2022-2023學(xué)年蘇教版必修第一冊 專題1.2 子集、全集與補集 學(xué)案

專題1.2子集、全集與補集考情分析二、考點梳理1．子集（1）子集的概念一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作（或），讀作“A含于B”（或“B包含A”）．用Venn圖表示AB如圖所示：（2）子集的性質(zhì)①任何一個集合是它自身的子集，即．②傳遞性，對于集合，，，如果，且，那么．2．真子集（1）子集的概念如果集合，但存在元素___________，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）．如果集合是集合的真子集，在Venn圖中，就把表示的區(qū)域畫在表示的區(qū)域的內(nèi)部．如圖所示：（2）真子集的性質(zhì)對于集合，，，如果，，那么．辨析：子集與真子集的區(qū)別：若，則或；若，則．3、空集的概念（1）．空集的概念我們把___________任何元素的集合叫做空集，記作，并規(guī)定：空集是任何集合的子集．（2）．空集的性質(zhì)（1）空集是任何集合的___________，即；（2）空集是任何非空集合的___________，即．注意：空集不含任何元素，在解題過程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問題中，往往容易因忽略空集的特殊性而導(dǎo)致漏解．【知識拓展】若有限集A中有n個元素,則集合A的子集個數(shù)為2n,真子集的個數(shù)為2n－1.2.奇數(shù)集：.4、全集與補集（1）．全集的概念一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U，是相對于所研究問題而言的一個相對概念．說明：“全集”是一個相對的概念，并不是固定不變的，它是依據(jù)具體的問題來加以選擇的．例如：我們常把實數(shù)集看作全集，而當我們在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題時，就把整數(shù)集看作全集．（2）．補集的概念對于一個集合A，由全集U中___________集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作，即．用Venn圖表示如圖所示：說明：（1）補集既是集合之間的一種關(guān)系，同時也是集合之間的一種運算．求集合A的補集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個概念．若，則或，二者必居其一．（3）．全集與補集的性質(zhì)設(shè)全集為U，集合A是全集U的一個子集，根據(jù)補集的定義可得：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．題型突破重難點題型突破1求集合的子集和真子集（1）從集合關(guān)系的定義入手，對兩個集合進行分析，首先，判斷一個集合A中的任意元素是否屬于另一集合B，若是，則A?B，否則A不是B的子集；其次，判斷另一個集合B中的任意元素是否屬于第一個集合A，若是，則B?A，否則B不是A的子集；若既有A?B，又有B?A，則A＝B．（2）確定集合是用列舉法還是描述法表示的，對于用列舉法表示的集合，可以直接比較它們的元素；對于用描述法表示的集合，可以對元素性質(zhì)的表達式進行比較，若表達式不統(tǒng)一，要先將表達式統(tǒng)一，然后再進行判斷．也可以利用數(shù)軸或Venn圖進行快速判斷．例1．（1）、（2020·貴州省銅仁第一中學(xué)高一期中）已知集合，3，，，，若，則實數(shù)__.【答案】1或3【分析】利用子集關(guān)系可知，或，求出再驗證即得結(jié)果.【詳解】解：，，或，解得，或或，將的值代入集合、驗證，知不符合集合的互異性，故或3.故答案為：1或3（2）．（2021·浙江高一期末）已知集合，則的子集有（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】根據(jù)集合子集的個數(shù)計算公式求解.【詳解】因為集合共有個元素，所以子集個數(shù)為個.故選：D.【變式訓(xùn)練1-1】．（2021·上海高一專題練習(xí)）集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B?A，則實數(shù)a的值為（）A．1 B．-1 C．±1 D．0或±1【答案】D【分析】對進行分類討論，結(jié)合求得的值.【詳解】A={x|x2=1}={1，-1}.當a=0時，，滿足B?A；當a≠0時，B=，因為B?A，所以=1或=-1，即a=±1.綜上所述，a=0或a=±1.故選：D【變式訓(xùn)練1-2】．（2021·上海高一專題練習(xí)）已知集合，則=（）A．或 B．或3 C．1或 D．1或3【答案】B【分析】利用集合的包含關(guān)系可得或，求出，再根據(jù)集合的互異性即可求解.【詳解】因為集合，，且，所以或，若，則，滿足；若，則或，當時，，滿足；當時，集合A中元素不滿足互異性，舍去，故選：B.例2．（2021·上海高一專題練習(xí)）設(shè)集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，則（）A．MN B．NM C．M∈N D．N∈M【答案】A【分析】根據(jù)集合元素的特征確定正確選項.【詳解】對于集合N，當n＝2k時，x＝4k＋1（k∈Z）；當n＝2k－1時，x＝4k－1（k∈Z）.所以N＝{x|x＝4k＋1或x＝4k－1，k∈Z}，所以MN.故選：A【變式訓(xùn)練2-1】．（2020·江西南昌二中高一期中）集合與之間的關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)表示所有的整數(shù)，表示所有的奇數(shù)，結(jié)合題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】集合，，因為表示所有的整數(shù)，表示所有的奇數(shù)，所以.故選：A.重難點題型突破2空集例3．（1）（2020·安徽安慶市·桐城市第八中學(xué)高一月考）下列六個關(guān)系式中正確的個數(shù)是（）（1）

