第八章 動(dòng)能定理

第八章動(dòng)能定理引言基本要求應(yīng)用動(dòng)力學(xué)基本方程是解決運(yùn)動(dòng)變化與力之1、加深對(duì)功和動(dòng)能概念的理間的關(guān)系的基本方法，但在許多實(shí)際問題中，特種功和動(dòng)能的求法，別是研究運(yùn)動(dòng)過程較復(fù)雜的質(zhì)點(diǎn)系問題時(shí)，要列2、加深對(duì)動(dòng)能定理的理解，出每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程十分困難。動(dòng)能定理建理的應(yīng)用。立了物體動(dòng)能變化與受力所作的功之間的關(guān)系，3、了解功率和效率的概念應(yīng)用動(dòng)能定理解決動(dòng)力學(xué)問題，淡化了具體的運(yùn)動(dòng)過程，使計(jì)算得到簡化。在物理中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理已作為重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行了研究。在理論力學(xué)中，動(dòng)能定理的基本意義與物理所講的完全相同。為了避免重復(fù)，在本章，重點(diǎn)對(duì)動(dòng)能定理的應(yīng)用范圍進(jìn)行拓寬。第一節(jié)力的功一、功的概念物體受力的作用后，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將發(fā)生改變，這種改變不僅與力的大小和方向有關(guān)，還與物體在力的作用下所走過的路程有關(guān)。功就是描述力在一段路程中對(duì)物體的積累效應(yīng)，我們將（不變的）力F在物體運(yùn)動(dòng)方向上的投影Fcos與物體所走過的路程S的乘積，稱為力F在路程S中對(duì)物體所作的功。即：W二FSCOSa在上式中，a表示力F與運(yùn)動(dòng)方向的夾角，a<90。時(shí)，力作正功；反之力做負(fù)功?？梢?，功是一個(gè)只有大小、正負(fù)而沒有方向的量，是一個(gè)代數(shù)量。功的單位由力和路程的單位來確定，在國際單位制中，功的單位是焦耳（J）,即：焦耳=牛頓x米（1J=1N-m若在變力F作用下物體沿曲線運(yùn)動(dòng)，則可將路程S分成為無限多個(gè)小微段ds，并將ds視為直線，將該微段內(nèi)的力F視為常力。力在此微段上所作的功稱為元功，用dW表示。即dW=Fcosa-dS若求變力F在一段路程s上所作的功，可對(duì)元功積分。即：W=fsdW=fsFcosadS00二、幾種常見力的功1、 重力的功重力的功等于物體的重力與物體重心始末位置的高度差的乘積，即W=土Gh可見，重力的功只與物體的始末位置有關(guān)，而與物體運(yùn)動(dòng)的具體路徑無關(guān)。在應(yīng)用上式時(shí)，物體由高向低運(yùn)動(dòng)，重力作正功；反之，重力作負(fù)功。2、 彈力的功彈力的功等于彈簧初位置與末位置變形量的平方差與剛性系數(shù)乘積的一半，即1W=—C（82-§2）212可見，彈力的功只與彈簧的始末位置有關(guān)，而與物體的具體運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)。3、力矩的功剛體在力矩M的作用下轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩所作的元功為：dW=Md申當(dāng)力矩為常量時(shí)，力矩對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功等于力矩M與剛體轉(zhuǎn)角9的乘積。W二M9

