2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章算法初步13算法案例學(xué)案3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。3算法案例學(xué)習(xí)目標(biāo)核心涵養(yǎng)1．會用輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求兩數(shù)的最大合約數(shù)．（重點(diǎn)、易1．經(jīng)過古代傳統(tǒng)算法，培養(yǎng)混點(diǎn))數(shù)學(xué)運(yùn)算涵養(yǎng)．2．會用秦九韶算法求多項(xiàng)式的2．借助算法案例,提升邏輯推值．（重點(diǎn)）理涵養(yǎng)。3．會在不同樣進(jìn)位制間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化．(難點(diǎn)）1．輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)(1）輾轉(zhuǎn)相除法①輾轉(zhuǎn)相除法是用于求兩個(gè)正整數(shù)的最大合約數(shù)的一種算法，這種算法是由歐幾里得在公元前300年左右第一提出的,所以又叫歐幾里得算法．②所謂輾轉(zhuǎn)相除法，就是對于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)．若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，連續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)較小的數(shù)就是原來-1-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精兩個(gè)數(shù)的最大合約數(shù)．2)更相減損術(shù)更相減損術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中介紹的一種求兩數(shù)最大合約數(shù)的方法．其基本過程是:第一步,任意給定兩個(gè)正整數(shù),判斷它們可否都是偶數(shù)．若是,用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步．第二步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較,并以大數(shù)減小數(shù)．連續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止,則這個(gè)數(shù)或這個(gè)數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大合約數(shù)．2．秦九韶算法把一個(gè)n次多項(xiàng)式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋＋a1x＋a0改寫成以下形式：f（x)＝(（(anx＋an－1)x＋an－2)x＋＋a1)x＋a0.求多項(xiàng)式的值時(shí)，第一計(jì)算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項(xiàng)式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值,即v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an3，,vn＝vn－1x＋a0,這種求n次多項(xiàng)式f(x）的值的方法叫秦九韶算法．3．進(jìn)位制(1）進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)．“滿k進(jìn)一"就是k進(jìn)制,k進(jìn)制的基數(shù)是k.-2-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(2）將k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的方法是：先把k進(jìn)制數(shù)寫成各位上的數(shù)字與k的冪的乘積之和的形式，再依照十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出結(jié)果．(3)將十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)方法是：除k取余法．即用k連續(xù)去除十進(jìn)制數(shù)所得的商,直到商為零為止，爾后把各步獲取的余數(shù)倒排寫出．就是相應(yīng)的k進(jìn)制數(shù)．1．在對16和12求最大合約數(shù)時(shí)，整個(gè)操作以下:16－12＝4,12－4＝8，8－4＝4。由此可以看出12和16的最大合約數(shù)是（)A．4B．12C．16D．8[依照更相減損術(shù)的方法判斷．］2．以下有可能是4進(jìn)制數(shù)的是（)A．5123B．6542C．3103D．4312C[4進(jìn)制中逢4進(jìn)1,每位上的數(shù)字必然小于4。］3．已知多項(xiàng)式f（x）＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－錯(cuò)誤!，用秦九韶算法求f（－2)等于(）-3-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A．－錯(cuò)誤!B．錯(cuò)誤!C．錯(cuò)誤!D．－錯(cuò)誤!A[∵f(x)＝(((（4x＋3）x＋2)x－1)x－1）x－錯(cuò)誤!,f(－2)＝－錯(cuò)誤!。]4．