（2）

（3）（4）

（5）

（6）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)空集的概念及性質(zhì)、集合相等的含義以及元素與集合、集合與集合的關(guān)系，判斷各項的正誤，即可知正確關(guān)系式的個數(shù).【詳解】空集是任意集合的子集，所以（1）、（6）正確；由集合相等，即所含元素相同，所以（2）錯誤；元素與集合只有屬于、不屬于關(guān)系，所以（3）錯誤；而正確，錯誤，所以（4）正確，（5）錯誤；∴共有3個正確.故選：C(2)．（2021·江蘇）(多選題)下列集合的關(guān)系，正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系?集合與集合的關(guān)系?空集是任意集合的子集逐項判斷.【詳解】解：A．空集是任意非空集合的真子集，故A正確；C.空集是任意集合的子集，因為是含有一個元素的集合，所以正確；D.空集是空集構(gòu)成的集合中的元素，滿足屬于關(guān)系，故D正確，B中左邊是空集，右邊是含有一個元素的集合，不相等，B不正確；故選：ACD.【變式訓(xùn)練3-1】．(多選題）（2020·深州長江中學(xué)）下列各式中，正確的選項是（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用集合間的關(guān)系及空集的性質(zhì)，即可知各選項的正誤.【詳解】A中，集合與集合間沒有從屬關(guān)系，錯誤.B中，是相等的集合，所以，正確.C中，空集是任何集合的子集，正確.D中，空集與一個非空集合不相等，錯誤.故選：BC【變式訓(xùn)練3-2】．（2021·江蘇揚中市第二高級中學(xué)高一開學(xué)考試）若是的真子集，則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【分析】根據(jù)題意以及真子集定義分析得出有實數(shù)解即可得出答案.【詳解】若是的真子集，則不是空集，即有實數(shù)解，故，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為:

重難點題型突破3集合相等從集合相等的概念入手，尋找兩個集合中元素之間的關(guān)系，看一個集合中的元素與另一集合中的哪個元素相等，一般需要分類討論，在求出參數(shù)值后，要注意檢驗是否滿足集合中元素的互異性及是否使有關(guān)的代數(shù)式有意義．例4．（2020·安徽省含山中學(xué)高一月考）已知集合，集合.（1）若，求的值；（2）是否存在實數(shù)，，使.【答案】（1）；（2）不存在.【分析】（1）轉(zhuǎn)化條件為或，驗證元素的互異性即可得解；（2）按照、討論，驗證即可得解.【詳解】（1）由題意，或，解得或，當時，，不成立；當時，，成立；∴.（2）由題意，，若，則，，不合題意；若，則，，不合題意；∴不存在實數(shù)，，使得.【變式訓(xùn)練4-1】．（2020·河北省曲陽縣第一高級中學(xué)高一月考）設(shè)，若集合，求的值.【答案】.【分析】由集合，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】由題意，集合，可得，，由兩個集合相等定義可知，若，得，經(jīng)驗證，符合題意；若，由于，則方程組無解，綜上可知，，，故.【點睛】本題主要考查了根據(jù)集合相等求參數(shù)，其中解答中熟記集合相等的概念，結(jié)合元素的互異性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