顯然，當(dāng)力矩與剛體轉(zhuǎn)向相同時(shí)，力矩作正功，反之作負(fù)功。三、合力的功

可以證明，在任意一段路程上，合力對(duì)物體所作的功，等于所有分力在同一

段路程上所作的功的代數(shù)和。例8-1如圖所示，高壓開關(guān)主彈簧的剛性系數(shù)C=54kN/m，彈黃原長1°=18.2cm，在合閘位置0A時(shí)，彈簧長度11=28.4cm，在分閘位置OB時(shí)，彈簧長度12=19毗口，試求閘刀由合閘位置到分閘位置的過程中，彈力做作的功。解：閘刀在0A位置（初位置）時(shí)，彈簧的變形量為:5=l—l=28.4—18.2=10.2cm=0.102m110閘刀在OB位置（末位置）時(shí)，彈簧的變形量為：5=l—l=19.8—18.2=1.6cm=0.016m220彈簧在由OA到OB的過程中，彈力所作的功為：11W=一C(52—52)=X54X103X(0.1022—0.0162)=274J2122第二節(jié)物體的動(dòng)能動(dòng)能就是物體由于運(yùn)動(dòng)而具有的作功的能力。一切運(yùn)動(dòng)著的物體都具有動(dòng)能。一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能由實(shí)際現(xiàn)象可知，物體的質(zhì)量越大，運(yùn)動(dòng)速度越高，其作功的能力越強(qiáng)，即動(dòng)能越大。因此，力學(xué)中把質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m與其運(yùn)動(dòng)速度v平方的乘積的一半稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能，用T表示。即1T=—mv22動(dòng)能是非負(fù)的標(biāo)量，它與質(zhì)點(diǎn)速度的方向無關(guān)，因此動(dòng)能無方向性。動(dòng)能的單位與功相同，也是焦耳。二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能的代數(shù)和。即剛體是一個(gè)不變質(zhì)點(diǎn)系，其平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能的求法如下：1、平動(dòng)剛體的動(dòng)能由于平動(dòng)剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的速度都相同，設(shè)其都等于質(zhì)心的速度vC，于是平動(dòng)剛體的動(dòng)能為：2、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角速度平方的乘積的一半。即1T=J&22z第三節(jié)動(dòng)能定理功是力在一段時(shí)間、一個(gè)過程中對(duì)物體的積累效應(yīng)；而動(dòng)能是物體在某一瞬時(shí)、某一狀態(tài)下所具有的作功的能力?？梢宰C明，在任意過程中，物體的動(dòng)能的改變量，等于作用于物體上的所有力在該過程中對(duì)物體所作的功的總和。即T-T二W2112此即動(dòng)能定理的基本含義。該式說明功是能量轉(zhuǎn)化的度量，描述了物體在機(jī)械運(yùn)動(dòng)過程中，功與動(dòng)能變化之間的關(guān)系。動(dòng)能定理是一個(gè)標(biāo)量方程，只能解一個(gè)未知量。應(yīng)用動(dòng)能定理解題的二般步驟是：選取研究對(duì)象，并畫出其受力圖。分析研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)。確定力學(xué)過程(即初位置和末位置)，并分別計(jì)算物體在初位置和末位置的動(dòng)能。計(jì)算所有力所作的功。應(yīng)用動(dòng)能定理列方程，求解未知量。在應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，應(yīng)注意內(nèi)力和約束反力是否作功的問題：對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系而言，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)既受外力也受內(nèi)力。若質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間的距離是可變的，我們稱之為可變質(zhì)點(diǎn)系；若質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間的距離是不變的，我們稱之為不變質(zhì)點(diǎn)系，不變質(zhì)點(diǎn)系即是我們常說的剛體。經(jīng)分析可知，可變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力作功之和不等于零，剛體(不變質(zhì)點(diǎn)系)的內(nèi)力作功之和等于零。例：如圖所示，質(zhì)量m=2kg的物體在豎直平面內(nèi)由靜止從A點(diǎn)沿半徑R=1m的14圓弧軌道滑到B點(diǎn)，然后經(jīng)過一段水平距離S=4.4m后停下。已知物體在B點(diǎn)時(shí)的速度vB=4m/s，各處的摩擦因數(shù)相同。求(1)物體從A點(diǎn)到B點(diǎn)和從B點(diǎn)到C點(diǎn)的過程中，摩擦阻力作的功各是多少？(2)BC段的摩擦因數(shù)是多少？解：以物體為研究對(duì)象，在整個(gè)過程中，物體受的力有：重力G、支持力N和摩擦力F,其中，支持力不作功。對(duì)于AB段：

