排列與組合、二項(xiàng)式定理(理)

考點(diǎn)31排列與組合、二項(xiàng)式定理（理）【考點(diǎn)分類】熱點(diǎn)一排列與組合1.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（山東卷）理】用十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.2.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試福建卷理】滿足，且關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為（）A.14B.13C.12D.103.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）理科】從這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為，共可得到的不同值的個(gè)數(shù)是（）（A）（B）（C）（D）4.(2012年高考新課標(biāo)全國(guó)卷理科2)將名教師，名學(xué)生分成個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由名教師和名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（） 種種 種 種5.(2012年高考北京卷理科6)從0，2中選一個(gè)數(shù)字.從1.3.5中選兩個(gè)數(shù)字,組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.24B.18C.12D.66．(2012年高考浙江卷理科6)若從1，2，2，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有（）A．60種B．63種C．65種D．66種7.(2012年高考山東卷理科11)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這些卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為（）（A）232(B)252(C)472(D)484【答案】C8.(2012年高考遼寧卷理科5)一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為（）(A)3×3！(B)3×(3！)3(C)(3！)4(D)9！6.(2012年高考安徽卷理科10)6位同學(xué)在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品，已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，則收到份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為（）或或或或7.(2012年高考陜西卷理科8)兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人輸贏局次的不同視為不同情形）共有（）（A）10種（B）15種（C）20種（D）30種則所有可能出現(xiàn)的情況共20種，故選C.8.(2012年高考全國(guó)卷理科11)將字母a,a,b,b,c,c,排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有（）（A）12種（B）18種（C）24種（D）36種9.(2012年高考四川卷理科11)方程中的，且互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（）A、60條B、62條C、71條D、80條綜上，共有23+23+16=62種.10.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）理】將序號(hào)分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少一張，如果分給同一人的兩張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是.種，故不同的分法種數(shù)是種.11.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)浙江理】將六個(gè)字母排成一排，且均在的同側(cè)，則不同的排法共有________種（用數(shù)字作答）.12.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題大綱全國(guó)理科】6個(gè)人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有種.（用數(shù)字作答）【方法總結(jié)】解排列組合的應(yīng)用題要注意以下幾點(diǎn)(1)仔細(xì)審題，判斷是排列問題還是組合問題；要按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程進(jìn)行分步．(2)深入分析，嚴(yán)密周詳，注意分清是乘還是加，要防止重復(fù)和遺漏，辨證思維，多角度分析，全面考慮．(3)對(duì)限制條件較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，要周密分析，設(shè)計(jì)出合理的方案，把復(fù)雜問題分解成若干簡(jiǎn)單的基本問題后用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理來解決．(4)由于排列組合問題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗(yàn)證，因此在檢查結(jié)果時(shí)，應(yīng)著重檢查所設(shè)計(jì)的解決方案是否完備，有無(wú)重復(fù)和遺漏，也可采用多種不同的方法求解，看看結(jié)果是否相同．在對(duì)排列組合問題分類時(shí)，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏或重復(fù)．熱點(diǎn)二二項(xiàng)式定理13.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷）理科】使得()A．B．C．D．14.【2013年全國(guó)高考新課標(biāo)（I）理科】設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a=7b，則A、5 B、6QUOTE C、7 D、815.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（陜西卷）理】設(shè)函數(shù),則當(dāng)x>0時(shí),表達(dá)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（） (A)－20 (B)20 (C)－15 (D)1516.