空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,高考?xì)v年真題

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D.【解析】選C.令則,連∥異面直線與所成的角即與所成的角。在中由余弦定理易得.4.（2009江西高考）如圖，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為（）..∥截面..異面直線與所成的角為【解析】選.由∥，∥，⊥可得⊥，故正確；由∥可得∥截面，故正確；異面直線與所成的角等于與所成的角，故正確；綜上是錯(cuò)誤的.5.（2009四川高考）如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，，則下列結(jié)論正確的是（）Ａ.Ｂ.平面w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC.直線∥平面Ｄ.【解析】選D.方法一：由三垂線定理，因AD與AB不相互垂直，排除A；作于，因面面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB與BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜線，故排除C，故選擇D。方法二：設(shè)底面正六邊形邊長為，則，由平面可知，又=，所以在中有直線與平面所成的角為，故應(yīng)選D。6.（2009上海高考）如圖，若正四棱柱的底面邊長為2，高為4，則異面直線與AD所成角的大小是______________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）.【解析】因?yàn)锳D∥A1D1，異面直線BD1與AD所成角就是BD1與A1D1所成角，即∠A1D1B，由勾股定理，得A1B＝2，tan∠A1D1B＝，所以∠A1D1B＝。答案:7.（2009四川高考）如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的大小是。邊【解析】方法一：不妨設(shè)棱長為2，選擇基向量，則，故填寫。方法二：取BC中點(diǎn)N，連結(jié)，則面，∴是在面上的射影，由幾何知識(shí)知，由三垂線定理得，故填寫。答案:.8.（2009上海高考）如圖，在直三棱柱中，,,求二面角的大小。【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系則A（2，0，0）、C（0，2，0）A1（2，0，2），B1（0，0，2）、C1（0，2，2）……2分設(shè)AC的中點(diǎn)為M，∵BM⊥AC,BM⊥CC1;∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一個(gè)法向量?！?分設(shè)平面的一個(gè)法向量是=（-2，2，-2），=（-2，0，0）7分設(shè)法向量的夾角為，二面角的大小為，顯然為銳角…….14分9.（2009福建高考）如圖，平行四邊形中，，將沿折起到的位置，使平面平面（I）求證：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）求三棱錐的側(cè)面積?！窘馕觥浚↖）證明：在中，又平面平面平面平面平面平面平面（Ⅱ）由（I）知從而在中，又平面平面平面平面平面而平面綜上，三棱錐的側(cè)面積10.（2009天津高考）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD(I)求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II)證明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】方法一：（Ⅰ）由題設(shè)知，BF//CE，所以∠CED（或其補(bǔ)角）為異面直線BF與DE所成的角。設(shè)P為AD的中點(diǎn)，連結(jié)EP，PC。因?yàn)镕EAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD內(nèi),故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD設(shè)FA=a，則EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°（=2\*ROMANII）因?yàn)椋?3\*ROMANIII）（=3\*ROMANIII）由（=1\*ROMANI）可得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m方法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得（=1\*ROMANI）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m所以異面直線與所成的角的大小為.（=2\*ROMANII），w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（=3\*ROMANIII）w又由題設(shè)，平面的一個(gè)法向量為11.（2009全國Ⅰ）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點(diǎn)M在側(cè)棱上，=60°（I）證明：M在側(cè)棱的中點(diǎn)（II）求二面角的大小?！窘馕觥浚↖）方法一：作∥交于N，作交于E，連ME、NB，則面，,設(shè)，則,在中，。在中由解得，從而M為側(cè)棱的中點(diǎn)M.12.（2009福建高考）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，，，且MD=NB=1，E為BC的中點(diǎn)求異面直線NE與AM所成角的余弦值在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由.【解析】（1）在如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系依題意，得。，所以異面直線與所成角的余弦值為.（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面.,可設(shè)又.由平面，得即故，此時(shí).經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，平面.故線段上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí).2008年考題ABCDA1B1C1D11、（2008福建高考）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1ABCDA1B1C1D1A. B. C. D.ABCDA1B1C1D1O【解析】選D.連與交于O點(diǎn),再連BO,則為BC1ABCDA1B1C1D1O，，.ABCDA1B1C1D12、（2008福建高考）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1BABCDA1B1C1D1A．EQ\F(2EQ\R(,2),3)B．EQ\F(2,3)C．EQ\F(EQ\R(,2),4)D．EQ\F(1,3)【解析】選D.連,則為AC1與平面A1B1C1D1所成角ABCDABCDA1B1C1D1ABCDP3、（2008海南、寧夏高考）如圖，已知點(diǎn)P在正方體的對角線上，ABCDP（Ⅰ）求DP與所成角的大??；（Ⅱ）求DP與平面所成角的大小．【解析】如圖，以為原點(diǎn)，為單位長建立空間直角坐標(biāo)系．ABCDPxyzH則ABCDPxyzH在平面中，延長交于．設(shè)，由已知，由可得．解得，所以．（Ⅰ）因?yàn)?，所以．即與所成的角為．（Ⅱ）平面的一個(gè)法向量是．因?yàn)椋裕傻门c平面所成的角為．FCPGEABD4、（2008廣東高考）如圖所示，四棱錐的底面是半徑為的圓的內(nèi)接四邊形，其中是圓的直徑，，，垂直底面，，分別是上的點(diǎn)，且，過點(diǎn)作的平行線交于．FCPGEABD（1）求與平面所成角的正弦值；（2）證明：是直角三角形；（3）當(dāng)時(shí)，求的面積．【解析】（1）在中，，而PD垂直底面ABCD，,在中，,即為以為直角的直角三角形。設(shè)點(diǎn)到面的距離為,由有,即，∴;(2),而,即,，,是直角三角形；（3）時(shí),,即,的面積5、（2008浙江高考）如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，，，（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）當(dāng)?shù)拈L為何值時(shí),二面角的大小為.