1的兩條切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴A,B兩點(diǎn)都在以O(shè)P為直徑的圓上．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋y2＝1，,x－22＋y－32＝13,)）得直線AB的方程為4x＋6y－1＝0。

四、探究與拓展14．對(duì)于兩條平行直線和圓的位置關(guān)系定義如下：若直線中至少有一條與圓相切，則稱該位置關(guān)系為“平行相切”；若兩直線都與圓相離，則稱該位置關(guān)系為“平行相離”；否則稱為“平行相交”．已知直線l1：ax＋3y＋6＝0，l2：2x＋（a＋1)y＋6＝0，圓C：x2＋y2＋2x＝b2－1（b>0）的位置關(guān)系是“平行相交”，則b的取值范圍為（)A.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\r（2)，\f（3\r(2),2)）) B．(0，eq\r(2））C.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f(3\r(2),2））） D.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\r（2)，\f(3\r(2)，2）))∪eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3\r(2)，2），＋∞））考點(diǎn)直線和圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線和圓的位置關(guān)系答案D解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1）2＋y2＝b2，由兩直線平行a(a＋1）－6＝0，解得a＝2或a＝－3，又當(dāng)a＝2時(shí)，直線l1與l2重合，舍去,此時(shí)兩平行直線方程分別為x－y－2＝0和x－y＋3＝0.由直線x－y－2＝0與圓（x＋1）2＋y2＝b2相切，得b＝eq\f(3,\r(2))＝eq\f(3\r(2)，2);由直線x－y＋3＝0與圓（x＋1）2＋y2＝b2相切，得b＝eq\f(2，\r（2））＝eq\r（2).當(dāng)兩直線與圓都相離時(shí)，b<eq\r（2）?！喈?dāng)“平行相交”時(shí),b滿足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（b〉\r(2)，，b≠\f（3\r（2),2）,））∴b的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\r(2),\f（3\r(2)，2）)）∪eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3\r（2），2)，＋∞）).故選D.15．已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切,圓心C在x軸上且在直線l的右上方．(1）求圓C的方程；(2)過點(diǎn)M(1,0）的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)圓的弦長問題題點(diǎn)直線和圓位置關(guān)系的綜合問題解（1）設(shè)圓心C(a，0）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（a>－\f(5，2)）)，則eq\f（|4a＋10｜,5）＝2，解得a＝0或a＝－5（舍）．所以圓C的方程為x2＋y2＝4。（2)當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，x軸平分∠ANB。當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，N（t，0），A(x1，y1)，B（x2，y2），由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，，y＝kx－1，））得（k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0,所以x1＋x2＝eq\f（2k2，k2＋1)，x1x2＝eq\f(k2－4，k2＋1).若x軸平分∠ANB,則kAN＝－kBN，即eq\f（y1,x1－t）＋