重力所作的功為：W=mgR=2x9.8x1=19.6J重力所作的功為：G物體在A點(diǎn)的動(dòng)能：TA0物體在B物體在B點(diǎn)的動(dòng)能：B11—mv2=—x2x42=16J2B2由動(dòng)能定理得解得：對(duì)于由動(dòng)能定理得解得：對(duì)于BC段：T-T=W+WBAGFW=-3.6JF16-0=19.6+WF重力所作的功：-mgfS=-(2x9.8x重力所作的功：-mgfS=-(2x9.8x4.4)f=-86.24f能：T=16JB物體在C點(diǎn)的動(dòng)能：T=0C由動(dòng)能定理得：T—T=W'+W'C B G F—86.24f=—16解得，摩擦因數(shù)：f=0.185摩擦力所作的功：物體在B點(diǎn)的動(dòng)第四節(jié)功率和效率一、功率工程上，不僅要知道力作功的多少，而且還要知道作功的快慢，為此需引入功率的概念。所謂功率是指力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功，是衡量機(jī)器工作能力的一個(gè)重要的指標(biāo)。功率越大，說明力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功越多。若某力在時(shí)間At內(nèi)所作的功是AW，則此力的功率為：AWAt這就是力在時(shí)間At內(nèi)的平均功率。若計(jì)算瞬時(shí)功率，則需要求平均功率在AtT0時(shí)的極限，即TOC\o"1-5"\h\zAW dWP=lim= AtT0At dt在國際單位制中，功率的單位是瓦特（W）,顯烈1W=1J/s，常用的單位還有千瓦（kW）。將dW=Fcosa-dS代入上式得:\o"CurrentDocument"FcosadS dSdtP= =Fcosa=Fcosa-v=F-vdtdt u上式表明：力的功率等于力在運(yùn)動(dòng)方向上的投影與速度的乘積。對(duì)于力矩，將dW=Md9代入功率的定義式得:Md9 d9P= =M=M?dt dt由以上兩式可以看出，在功率一定的條件下，力（或力矩）的大小與速度（或角速度）的大小成反比。例如，汽車上坡時(shí)，為了獲得較大的牽引力（驅(qū)動(dòng)力矩），就必須換檔，降低速度。車削加工時(shí)，若吃刀深度大，則應(yīng)選用較低的轉(zhuǎn)速。在工程中，通常已知機(jī)械的功率P（kW）和轉(zhuǎn)速n（r/min），則由上式可得:TOC\o"1-5"\h\zM① Mn兀 MnP= = =1000 1000X30 9550P即 M=9550—n此即功率、轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩的關(guān)系式，在工程中經(jīng)常用到，使用時(shí)應(yīng)注意式中的單位。二、效率效率是衡量機(jī)器工作性能的又一重要指標(biāo)。機(jī)器從發(fā)動(dòng)機(jī)得到的功叫輸入功用W入表示。輸入功的一部分用于克服有用阻力’稱為有用功’冊(cè)有表示；另部分消耗在克服無用阻力，稱為無用功，用W表示。有用功與輸入功的比值稱無為機(jī)械效率，簡稱效率。即將分子、分母同除以作功時(shí)間t得：WAtWAtP有P入顯然，有用功總是小于輸入功，因此，機(jī)械效率耳總是小于1,q越接近于1,說明有用功率在所有輸入功率中所占的比例越大，機(jī)器的工作性能越好。本章小結(jié)一、功1、 功的概念：功描述力在一段路程中對(duì)物體的積累效應(yīng)，是一個(gè)代數(shù)量其單位是焦耳。2、 常見力的功重力的功彈力的功W=土重力的功彈力的功1W=C(52-52)212力矩為常量時(shí)，力矩功：W二M申

3、合力的功：在任意一段路程上，合力對(duì)物體所作的功，等于所有分力在同一段路程上所作的功的代數(shù)和。二、動(dòng)能1、動(dòng)能的概念：動(dòng)能就是物體由于運(yùn)動(dòng)而具有的作功的能力，是一個(gè)非負(fù)的標(biāo)量，其單位也是焦耳。2、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：3、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能的代數(shù)和。