離散型隨機(jī)變量的分布列章末綜合

離散型隨機(jī)變量的分布列專題訓(xùn)練1X012Peq\f(1,4)1－qX012Peq\f(1,4)1－qq22．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布ξ～B(6，eq\f(1,2))，則P(ξ≤3)等于()A.eq\f(11,32)B.eq\f(7,32)C.eq\f(21,32) D.eq\f(7,64)3．已知ξ～B(n，eq\f(1,2))，η～B(n，eq\f(1,3))，且E(ξ)＝15，則E(η)等于()A．5B．10C．15 D．204．(2015·臨沂高二檢測)某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，遇到紅燈時停留的時間都是2min，則這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間Y的期望為()A.eq\f(1,3)B．1C.eq\f(4,3) D.eq\f(8,3)5．設(shè)X～B(4，p)，且P(X＝2)＝eq\f(8,27)，那么一次試驗(yàn)成功的概率p等于．6．把一枚硬幣投擲兩次，事件A＝{第一次出現(xiàn)正面}，B＝{第二次出現(xiàn)正面}，則P(B|A)=。7．某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6 D．0.48．從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)9．(2015·高考全國卷Ⅰ)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為()A．0.648B．0.432C．0.36 D．0.31210．考慮恰有兩個小孩的家庭．若已知某家有男孩，求這家有兩個男孩的概率；若已知某家第一個是男孩，求這家有兩個男孩(相當(dāng)于第二個也是男孩)的概率(假定生男生女為等可能)．11、袋中有4個紅球，3個白球，從袋中隨機(jī)取出4個球．設(shè)取出一個紅球得2分，取出一個白球得1分，試求得分X的均值．12、在一次購物抽獎活動中，假設(shè)10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品．(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分布列；(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張，①求顧客乙中獎的概率；②設(shè)顧客乙獲得的獎品總價值為Y元，求Y的分布列．13、現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答．(1)求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率；(2)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．設(shè)張同學(xué)答對每道甲類題的概率都是eq\f(3,5)，答對每道乙類題的概率都是eq\f(4,5)，且各題答對與否相互獨(dú)立．用X表示張同學(xué)答對題的個數(shù)，求X為1和3的概率．14、某班甲、乙、丙三名同學(xué)競選班委，甲當(dāng)選的概率為eq\f(4,5)，乙當(dāng)選的概率為eq\f(3,5)，丙當(dāng)選的概率為eq\f(7,10).求：①恰有一名同學(xué)當(dāng)選的概率；②至多兩人當(dāng)選的概率．離散型隨機(jī)變量的分布列專題訓(xùn)練21、某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%，計算：(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第2位)①“5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確”的概率；②“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的概率．2、在一次數(shù)學(xué)考試中，第14題和第15題為選做題．規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題．設(shè)4名考生選做每道題的可能性均為eq\f(1,2)，且各人的選擇相互之間沒有影響．(1)求其中甲、乙2名考生選做同一道題的概率；(2)設(shè)這4名考生中選做第15題的人數(shù)為ξ名，求ξ的分布列．5、(2014·高考四川卷節(jié)選)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－200分)．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為eq\f(1,2)，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立．①設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列．②玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？6、甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是eq\f(1,2)外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是eq\f(2,3).假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)分別求甲隊(duì)以3∶0，3∶1，3∶2勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分，對方得1分．求乙隊(duì)得分X的分布列．7、(2015·高考天津卷)為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊(duì)參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運(yùn)動員5名，其中種子選手3名．從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽．①設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；②設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．離散型隨機(jī)變量的分布列專題訓(xùn)練31、某廣場上有4盞裝飾燈，晚上每盞燈都隨機(jī)地閃爍紅燈或綠燈，每盞燈出現(xiàn)紅燈的概率都是eq\f(2,3)，出現(xiàn)綠燈的概率都是eq\f(1,3).記這4盞燈中出現(xiàn)紅燈的數(shù)量為ξ，當(dāng)這4盞裝飾燈閃爍一次時：①求ξ＝2時的概率；②求ξ的數(shù)學(xué)期望．2、(2014·高考湖南卷)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,5).現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤100萬元．求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望．3．(2015·高考重慶卷)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗．設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個．(1)求三種粽子各取到1個的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．INCLUDEPICTURE"../Documents/例2.TIF"4、一出租車司機(jī)從某飯店到火車站途中有六個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率是eq\f(1,3)。(1)求這位司機(jī)遇到紅燈數(shù)ξ的期望與方差；(2)若遇上紅燈，則需等待30s，求司機(jī)總共等待時間η的期望與方差．5、如圖是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的均值和方差．6、設(shè)X～N(1，22)，試求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5；（3）P(X≥5)．2．1.2離散型隨機(jī)變量的分布列2．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下，求則q的值為。X012Peq\f(1,4)1－qq2在一次購物抽獎活動中，假設(shè)10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品．(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分布列；(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張，①求顧客乙中獎的概率；②設(shè)顧客乙獲得的獎品總價值為Y元，求Y的分布列．