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題大綱全國(guó)理科】的展開式中的系數(shù)是（）A．56B．84C【答案】D17.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題新課標(biāo)Ⅱ數(shù)學(xué)（理）卷】已知的展開式中的系數(shù)為5，則=（）（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-118.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(江西卷)理】展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．80 B.-80 C.40 D.-4019.(2012年高考安徽卷理科7)的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（）20.(2012年高考湖北卷理科5)設(shè)a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，則a=()A.0B.1C.11D.1221.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（上海卷）理】設(shè)常數(shù)，若的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，則.22.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)浙江理】設(shè)二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則________.23.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）理科】二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是____________.（用數(shù)字作答）24.(2012年高考福建卷理科11)的展開式中的系數(shù)等于8，則實(shí)數(shù)_________.25.(2012年高考湖南卷理科13)(-)6的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）所以二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.26.(2012年高考全國(guó)卷理科15)若的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)為.【方法總結(jié)】1．二項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)(1)二項(xiàng)式的展開式共有n＋1項(xiàng)，Ceq\o\al(k,n)an－kbk是第k＋1項(xiàng)．即k＋1是項(xiàng)數(shù)，Ceq\o\al(k,n)an－kbk是項(xiàng)．(2)通項(xiàng)是Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk(k＝0,1,2，…，n)．其中含有Tk＋1，a，b，n，k五個(gè)元素，只要知道其中四個(gè)即可求第五個(gè)元素．2．二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，最小值要根據(jù)n的奇偶性確定同時(shí)注意二項(xiàng)式系數(shù)最大時(shí)該項(xiàng)的系數(shù)不一定最大，還要取決于a、b的系數(shù)．【考點(diǎn)剖析】一．明確要求1.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．2.能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.3.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理4.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題二．命題方向以實(shí)際問題為背景考查排列、組合的應(yīng)用，同時(shí)考查分類討論的思想．以選擇題或填空題的形式考查，或在解答題中和概率相結(jié)合進(jìn)行考查.二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)等是高考的熱點(diǎn)．常以選擇題、填空題的形式考查.三．規(guī)律總結(jié)一個(gè)區(qū)別排列與組合，排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無(wú)序”．取出元素后交換順序，如果與順序有關(guān)是排列，如果與順序無(wú)關(guān)即是組合．兩個(gè)公式(1)排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)(2)組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)利用這兩個(gè)公式可計(jì)算排列問題中的排列數(shù)和組合問題中的組合數(shù)．①解決排列組合問題可遵循“先組合后排列”的原則，區(qū)分排列組合問題主要是判斷“有序”和“無(wú)序”，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法無(wú)序，關(guān)鍵是在計(jì)算中體現(xiàn)“有序”和“無(wú)序”．②要能夠?qū)懗鏊蟹蠗l件的排列或組合，盡可能使寫出的排列或組合與計(jì)算的排列數(shù)相符，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，這樣既可以加深對(duì)問題的理解，檢驗(yàn)算法的正確與否，又可以對(duì)排列數(shù)或組合數(shù)較小的問題的解決起到事半功倍的效果．四字口訣求解排列組合問題的思路：“排組分清，加乘明確；有序排列，無(wú)序組合；分類相加，分步相乘．”一個(gè)防范運(yùn)用二項(xiàng)式定理一定要牢記通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，注意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項(xiàng)時(shí)是不同的，一定要注意順序問題，另外二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的(字母)系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者只指Ceq\o\al(r,n)，而后者是字母外的部分．