重難點題型突破4子集和真子集個數(shù)問題1.有限集子集的確定問題，求解關(guān)鍵有三點：（1）確定所求集合；（2）注意兩個特殊的子集：和自身；（3）依次按含有一個元素的子集，含有兩個元素的子集，含有三個元素的子集……寫出子集．就可避免重復(fù)和遺漏現(xiàn)象的發(fā)生．【名師點睛】如果有限非空集合中有n個元素，則：（1）集合的子集個數(shù)為；（2）集合的真子集個數(shù)為；（3）集合的非空子集個數(shù)為；（4）集合的非空真子集個數(shù)為．例5．（1）、（2021·上海高一專題練習(xí)）集合的所有子集為________________，其中它的真子集有________個.【答案】，，，，，，，【分析】根據(jù)列舉法寫出子集，即可得出結(jié)果.【詳解】集合的子集有：，，，，，，，，其中除外，都是的真子集，共個.故答案為：，，，，，，，；.【點睛】本題主要考查列舉集合的子集，以及求真子集的個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.（2）．（2019·鎮(zhèn)江市實驗高級中學(xué)高一月考）集合的子集個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先求得集合A，根據(jù)元素的個數(shù)，即可求得子集的個數(shù)，即可得答案.【詳解】由，解得，所以集合，含有2個元素所以集合A的子集個數(shù)為.故選：D【變式訓(xùn)練5-1】．（2020·江蘇省板浦高級中學(xué)高一月考）滿足的集合的個數(shù)（）A．4 B．8 C．15 D．16【答案】B【分析】由，可得集合A是集合的子集且1在子集中，從而可求出集合A【詳解】解：因為，所以，所以滿足集合A的個數(shù)為8，故選：B【變式訓(xùn)練5-2】．（2020·西安市第八十三中學(xué)高一月考）滿足的集合有（）A．4個 B．6個 C．8個 D．16個【答案】C【分析】根據(jù)子集的概念可知，集合X中必含有元素1，且最多含有4個元素，對集合X中元素個數(shù)分類，即可列舉出滿足題意的集合X，從而求出個數(shù).【詳解】解：由題意可以確定集合X中必含有元素1，且最多含有4個元素，因此集合X可以是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，2，3，4}，共8個.故選：C．

重難點題型突破5全集與補集及其運算例6．（1）、（2021·江蘇高一課前預(yù)習(xí)）已知全集U＝R，集合M＝{x|x<－2或x≥2}，則________.【答案】【分析】由題意結(jié)合集合的補集運算，計算即可得解.【詳解】因為全集U＝R，集合M＝{x|x<－2或x≥2}，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了集合的補集運算，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.（2）．（2020·貴陽市清鎮(zhèn)養(yǎng)正學(xué)校高一期中）設(shè)集合，則=A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由補集的概念，得，故選C．【考點】集合的補集運算【名師點睛】研究集合的關(guān)系，處理集合的交、并、補的運算問題，常用韋恩圖、數(shù)軸等幾何工具輔助解題．一般地，對離散的數(shù)集、抽象的集合間的關(guān)系及運算，可借助韋恩圖，而對連續(xù)的集合間的運算及關(guān)系，可借助數(shù)軸的直觀性，進行合理轉(zhuǎn)化．【變式訓(xùn)練6-1】．（2020·翁牛特旗烏丹第二中學(xué)高一期中）設(shè)全集，集合，則__________．【答案】或【分析】根據(jù)補集的定義，利用數(shù)軸觀察集合在全集下的補集.【詳解】因為，，所以或.【點睛】集合中求補集時，要注意端點是否可取到.【變式訓(xùn)練6-2】．（2021·江蘇高一課前預(yù)習(xí)）已知集合U＝R，A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x﹣a＜0}，若滿足，則實數(shù)a的取值范圍為__.【答案】a≤﹣1【分析】求出?UA，再利用集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】因為A＝{x|﹣1≤x≤1}，所以?UA＝{x|x＞1或x＜﹣1}，B＝{x|x﹣a＜0}＝{x|x＜a}若B??UA，則a≤﹣1.故答案為：a≤﹣1.

