2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修四人教A版全國通用版講義：第二章 平行向量2.5.2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．5.2向量在物理中的應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)1。經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的過程.2。體會向量是一種處理物理問題的重要工具。3.培養(yǎng)運(yùn)用向量知識解決物理問題的能力．知識點(diǎn)一向量的線性運(yùn)算在物理中的應(yīng)用思考1向量與力有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？答案向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點(diǎn)，也可以沒有共同的作用點(diǎn)，但是力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點(diǎn)的．思考2向量的運(yùn)算與速度、加速度與位移有什么聯(lián)系？答案速度、加速度與位移的合成與分解，實(shí)質(zhì)上是向量的加減法運(yùn)算,而運(yùn)動的疊加也用到向量的合成．梳理（1)用向量解決力的問題,通常把向量的起點(diǎn)平移到同一個(gè)作用點(diǎn)上．（2)向量在解決涉及速度、位移等物理量的合成與分解時(shí)，實(shí)質(zhì)就是向量的線性運(yùn)算．知識點(diǎn)二向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用思考向量的數(shù)量積與功有什么聯(lián)系？答案物理上力做功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，它的實(shí)質(zhì)是向量的數(shù)量積．梳理物理上力的做功就是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積,即W＝|F|｜s|cos〈F，s〉，功是一個(gè)實(shí)數(shù)，它可正可負(fù)，也可以為零．力的做功涉及兩個(gè)向量及這兩個(gè)向量的夾角，它的實(shí)質(zhì)是向量F與s的數(shù)量積．知識點(diǎn)三向量方法解決物理問題的步驟用向量理論討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個(gè)步驟：（1)問題轉(zhuǎn)化,即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型；(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等；（4)回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題．1．功是力F與位移S的數(shù)量積．（√)2．力的合成與分解體現(xiàn)了向量的加減法運(yùn)算．（√）3．某輪船需橫渡長江，船速為v1，水速為v2，要使輪船最快到達(dá)江的另一岸，則需保持船頭方向與江岸垂直．（√)類型一向量的線性運(yùn)算在物理中的應(yīng)用例1(1)在重300N的物體上系兩根繩子,這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè),與鉛垂線的夾角分別為30°，60°（如圖），求重物平衡時(shí),兩根繩子拉力的大?。键c(diǎn)向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求分力解如圖,兩根繩子的拉力之和eq\o（OA,\s\up6（→)）＋eq\o(OB，\s\up6（→）)＝eq\o（OC,\s\up6(→）），且｜eq\o(OC，\s\up6（→）)|＝｜eq\o（OG，\s\up6(→）)｜＝300N,∠AOC＝30°,∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°,∠AOC＝30°，則∠OAC＝90°，從而｜eq\o（OA，\s\up6（→))|＝|eq\o(OC,\s\up6（→))｜·cos30°＝150eq\r（3)(N），｜eq\o(AC,\s\up6(→))｜＝｜eq\o(OC，\s\up6(→）)|·sin30°＝150(N），所以|eq\o（OB,\s\up6（→)）|＝｜eq\o（AC，\s\up6（→）)｜＝150（N)．答與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是150eq\r(3)N,與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是150N.(2）一條寬為eq\r(3）km的河，水流速度為2km/h，在河兩岸有兩個(gè)碼頭A，B，已知AB＝eq\r(3)km，船在水中最大航速為4km/h，問該船從A碼頭到B碼頭怎樣安排航行速度可使它最快到達(dá)彼岸B碼頭？用時(shí)多少？考點(diǎn)向量在運(yùn)動學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求速度解如圖所示，設(shè)eq\o（AC，\s\up6（→)）為水流速度,eq\o(AD,\s\up6(→))為航行速度，以AC和AD為鄰邊作?ACED且當(dāng)AE與AB重合時(shí)能最快到達(dá)彼岸,根據(jù)題意AC⊥AE，在Rt△ADE和?ACED中，|eq\o（DE，\s\up6（→）)|＝|eq\o(AC,\s\up6(→）)|＝2，｜eq\o（AD，\s\up6(→)）|＝4，∠AED＝90°,∴｜eq\o(AE,\s\up6(→）)｜＝eq\r（|\o(AD,\s\up6(→))｜2－|\o(DE,\s\up6(→)）｜2）＝2eq\r（3）.