前者只與n和r有關(guān)，恒為正，后者還與a，b有關(guān)，可正可負(fù)．一個(gè)定理二項(xiàng)式定理可利用數(shù)學(xué)歸納法證明，也可根據(jù)次數(shù)，項(xiàng)數(shù)和系數(shù)利用排列組合的知識(shí)推導(dǎo)二項(xiàng)式定理．因此二項(xiàng)式定理是排列組合知識(shí)的發(fā)展和延續(xù)．兩種應(yīng)用(1)通項(xiàng)的應(yīng)用：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可求指定的項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)等．(2)展開式的應(yīng)用：利用展開式①可證明與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的等式；②可證明不等式；③可證明整除問題；④可做近似計(jì)算等．三條性質(zhì)(1)對(duì)稱性；(2)增減性；(3)各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和；以上性質(zhì)可通過觀察楊輝三角進(jìn)行歸納總結(jié)．【考點(diǎn)模擬】一．扎實(shí)基礎(chǔ)1.【山東省濟(jì)南市2013屆高三高考第一次模擬考試】二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（）A．28B．-7C．7D．-282.【北京市順義區(qū)2013屆高三第一次統(tǒng)練】從0,1中選一個(gè)數(shù)字,從2,4,6中選兩個(gè)數(shù)字,組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.36 B.30C.24 D.123.【東北三省三校2013屆高三3月第一次聯(lián)合模擬考試】若的展開式中第四項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則（） A．4 B．5 C．6 D4.【江西省南昌市2013屆二模考試】將5名學(xué)生分到A,B,C三個(gè)宿舍，每個(gè)宿舍至少1人至多2人，其中學(xué)生甲不到A宿舍的不同分法有（）A.18種B.36種C.48種D.60種5.【安徽省江淮名校2013屆高考最后一卷理科數(shù)學(xué)】在的展開式中，的系數(shù)是（）A．-25B．45C6.【廣西百所高中2013屆高三年級(jí)第三屆聯(lián)考】從5位男生，4位女生中選派4位代表參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中至少有兩位男生，且至少有1位女生的選法共有 （） A．80種 B．100種 C．120種 D．240種7.【北京市順義區(qū)2013屆高三第一次統(tǒng)練】從0,1中選一個(gè)數(shù)字,從2,4,6中選兩個(gè)數(shù)字,組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為A.36 B.30C.24 D.12【2013年?yáng)|北三省四市教研協(xié)作體等值診斷聯(lián)合考試長(zhǎng)春三?！?.【石室中學(xué)高2013級(jí)“一診模擬”】反復(fù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，每一次拋擲后都記錄下朝上一面的點(diǎn)數(shù)，當(dāng)記錄有三個(gè)不同點(diǎn)數(shù)時(shí)即停止拋擲，則拋擲五次后恰好停止拋擲的不同記錄結(jié)果總數(shù)是（）（A）種（B）種（C）種（D）種9.用1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)字之間的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_____________.10.【浙江省寧波市2013年高考模擬押題試卷】的展開式的常數(shù)項(xiàng)是．二．能力拔高11.【山東省濱州市2013屆高三第一次模擬】2013年第12屆全國(guó)運(yùn)動(dòng)會(huì)將在沈陽(yáng)舉行，某校4名大學(xué)生申請(qǐng)當(dāng)A，B，C三個(gè)比賽項(xiàng)目的志愿者，組委會(huì)接受了他們的申請(qǐng)，每個(gè)比賽項(xiàng)目至少分配一人，每人只能服務(wù)一個(gè)比賽項(xiàng)目，若甲要求不去服務(wù)A比賽項(xiàng)目，則不同的安排方案共有（）（A）20種 （B）24種 （C）30種 （D）36種【答案】B12.【2013屆貴州天柱民中、錦屏中學(xué)、黎平一中、黃平民中四校聯(lián)考】將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同的分法的種數(shù)為（）A.24種B.30種C.36種D.81種13.【2013河北省名校名師俱樂部高三3月模擬考試】若，則的常數(shù)項(xiàng)為（）A．B．12C．D．14.【東北三省三校2013屆高三3月第一次聯(lián)合模擬考試】將4名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，若每班至少名教師，則不同的分配方案的種數(shù)為（） A．12B．36C．72 D15.【2013年天津市濱海新區(qū)五所重點(diǎn)學(xué)校高三畢業(yè)班聯(lián)考】若展開式中的系數(shù)為，則的值為（）A.B.C.D.16.【2013年烏魯木齊地區(qū)高三年級(jí)第三次診斷性測(cè)驗(yàn)試卷】現(xiàn)有2門不同的考試要安排在連續(xù)的5天之內(nèi)進(jìn)行，每天最多考一門，且不能連續(xù)兩天有考試,則不同的安排方案有()A.6種 B.8種 C.12種 D.16種17.【成都龍泉驛區(qū)2013屆5月高三數(shù)學(xué)押題試卷】二項(xiàng)式的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A．180 B．90C．45 D．36019.【浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)2013年高三考前模擬】給圖中A、B、C、D、E、F六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色．若有4種顏色可供選擇，則共有種不同的染色方案．【答案】9620.【江西省臨川二中2013屆高三12月月考】已知，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為。三．提升自我21.【山東省濰坊市2013屆高三第二次模擬考試】設(shè)，則二項(xiàng)式展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為（）A．-20B．20