重難點題型突破6根據(jù)兩個集合之間的關(guān)系求參數(shù)范圍例7．（2019·金華市江南中學(xué)高一月考）集合，集合，若，求實數(shù)的值．【答案】或【分析】將代入方程，從而可求的值.【詳解】，因為，故，所以，整理得到，解得或.【點睛】本題考查集合的包含關(guān)系，注意將包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的方程，本題屬于基礎(chǔ)題.例8、（2020·江蘇省海頭高級中學(xué)高一月考）設(shè)為實數(shù)，若全集，，.（1）若，借助數(shù)軸求實數(shù)的取值范圍；（2）若，借助數(shù)軸求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本題首先可根據(jù)得出，然后根據(jù)即可得出結(jié)果；（2）本題可根據(jù)得出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以，因為，，如圖，所以，實數(shù)的取值范圍為.（2）因為，，，如圖，所以，實數(shù)的取值范圍為.

四、定時訓(xùn)練（30分鐘）1．（2016·江西南昌·高三月考（文））集合A={﹣1，5，1}，A的子集中，含有元素5的子集共有A．2個 B．4個 C．6個 D．8個【答案】B【詳解】試題分析：由集合A中的元素有﹣1，5，1共3個，含有元素5的子集，可能含有﹣1，1，代入公式得結(jié)論．解：由集合A中的元素有﹣1，5，1共3個，含有元素5的子集，可能含有﹣1，1，代入公式得：22=4，故選B．考點：子集與真子集．2．（2020·上海高一單元測試）定義且，若，，則的子集個數(shù)為_______________，非空真子集個數(shù)為_______________.【答案】10241022【分析】先判斷中有幾個元素，再判斷有多少個子集；非空真子集個數(shù)為子集個數(shù)減.【詳解】由的定義知：若，，則，子集個數(shù)為，非空真子集個數(shù)為.故答案為：；.【點睛】本題考查集合子集、真子集個數(shù)的判斷問題，較簡單.一般地，對于含一個有個元素的集合，其子集個數(shù)為個，真子集個數(shù)為個，非空真子集為個.3．（2022·上海高三專題練習(xí)）設(shè)，且M，則_______，________．【答案】【分析】根據(jù)題意得到，解得答案.【詳解】M，則，解得，.故答案為：；.【點睛】本題考查了根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力.4．（2020·江蘇儀征市第二中學(xué)高一月考）集合的子集共有___________個.【答案】【分析】將子集一一列出即可．【詳解】集合，0，的子集有：，，，，，，，，，，，0，共8個故答案為：．5．（2020·揚州大學(xué)附屬中學(xué)高一月考）設(shè)P，Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合，若，則集合有___________個子集.【答案】8【分析】根據(jù)條件求出集合即可.【詳解】因為，所以所以集合有個子集故答案為：8【點睛】本題考查的是集合的新定義的題和集合的子集個數(shù)，較簡單.6．（2019·江蘇揚州中學(xué)（文））設(shè)，，若，則實數(shù)組成的集合_____．【答案】【分析】先求出A的元素，再由B?A，分和B≠φ求出a值即可.【詳解】∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，∴A＝{3，5}又∵B＝{x|ax﹣1＝0}，∴①時，a＝0，顯然B?A②時，B＝{}，由于B?A∴∴故答案為{}【點睛】本題主要考查由集合間基本關(guān)系求參數(shù)值或范圍的問題，屬于基礎(chǔ)題．7．（2015·江蘇高郵·）已知集合，則_______．【答案】【解析】試題分析：集合A的補集為全集中不在集合A中的元素構(gòu)成的集合，所以考點：集合的補集8．（2021·江蘇高一單元測試）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，