又AB＝eq\r（3)，∴用時(shí)0。5h?！遱in∠EAD＝eq\f（1，2)，∠EAD∈(0°,90°)，∴∠EAD＝30°。答船實(shí)際航行速度大小為2eq\r(3)km/h，與水流成120°角時(shí)能最快到達(dá)B碼頭，用時(shí)0.5h.反思與感悟利用向量法解決物理問題有兩種思路，第一種是幾何法，選取適當(dāng)?shù)幕?將題中涉及的向量用基底表示，利用向量運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算．第二種是坐標(biāo)法，通過建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．跟蹤訓(xùn)練1河水自西向東流動的速度為10km/h，小船自南岸沿正北方向航行,小船在靜水中的速度為10eq\r（3）km/h，求小船的實(shí)際航行速度．考點(diǎn)向量在運(yùn)動學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求速度解設(shè)a，b分別表示水流的速度和小船在靜水中的速度，過平面內(nèi)一點(diǎn)O作eq\o（OA,\s\up6(→)）＝a，eq\o（OB,\s\up6（→)）＝b，以eq\o(OA,\s\up6(→)），eq\o(OB,\s\up6（→）)為鄰邊作矩形OACB，連接eq\o(OC，\s\up6（→))，如圖,則eq\o(OC，\s\up6（→))＝a＋b，并且eq\o（OC，\s\up6(→））即為小船的實(shí)際航行速度．∴｜eq\o(OC，\s\up6（→))｜＝eq\r（a＋b2)＝eq\r（a2＋b2）＝20（km/h），tan∠AOC＝eq\f（10\r（3)，10)＝eq\r(3)，∴∠AOC＝60°,∴小船的實(shí)際航行速度為20km/h，按北偏東30°的方向航行．類型二向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用例2質(zhì)量m＝2。0kg的木塊，在平行于斜面向上的拉力F＝10N的作用下,沿傾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行｜s｜＝2.0m的距離．（g＝9.8N/kg)(1)分別求物體所受各力對物體所做的功;（2）在這個(gè)過程中，物體所受各力對物體做功的代數(shù)和是多少?考點(diǎn)向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求做功解（1)木塊受三個(gè)力的作用，重力G，拉力F和支持力FN,如圖所示,拉力F與位移s方向相同,所以拉力對木塊所做的功為WF＝F·s＝|F｜｜s｜c(diǎn)os0°＝20(J）；支持力FN與位移方向垂直，不做功,所以WN＝FN·s＝0;重力G對物體所做的功為WG＝G·s＝｜G||s|cos（90°＋θ)＝－19。6(J）．(2)物體所受各力對物體做功的代數(shù)和為W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)．反思與感悟物理上的功實(shí)質(zhì)上就是力與位移兩矢量的數(shù)量積．跟蹤訓(xùn)練2已知力F的大小|F|＝10,在F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小|s｜＝14，F(xiàn)與s的夾角為60°，則F做的功為（)A．7B．10C．14D．70考點(diǎn)向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求做功答案D解析F做的功為F·s＝｜F||s｜c(diǎn)os60°＝10×14×eq\f（1，2）＝70.1．一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3（單位:牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成90°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為（)A．6B．2C．2eq\r（5）D．2eq\r（7)考點(diǎn)向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求合力答案C解析由題意知F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝(F1＋F2）2＝Feq\o\al（2,1）＋Feq\o\al（2,2)＋2F1·F2＝4＋16＝20，∴|F3｜＝2eq\r（5）。2．人騎自行車的速度是v1,風(fēng)速為v2，則逆風(fēng)行駛的速度為(）A．v1－v2 B．v2－v1C．v1＋v2 D．|v1|－|v2｜考點(diǎn)向量在運(yùn)動學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求速度答案C解析由題易知，選項(xiàng)C正確．3。用兩條成120°角的等長的繩子懸掛一個(gè)燈具，如圖所示，已知燈具重10N，則每根繩子的拉力大小為______N。考點(diǎn)向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求分力答案10解析設(shè)重力為G,每根繩的拉力分別為F1,F2,則由題意得F1，F(xiàn)2與－G都成60°角，且｜F1｜＝｜F2|.∴|F1｜＝|F2|＝|G|＝10N，∴每根繩子的拉力都為10N。