利用輾轉(zhuǎn)相除法求3869與6497的最大合約數(shù)時(shí)，第二步是________3869＝2628×11＋241［第一步應(yīng)為6497＝3869×12＋628；第二步應(yīng)為3869＝2628×11＋241。］求最大合約數(shù)【例1】求228與1995的最大合約數(shù)．思路點(diǎn)撥：求兩個(gè)正整數(shù)的最大合約數(shù)可以用輾轉(zhuǎn)相除法,也可以用更相減損術(shù)．［解]法一:(輾轉(zhuǎn)相除法）1995＝8×228＋171,228＝1×171＋57，171＝3×57，所以228與1995的最大合約數(shù)為57.法二：(更相減損術(shù))1995－228＝1767，1767－228＝1539，1539－228＝1311，1311－228＝1083，-4-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1083－228＝855,855－228＝627，627－228＝399，399－228＝171，228－171＝57,171－57＝114，114－57＝57.所以228與1995的最大合約數(shù)為57.求最大合約數(shù)的兩種方法1利用輾轉(zhuǎn)相除法求給定的兩個(gè)數(shù)的最大合約數(shù),即利用帶余除法，用數(shù)對中較大的數(shù)除以較小的數(shù),若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的數(shù)對，再利用帶余除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)的較小數(shù)就是原來兩個(gè)數(shù)的最大合約數(shù).利用更相減損術(shù)求兩個(gè)正整數(shù)的最大合約數(shù)的一般步驟是：第一步判斷兩個(gè)正整數(shù)可否都是偶數(shù),若是，用2約簡,也可以不除以2，直接求最大合約數(shù),這樣不影響最后結(jié)果。第二步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較,并以大數(shù)減小數(shù)，連續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止,則這個(gè)數(shù)等數(shù)或這個(gè)數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大合約數(shù)。錯(cuò)誤!-5-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1．用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求1515與600的最大合約數(shù)，需要運(yùn)算的次數(shù)分別為( )A．4,15B．5,14C．5,13D．4，12B［輾轉(zhuǎn)相除法:1515＝600×2＋315；600＝315×1＋285,315＝285×1＋30，285＝30×9＋15,30＝15×2，故最大合約數(shù)為15,且需計(jì)算5次．用更相減損術(shù)：1515－600＝915，915－600＝315，600－315＝285,315－285＝30，285－30＝255,255－30＝225,225－30＝195，19530＝165,165－30＝135，135－30＝105，105－30＝75，75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15。故最大合約數(shù)為15，且需計(jì)算14次．]秦九韶算法【例2】已知一個(gè)5次多項(xiàng)式為f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2。6x21.7x－0。8，用秦九韶算法求這個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)x＝5時(shí)的值．思路點(diǎn)撥：可依照秦九韶算法的原理,將所給的多項(xiàng)式改寫，然后由內(nèi)到外逐次計(jì)算．［解］將f（x)改寫為f（x)＝（(（（4x＋2)x＋3。5)x－2.6）x1.7)x－0.8，-6-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精由內(nèi)向外依次計(jì)算一次多項(xiàng)式，當(dāng)x＝5時(shí)的值：v0＝4；v1＝4×5＋2＝22;v2＝22×5＋3。5＝113.5；v3＝113。5×5－2.6＝564。9；v4＝564.9×51＋.7＝2826。2；v5＝2826.2×05.8－＝14130.2。所以當(dāng)x＝5時(shí),多項(xiàng)式的值等于14130.2。]利用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值的步驟錯(cuò)誤!2．用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式f（x）＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4時(shí)，v3的值為（)A．－144B．－136C．－57D．34B［依照秦九韶算法多項(xiàng)式可化為f(x)＝((((（3x＋5)x＋6)x＋0）-7-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精x－8)x＋35）x＋12。由內(nèi)向外計(jì)算v0＝3;v1＝3×（－4）＋5＝－7；v2＝－7×（－4）＋6＝34；v3＝34×（－4）＋0＝－136.］進(jìn)位制及其轉(zhuǎn)變［研究問題］1．?dāng)?shù)學(xué)上平時(shí)使用什么進(jìn)位制?它的原理是什么？[提示］十進(jìn)制十進(jìn)制的原理是滿十進(jìn)一．一個(gè)十進(jìn)制正整數(shù)N可以寫成nn－110an·10＋an－1·10＋＋a1·10＋a0·10的形式，其中an,an－1，,a1，a0都是0至9中的數(shù)字,且an≠0.2比方365＝3×10＋6×10＋5。