[解](1)抽獎一次，只有中獎和不中獎兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況．P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(1,10))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，則P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).因此X的分布列為X01Peq\f(3,5)eq\f(2,5)(2)①顧客乙中獎可分為互斥的兩類事件：所抽取的2張獎券中有1張中獎或2張都中獎．故所求概率P＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(0,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(30,45)＝eq\f(2,3).②Y的所有可能取值為0，10，20，50，60，且P(Y＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3)，P(Y＝10)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(18,45)＝eq\f(2,5)，P(Y＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(0,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15)，P(Y＝50)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(6,45)＝eq\f(2,15)，P(Y＝60)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15).因此隨機(jī)變量Y的分布列為Y010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)(本題滿分12分)(2014·高考天津卷節(jié)選)某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同)．(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列．[解](1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(0,3)·Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).所以，選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為eq\f(49,60).6分(2)隨機(jī)變量X的所有可能值為0，1，2，3.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,4)·Ceq\o\al(3－k,6),Ceq\o\al(3,10))(k＝0，1，2，3).9分所以，隨機(jī)變量X的分布列是X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)2．把一枚硬幣投擲兩次，事件A＝{第一次出現(xiàn)正面}，B＝{第二次出現(xiàn)正面}，則P(B|A)等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)答案：B1．(2014·高考課標(biāo)全國卷Ⅱ)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.45解析：選A.已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率，可根據(jù)條件概率公式，得P＝eq\f(0.6,0.75)＝0.8.2．(2015·大連檢測)從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)解析：選B.P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,2)4．考慮恰有兩個小孩的家庭．若已知某家有男孩，求這家有兩個男孩的概率；若已知某家第一個是男孩，求這家有兩個男孩(相當(dāng)于第二個也是男孩)的概率(假定生男生女為等可能)．解：Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．設(shè)B＝“有男孩”，則B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}．A＝“有兩個男孩”，則A＝{(男，男)}，B1＝“第一個是男孩”，則B1＝{(男，男)，(男，女)}于是得P(B)＝eq\f(3,4)，P(BA)＝P(A)＝eq\f(1,4)，∴P(A|B)＝eq\f(P（BA）,P（B）)＝eq\f(1,3)；P(B1)＝eq\f(1,2)，P(B1A)＝P(A)＝eq\f(1,4)，∴P(A|B1)＝eq\f(P（B1A）,P（B1）)＝eq\f(1,2).(3)某班甲、乙、丙三名同學(xué)競選班委，甲當(dāng)選的概率為eq\f(4,5)，乙當(dāng)選的概率為eq\f(3,5)，丙當(dāng)選的概率為eq\f(7,10).求：①恰有一名同學(xué)當(dāng)選的概率；②至多兩人當(dāng)選的概率．解：設(shè)甲、乙、丙當(dāng)選的事件分別為A、B和C.∴P(A)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(3,5)，P(C)＝eq\f(7,10).①因?yàn)槭录嗀，B，C相互獨(dú)立，恰有一名同學(xué)當(dāng)選的概率為P(Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))Beq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))C)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)P(eq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(C)＝eq\f(4,5)×eq\f(2,5)×eq\f(3,10)＋eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,10)＋eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(47,250).②至多有兩人當(dāng)選的概率為1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(83,125).2．2.3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布3．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布ξ～B(6，eq\f(1,2))，則P(ξ≤3)等于()A.eq\f(11,32) B.eq\f(7,32)C.eq\f(21,32) D.eq\f(7,64)答案：C4．設(shè)X～B(4，p)，且P(X＝2)＝eq\f(8,27)，那么一次試驗(yàn)成功的概率p等于________．1．(1)(2015·高考全國卷Ⅰ)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為()A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312解析：選A.3次投籃投中2次的概率為P(k＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，所以通過測試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故選A.(2)某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%，計算：(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第2位)①“5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確”的概率；②“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的概率．解：①記“預(yù)報一次準(zhǔn)確”為事件A，則P(A)＝0.8.5次預(yù)報相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．“恰有2次準(zhǔn)確”的概率為P＝Ceq\o\al(2,5)×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，因此5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確的概率約為0.05.②“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的對立事件為“5次預(yù)報全部不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”，其概率為P＝Ceq\o\al(0,5)×0.25＋Ceq\o\al(1,5)×0.8×0.24＝0.00672.