4．一條河寬為800m，一船從A處出發(fā)垂直到達(dá)河正對岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達(dá)B處所需時(shí)間為________min.考點(diǎn)向量在運(yùn)動學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求時(shí)間答案3解析∵v實(shí)際＝v船＋v水＝v1＋v2,｜v1｜＝20km/h,|v2|＝12km/h，∴|v實(shí)際｜＝eq\r（｜v1｜2－|v2｜2)＝eq\r(202－122）＝16(km/h)．∴所需時(shí)間t＝eq\f(0.8,16）＝0.05(h)＝3（min）．∴該船到達(dá)B處所需的時(shí)間為3min。5．一艘船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡．根據(jù)測量，這一天水流速度為3km/h，方向正東,風(fēng)的方向?yàn)楸逼?0°,受風(fēng)力影響，靜水中船的漂行速度為3km/h,若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以2eq\r（3）km/h的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向．考點(diǎn)向量在運(yùn)動學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求速度解如圖，設(shè)水的速度為v1，風(fēng)的速度為v2，v1＋v2＝a.可求得a的方向是北偏東30°，a的大小是3km/h。設(shè)船的實(shí)際航行速度為v，方向由南向北,大小為2eq\r(3）km/h。船本身的速度為v3，則a＋v3＝v,即v3＝v－a,由數(shù)形結(jié)合知，v3的方向是北偏西60°，大小是eq\r（3)km/h。用向量理論討論物理中相關(guān)問題的步驟一般來說分為四步：(1）問題的轉(zhuǎn)化，把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題；(2）模型的建立，建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；（3)參數(shù)的獲取，求出數(shù)學(xué)模型的相關(guān)解；（4）問題的答案，回到物理現(xiàn)象中,用已經(jīng)獲取的數(shù)值去解釋一些物理現(xiàn)象．一、選擇題1．兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力F1，F(xiàn)2，當(dāng)它們夾角為90°時(shí),合力大小為20N,則當(dāng)它們的夾角為120°時(shí)，合力大小為（）A．40N B．10eq\r(2）NC．20eq\r（2）N D．10eq\r（3)N考點(diǎn)向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求合力答案B解析｜F1|＝｜F2｜＝｜F｜c(diǎn)os45°＝10eq\r（2)，當(dāng)θ＝120°,由平行四邊形法則知|F合｜＝|F1｜＝｜F2|＝10eq\r(2）N。2．已知三個(gè)力F1＝(－2,－1),F2＝（－3，2),F3＝（7，－3）同時(shí)作用于某物上一點(diǎn)，為使該物體保持平衡，再加上一個(gè)力F4,則F4等于（）A．(－2，－2） B．（2，－2）C．（－1，2） D．（－2,2)考點(diǎn)向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求合力答案D解析由物理知識，知物體平衡，則所受合力為0，所以F1＋F2＋F3＋F4＝0,故F4＝－(F1＋F2＋F3）＝（－2,2)，故選D。3．已知作用在點(diǎn)A的三個(gè)力F1＝（3,4），F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝（3，1）且A(1，1），則合力F＝F1＋F2＋F3的終點(diǎn)坐標(biāo)為（)A．(9,1） B．(1,9)C．(9,0) D．(0，9）考點(diǎn)向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求合力答案A解析F＝F1＋F2＋F3＝(3,4）＋（2,－5)＋（3,1）＝（8,0),設(shè)合力F的終點(diǎn)為P(x，y），則eq\o(OP,\s\up6(→)）＝eq\o(OA，\s\up6（→）)＋F＝（1,1)＋（8，0）＝(9，1）．4．質(zhì)點(diǎn)P在平面上作勻速直線運(yùn)動，速度向量ν＝（4，－3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動方向與ν相同，且每秒移動的距離為｜ν｜個(gè)單位）．設(shè)開始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－10,10）,則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(－2,4) B．(－30，25）C．(10，－5） D．（5，－10）考點(diǎn)向量在運(yùn)動學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求位移答案C解析設(shè)點(diǎn)(－10，10)為點(diǎn)A，5秒后P點(diǎn)的坐標(biāo)為A1(x，y),則eq\o（AA1,\s\up6(→)）＝（x＋10，y－10),由題意可知,eq\o（AA1，\s\up6(→))＝5ν，即（x＋10,y－10)＝（20，－15)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋10＝20，，y－10＝－15，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝－5。））