【解析】（Ⅰ）過點(diǎn)作交于，連結(jié)，可得四邊形為矩形，又為矩形，所以，從而四邊形為平行四邊形，故．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．（Ⅱ）過點(diǎn)作交的延長線于，連結(jié)．由平面平面，，得平面，從而．所以為二面角的平面角．DABEFCHGDABEFCHG所以，．又因?yàn)椋?，從而．于是．因?yàn)?，所以?dāng)為時(shí)，二面角的大小為．6、（2008陜西高考）三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，，平面，，，，，．A1AC1BA1AC1B1BDC（Ⅱ）求二面角的大小．【解析】（Ⅰ）平面平面，．在中，，，，又，，，即．A1AC1B1BA1AC1B1BDCFE（）平面，平面平面．（Ⅱ）如圖，作交于點(diǎn)，連接，由已知得平面．是在面內(nèi)的射影．由三垂線定理知，為二面角的平面角．過作交于點(diǎn)，則，，．在中，．在中，．，即二面角大小為．ABCDEA1B1C1D17、（2008ABCDEA1B1C1D1（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的大?。窘馕觥恳李}設(shè)，，．（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)，則．由三垂線定理知．ABCDEA1B1CABCDEA1B1C1D1FHG由于，故，∴，∴與互余．于是．與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，所以平面．（Ⅱ）作，垂足為，連結(jié)．由三垂線定理知，故是二面角的平面角．∵，又，．∴，．又，．．所以二面角的大小為．2007年考題1．（2007全國Ⅰ）如圖，正棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【解析】選D。如圖，連接BC1，A1C1，∠A1BC1是異面直線與所成的角，設(shè)AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∴∠A1BC1的余弦值為.2.（2007全國Ⅱ）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1與AB1所成角的正弦值等于（）(A) (B) (C) (D)【解析】選A。已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，取A1C1的中點(diǎn)D1，連接B1D，AD1，則∠B1AD1是AB1與側(cè)面ACC1A1所成的角，.3.（2007全國Ⅱ）已知三棱錐是側(cè)棱長的底面邊長的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于（）A． B． C． D．【解析】選A。已知三棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的2倍，設(shè)底面邊長為1，側(cè)棱長為2，連接頂點(diǎn)與底面中心，則側(cè)棱在底面上的射影長為，所以側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于.4.（2007福建高考）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、AB、BB1、B1C1的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成的角等于（）A.45° B.60° C.90° D.120°【解析】選B.連A1B、BC1、A1C1，則A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以異面直線EF與GH所成的角等于60°.5.（2007四川高考）如圖，為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）（A）平面（B）（C）平面（D）異面直線與所成的角為【解析】選D．顯然異面直線與所成的角為。6.（2007浙江高考）已知點(diǎn)在二面角的棱上，點(diǎn)在內(nèi)，且．若對于內(nèi)異于的任意一點(diǎn)，都有，則二面角的大小是 ．【解析】設(shè)直線OP與平面所成的角為,由最小角原理及恒成立知,只有作于H,則面,故為.答案：7.(2007浙江高考)已知點(diǎn)O在二面角α－AB－β的棱上，點(diǎn)P在α內(nèi)，且∠POB＝45°．若對于β內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α－AB－β的取值范圍是_________．【解析】若二面角α－AB－β的大小為銳角，則過點(diǎn)P向平面作垂線,設(shè)垂足為H.過H作AB的垂線交于C,連PC、CH、OH，則就是所求二面角的平面角.根據(jù)題意得，由于對于β內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有∠POQ≥45°，∴，設(shè)PO=，則又∵∠POB＝45°，∴OC=PC=，∵PC≤PH而在中應(yīng)有PC>PH,∴顯然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能為銳角。即二面角的范圍是。若二面角α－AB－β的大小為直角或鈍角，則由于∠POB＝45°，結(jié)合圖形容易判斷對于β內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有∠POQ≥45°。即二面角的范圍是。答案：8.（2007海南、寧夏高考）如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，，為中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【解析】（Ⅰ）證明：由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而．所以為直角三角形，．又．所以平面．（Ⅱ）解法一：取中點(diǎn)，連結(jié)，由（Ⅰ）知，得．為二面角的平面角．由得平面．所以，又，故．所以二面角的余弦值為．解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別為軸、軸,軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則．的中點(diǎn)，．．故等于二面角的平面角．，所以二面角的余弦值為．9．（2007全國Ⅰ）四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝。(Ⅰ)證明：SA⊥BC；(Ⅱ)求直線SD與平面SAB所成角的大小；【解析】解法一：（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面．因?yàn)?，所以，又，故為等腰直角三角形，，DBCADBCAS（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依題設(shè)，故，由，，，得，．的面積．連結(jié)，得的面積設(shè)到平面的距離為，由于，得，解得．設(shè)與平面所成角為，則．所以，直線與平面所成的我為．解法二：（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面．因?yàn)?，所以．又，為等腰直角三角形，．DBCAS如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，OB為y軸正向，OS為z軸正向，建立直角坐標(biāo)系，DBCAS，，，，，，，所以．（Ⅱ）取中點(diǎn)，，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，．，，．，，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直．所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余．，．，，所以，直線與平面所成的角為．10.（2007全國Ⅱ）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點(diǎn)。ABCDSEF(ⅠABCDSEF(Ⅱ)設(shè)SD=2CD，求二面角A－