所以所求概率為1－P＝1－0.00672≈0.99.所以“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的概率約為0.99.在一次數(shù)學(xué)考試中，第14題和第15題為選做題．規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題．設(shè)4名考生選做每道題的可能性均為eq\f(1,2)，且各人的選擇相互之間沒有影響．(1)求其中甲、乙2名考生選做同一道題的概率；(2)設(shè)這4名考生中選做第15題的人數(shù)為ξ名，求ξ的分布列．[解](1)設(shè)事件A表示“甲選做14題”，事件B表示“乙選做14題”，則甲、乙2名考生選做同一道題的事件為“AB＋AB”，且事件A、B相互獨(dú)立．∴P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋(1－eq\f(1,2))×(1－eq\f(1,2))＝eq\f(1,2).(2)隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4，且ξ～B(4，eq\f(1,2))．∴P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,4)(eq\f(1,2))k(1－eq\f(1,2))4－k＝Ceq\o\al(k,4)(eq\f(1,2))4(k＝0，1，2，3，4)．∴隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)(2)某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，寫出其中次品數(shù)X的概率分布列．解：依題意，隨機(jī)變量X～B(2，5%)，∴P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,2)(95%)2＝0.9025，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×5%×95%＝0.095，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,2)(5%)2＝0.0025.因此，次品數(shù)X的概率分布列是X012P0.90250.0950.0025(3)(2014·高考四川卷節(jié)選)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－200分)．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為eq\f(1,2)，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立．①設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列．②玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？解：①X可能的取值為10，20，100，－200.根據(jù)題意，有P(X＝10)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,8)，P(X＝20)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(1)＝eq\f(3,8)，P(X＝100)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(0)＝eq\f(1,8)，P(X＝－200)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,8).所以X的分布列為X1020100－200Peq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)eq\f(1,8)②設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i＝1，2，3)，則P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝eq\f(1,8).所以“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為1－P(A1A2A3)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq\s\up12(3)＝1－eq\f(1,512)＝eq\f(511,512).因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是eq\f(511,512).(本題滿分12分)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是eq\f(1,2)外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是eq\f(2,3).假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)分別求甲隊(duì)以3∶0，3∶1，3∶2勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分，對方得1分．求乙隊(duì)得分X的分布列．[解](1)記“甲隊(duì)以3∶0勝利”為事件A1，“甲隊(duì)以3∶1勝利”為事件A2，“甲隊(duì)以3∶2勝利”為事件A3，1分由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，2分P(A2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，3分P(A3)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(4,27).4分所以，甲隊(duì)以3∶0勝利、以3∶1勝利的概率都為eq\f(8,27)，以3∶2勝利的概率為eq\f(4,27).5分(2)設(shè)“乙隊(duì)以3∶2勝利”為事件A4，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以P(A4)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(4,27).6分由題意，隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0，1，2，3.7分根據(jù)事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(16,27).8分又P(X＝1)＝P(A3)＝eq\f(4,27)，9分P(X＝2)＝P(A4)＝eq\f(4,27)，10分P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝eq\f(3,27)，11分故X的分布列為X0123Peq\f(16,27)eq\f(4,27)eq\f(4,27)eq\f(3,27)袋中有4個紅球，3個白球，從袋中隨機(jī)取出4個球．設(shè)取出一個紅球得2分，取出一個白球得1分，試求得分X的均值．[解]X的所有可能取值為5，6，7，8.X＝5時，表示取出1個紅球3個白球，此時P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)；X＝6時，表示取出2個紅球2個白球，此時P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)；X＝7時，表示取出3個紅球1個白球，此時P(X＝7)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)；X＝8時，表示取出4個紅球，此時P(X＝8)＝eq\f(Ceq\o\al(4,4),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(1,35).∴X的分布列為X5678Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)∴E(X)＝5×eq\f(4,35)＋6×eq\f(18,35)＋7×eq\f(12,35)＋8×eq\f(1,35)＝eq\f(44,7).(2)(2015·高考天津卷)為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊(duì)參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運(yùn)動員5名，其中種子選手3名．從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽．①設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；②設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：①由已知，有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(6,35).所以，事件A發(fā)生的概率為eq\f(6,35).②隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，4.