5．已知兩個(gè)力F1，F(xiàn)2的夾角為90°,它們的合力大小為10N，合力與F1的夾角為60°,那么F1的大小為()A．5eq\r(3)N B．5NC．10N D．5eq\r（2)N考點(diǎn)向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求分力答案B解析如圖，有｜F1|＝|F｜c(diǎn)os60°＝10×eq\f(1，2）＝5(N)．6．河水的流速為5m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船在靜水中的速度大小為()A．13m/s B．12m/sC．17m/s D．15m/s考點(diǎn)向量在運(yùn)動學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求速度答案A解析設(shè)小船在靜水中的速度為v1，河水的流速為v2,v1與v2的合速度為v,∵為了使航向垂直河岸,船頭必須斜向上游方向,即小船在靜水中的速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，合速度v指向?qū)Π?∴靜水速度｜v1|＝eq\r（|v|2＋|v2｜2)＝eq\r(122＋52）＝13（m/s）．7．當(dāng)兩人提起重量為G的旅行包時(shí)，夾角為θ，兩人用力大小都為|F｜,若｜F|＝|G｜,則θ的值為(）A．30°B．60°C．90°D．120°考點(diǎn)向量在力學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求分力答案D解析作eq\o(OA,\s\up6（→)）＝F1,eq\o(OB，\s\up6(→))＝F2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝－G（圖略），則eq\o（OC,\s\up6（→))＝eq\o（OA,\s\up6(→）)＋eq\o（OB，\s\up6(→）），當(dāng)｜F1|＝｜F2|＝|G|時(shí),△OAC為正三角形,所以∠AOC＝60°,從而∠AOB＝120°。二、填空題8．飛機(jī)以300km/h的速度斜向上飛行，方向與水平面成30°角，則飛機(jī)在水平方向的分速度大小是______km/h?？键c(diǎn)向量在運(yùn)動學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求速度答案150eq\r（3）解析如圖所示,｜v1|＝｜v｜c(diǎn)os30°＝300×eq\f（\r（3），2)＝150eq\r（3）（km/h）．9．一物體在力F1＝（3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5），F(xiàn)3＝（3,1）的共同作用下從點(diǎn)A(1,1）移動到點(diǎn)B（0,5)．在這個(gè)過程中三個(gè)力的合力所做的功為________．考點(diǎn)向量在運(yùn)動學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求做功答案－40解析∵F1＝（3，－4），F(xiàn)2＝(2，－5），F(xiàn)3＝(3,1）,∴合力F＝F1＋F2＋F3＝（8,－8）．又∵eq\o(AB，\s\up6(→）)＝（0－1,5－1)＝（－1,4）,∴F·eq\o（AB,\s\up6（→）)＝8×(－1）＋（－8）×4＝－40，即三個(gè)力的合力做的功等于－40.10．一個(gè)重20N的物體從傾斜角為θ,斜面長1m的光滑斜面頂端下滑到底端，若重力做的功是10J，則θ＝________。考點(diǎn)向量在運(yùn)動學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求方向答案30°解析∵WG＝G·s＝｜G||s｜·cos(90°－θ)＝20×1×cos(90°－θ)＝10J，∴cos（90°－θ）＝eq\f(1,2）,∴θ＝30°。11．河水的流速為2m/s，一艘小船以10m/s的速度沿垂直于對岸的方向行駛，則小船在靜水中的速度大小為________m/s.考點(diǎn)向量在運(yùn)動學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求速度答案2eq\r（26）解析設(shè)河水的流速為v1，小船在靜水中的速度為v2,船的實(shí)際速度為v，則v＝v1＋v2，|v1｜＝2m/s,|v|＝10m/s。所以|v2|＝｜v－v1|＝eq\r(v2－2v·v1＋v\o\al（2,1）)＝eq\r（100－0＋4）＝eq\r（104)＝2eq\r（26)(m/s）．三、解答題12．在水流速度為4千米/時(shí)的河流中,有一艘船沿與水流垂直的方向以8千米/時(shí)的速度航行，求船實(shí)際航行的速度的大?。键c(diǎn)向量在運(yùn)動學(xué)中的應(yīng)用題點(diǎn)求速度解如圖，用v0表示水流速度，v1表示與水流垂直的方向的速度．則v0＋v1表示船實(shí)際航行的速度，∵｜v0｜＝4，|v1|＝8，∴|v0＋v1|＝eq\r(42＋82)＝4eq\r（5）。故船實(shí)際航行的速度為4eq\r（5）千米/時(shí)．13．已知兩恒力F1＝（3，4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點(diǎn),使之由點(diǎn)A(