2．你還知道哪些進(jìn)位制？它們與目前我們使用的進(jìn)位制數(shù)之間可否轉(zhuǎn)變？[提示］（1)二進(jìn)制使用0和1這兩個(gè)數(shù)字，基數(shù)為2.(2）八進(jìn)制使用0，1,2，3，4，5，6，7這八個(gè)數(shù)字，基數(shù)為8.（3）十六進(jìn)制使用0，1,2,3,4，5,6，7,8，9，A，B，C，D，E，-8-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精F這十六個(gè)符號，基數(shù)為16.其中A，B,C，D,E,F分別相當(dāng)于十進(jìn)制中的10，11,12,13，14,15.它們與十進(jìn)位制數(shù)之間可以轉(zhuǎn)變，兩個(gè)非十進(jìn)制數(shù)之間也可以以十進(jìn)制作“橋梁”，進(jìn)行相互轉(zhuǎn)變．3．不同樣的進(jìn)位制數(shù)如何區(qū)分？［提示］一般地，k進(jìn)制數(shù)的原理是滿k進(jìn)一,k進(jìn)制數(shù)一般在右下角處注明(k)，以示差異．比方270(8)表示270是一個(gè)8進(jìn)制數(shù)．但十進(jìn)制一般省略不寫．【例3】以下四個(gè)數(shù)中,最大的是(）A．11011（2)B．103（4)C．44(5)D．25思路點(diǎn)撥：先將各數(shù)都轉(zhuǎn)變成十進(jìn)制數(shù),再比較大?。?＋3210A[11011(2)＝1×21×2＋0×2＋1×2＋1×2＝27，210＝410103（4）＝1×4＋0×4＋3×4＝19,445）×5＋4×5＝24.（27＞25＞24＞19，∴最大數(shù)是11011（2）．］1．（變條件)210（6）化成十進(jìn)制數(shù)為________．278［210（6）＝2×6＋1×6＝78.-9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精］2．(變結(jié)論）把1234（5）化成七進(jìn)制數(shù)為________．）［∵(5)＝13223140。而×5＋×5＋×5＋×5＝365(712341941234（5)＝194＝365（7)]進(jìn)位制的變換方法(1）要把k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)，第一把k進(jìn)制數(shù)表示成不同樣位上數(shù)字與k的冪的乘積之和，其次依照十進(jìn)制的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算和．(2)十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)（除k取余法)的步驟1．求兩個(gè)正整數(shù)的最大合約數(shù)的問題，可以用輾轉(zhuǎn)相除法,也可以用更相減損術(shù)．用輾轉(zhuǎn)相除法,即依照a＝nb＋r這個(gè)式子，屢次-10-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精相除，直到r＝0為止；用更相減損術(shù)，即依照r＝｜a－b|這個(gè)式子，屢次相減,直到r＝0為止．2．秦九韶算法的重點(diǎn)在于把n次多項(xiàng)式轉(zhuǎn)變成一次多項(xiàng)式,注意領(lǐng)悟遞推的實(shí)現(xiàn)過程，推行運(yùn)算時(shí)要由內(nèi)向外，一步一步執(zhí)行．3．把一個(gè)非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)變成另一種非十進(jìn)制數(shù)，平時(shí)是把這個(gè)數(shù)先轉(zhuǎn)變成十進(jìn)制數(shù)，爾后再利用除k取余法，把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)變成k進(jìn)制數(shù)．而在使用除k取余法時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：(1)必定除到所得的商是0為止;（2）各步所得的余數(shù)必定從下到上排列;(3)切記在所求數(shù)的右下角注明基數(shù)．1．判斷以下結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×")（1)用輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)都可以求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)．(）(2）秦九韶算法的優(yōu)點(diǎn)是減少了乘法運(yùn)算的次數(shù)，提升了運(yùn)算效率．(）(3)不同樣進(jìn)位制中,十進(jìn)制的數(shù)比二進(jìn)制的數(shù)大．[答案］(1)√（2）√(3）×2．用輾轉(zhuǎn)相除法求72與120的最大合約數(shù)時(shí),需要做除法次數(shù)為(）-11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A．4B．3C．5D．6B[120＝72×1＋48，72＝48×1＋24,48＝24×2.］3．將八進(jìn)制數(shù)123(8）化為十進(jìn)制數(shù)，結(jié)果為________．21083[1×8＋2×8＋3×8＝64＋16＋3＝83.]4．用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x）＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，當(dāng)x＝時(shí)的值．[解］依照秦九韶算法，把多項(xiàng)式