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,5)Ceq\o\al(4－k,3),Ceq\o\al(4,8))(k＝1，2，3，4)．所以，隨機(jī)變量X的分布列為X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×eq\f(1,14)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(3,7)＋4×eq\f(1,14)＝eq\f(5,2).(2)某廣場上有4盞裝飾燈，晚上每盞燈都隨機(jī)地閃爍紅燈或綠燈，每盞燈出現(xiàn)紅燈的概率都是eq\f(2,3)，出現(xiàn)綠燈的概率都是eq\f(1,3).記這4盞燈中出現(xiàn)紅燈的數(shù)量為ξ，當(dāng)這4盞裝飾燈閃爍一次時：①求ξ＝2時的概率；②求ξ的數(shù)學(xué)期望．解：①依題意知：ξ＝2表示4盞裝飾燈閃爍一次時，恰好有2盞燈出現(xiàn)紅燈，而每盞燈出現(xiàn)紅燈的概率都是eq\f(2,3)，故ξ＝2時的概率P＝Ceq\o\al(2,4)(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,3))2＝eq\f(8,27).②法一：ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，依題意知：P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,4)(eq\f(2,3))k·(eq\f(1,3))4－k(k＝0，1，2，3，4)．∴ξ的概率分布列為ξ01234Peq\f(1,81)eq\f(8,81)eq\f(24,81)eq\f(32,81)eq\f(16,81)∴E(ξ)＝0×eq\f(1,81)＋1×eq\f(8,81)＋2×eq\f(24,81)＋3×eq\f(32,81)＋4×eq\f(16,81)＝eq\f(8,3).法二：∵ξ服從二項(xiàng)分布，即ξ～B(4，eq\f(2,3))，∴E(ξ)＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).(本題滿分12分)(2014·高考湖南卷)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,5).現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤100萬元．求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解]記E＝{甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功}，F(xiàn)＝{乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功}．由題設(shè)知P(E)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(E,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，P(F)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,5)，且事件E與F，E與eq\o(F,\s\up6(－))，eq\o(E,\s\up6(－))與F，eq\o(E,\s\up6(－))與eq\o(F,\s\up6(－))都相互獨(dú)立.2分(1)記H＝{至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功}，則eq\o(H,\s\up6(－))＝eq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－))，于是P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝P(eq\o(E,\s\up6(－)))P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故所求的概率為P(H)＝1－P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).6分(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤為X萬元，則X的可能取值為0，100，120，220.因?yàn)镻(X＝0)＝P(eq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，7分P(X＝100)＝P(eq\o(E,\s\up6(－))F)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,15)，8分P(X＝120)＝P(Eeq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，9分P(X＝220)＝P(EF)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,15)，10分故所求的分布列為X0100120220Peq\f(2,15)eq\f(3,15)eq\f(4,15)eq\f(6,15)11分?jǐn)?shù)學(xué)期望為E(X)＝0×eq\f(2,15)＋100×eq\f(3,15)＋120×eq\f(4,15)＋220×eq\f(6,15)＝eq\f(300＋480＋1320,15)＝eq\f(2100,15)＝140.12分4．(2015·高考重慶卷)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗．設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個．(1)求三種粽子各取到1個的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個”，則由古典概型的概率計算公式有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值為0，1，2，且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).綜上知，X的分布列為X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)故E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5)(個)．2．已知ξ～B(n，eq\f(1,2))，η～B(n，eq\f(1,3))，且E(ξ)＝15，則E(η)等于()A．5 B．10C．15 D．20解析：選B.∵E(ξ)＝eq\f(1,2)n＝15，∴n＝30，∴η～B(30，eq\f(1,3))，∴E(η)＝30×eq\f(1,3)＝10.3．(2015·臨沂高二檢測)某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，遇到紅燈時停留的時間都是2min，則這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間Y的期望為()A.eq\f(1,3) B．1C.eq\f(4,3) D.eq\f(8,3)解析：選D.遇到紅燈的次數(shù)X～B(4，eq\f(1,3))．∴E(X)＝eq\f(4,3)，∴E(Y)＝E(2X)＝2×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).一出租車司機(jī)從某飯店到火車站途中有六個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率是eq\f(1,3).(1)求這位司機(jī)遇到紅燈數(shù)ξ的期望與方差；(2)若遇上紅燈，則需等待30s，求司機(jī)總共等待時間η的期望與方差．[解](1)易知司機(jī)遇上紅燈次數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布，且ξ～B(6，eq\f(1,3))，故E(ξ)＝6×eq\f(1,3)＝2，D(ξ)＝6×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(4,3).(2)由已知η＝30ξ，故E(η)＝30E(ξ)＝60(s)，D(η)＝900D(ξ)＝1200.解決此類問題的第一步是判斷隨機(jī)變量ξ服從什么分布，第二步代入相應(yīng)的公式求解．若ξ服從兩點(diǎn)分布，則D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服從二項(xiàng)分布，即ξ～B(n，p)，則D(ξ)＝np(1－p)．甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y，且X，Y的分布列如下：X123Pa0.10.6Y123P0.3b0.3(1)求a，b的值；(2)計算X，Y的期望與方差，并以此分析甲、乙技術(shù)狀況．[解](1)由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，得b＝0.4.(2)E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(Y)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