2022-2023學(xué)年蘇教版必修第一冊 專題1.3 交集與并集 學(xué)案

專題1.3交集與并集一、考情分析二、考點(diǎn)梳理1、并集（1）．并集的概念一般地，由___________屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：___________（讀作“A并B”），即．用Venn圖表示如圖所示：（1）（2）（3）由上述圖形可知，無論集合A，B是何種關(guān)系，恒有意義，圖中陰影部分表示并集．注意：并集概念中的“或”指的是只需滿足其中一個(gè)條件即可，這與生活中的“或”字含義不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．（2）．并集的性質(zhì)對于任意兩個(gè)集合A，B，根據(jù)并集的概念可得：（1），；（2）；（3）；（4）．交集（1）．交集的概念一般地，由___________的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作：___________（讀作“A交B”），即．用Venn圖表示如圖所示：（1）A與B相交（有公共元素）（2），則（3）A與B相離（）注意：（1）交集概念中的“且”即“同時(shí)”的意思，兩個(gè)集合的交集中的元素必須同時(shí)是兩個(gè)集合的元素．（2）定義中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．（2）．交集的性質(zhì)（1）；（2）；（3）；（4）．三、題型突破重難點(diǎn)題型突破1并集及其運(yùn)算例1．(1)、（2021·江蘇海安高級中學(xué)高三期中）已知集合，，那么（）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接利用集合的并集運(yùn)算求解．【詳解】因?yàn)榧?，，所以．故選：A．(2)、（2021·江蘇高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，那么集合等于（）A． B．C． D．【答案】C【分析】用列舉法表示出集合，進(jìn)而可得.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：C.（3）．（2021·江蘇高一）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由集合的并集運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】故選：D【變式訓(xùn)練1-1】、（2021·江蘇高一專題練習(xí)）已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】按并集的定義即可得答案.【詳解】，，所以.故選：A.【變式訓(xùn)練1-2】、（2021·江蘇高一課時(shí)練習(xí)）已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次方程用列舉法表示集合A，然后求出，最后按集合的并集概念進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】，，.故選：B

重難點(diǎn)題型突破2交集及其運(yùn)算例2．（1）（2020·江蘇揚(yáng)州市·儀征市第二中學(xué)高三月考）已知集合，則=A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點(diǎn)睛】不能領(lǐng)會交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．（2）．（2021·江蘇灌云縣第一中學(xué)高三月考）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用交集的定義可求得集合.【詳解】由已知可得.故選：B.【變式訓(xùn)練2-1】、（2021·江蘇廣陵·揚(yáng)州中學(xué)）若集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，然后進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可．【詳解】，；∴.故選：D.【變式訓(xùn)練2-2】、（2021·上海交大附中高一開學(xué)考試）設(shè)集合，，.則實(shí)數(shù)_______.【答案】【分析】由可得，從而得到，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，顯然，所以，解得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的基本運(yùn)算求參數(shù)值，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.重難點(diǎn)題型突破3交集、并集與補(bǔ)集混合運(yùn)算例3．（1）（2020·江蘇省江浦高級中學(xué)）（多選題）已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】BD【分析】對兩個(gè)集合中的元素所具有的性質(zhì)分別化簡，使其都是含有相同的分母表達(dá)式，再比較分子可得答案.【詳解】由題意可知：，集合，代表所有的偶數(shù)，代表所有的整數(shù)，所以，即．故選：BD．【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)集合之間的基本關(guān)系，要求對集合中的元素所具有的性質(zhì)能進(jìn)行化簡.（2）．（2018·江西高三一模（理））已知為實(shí)數(shù)集，集合，，則韋恩圖中陰影部分表示的集合為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】首先確定集合A,B，然后結(jié)合Venn圖求解陰影部分表示的集合即可.【詳解】求解分式不等式可得，求解二次不等式可得，則，韋恩圖中陰影部分表示的集合為，即.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的表示方法，集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，Venn圖及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.【變式訓(xùn)練3-1】、（2020·昆山市第一中學(xué)高一月考）（多選題）已知集合且，則實(shí)數(shù)m的值可以為（）A．1 B． C．2 D．0【答案】ABD【分析】先根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果得到集合的基本關(guān)系，再分、，三種情況討論求實(shí)數(shù)m的值.【詳解】解：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)、利用集合的運(yùn)算結(jié)果判斷集合的包含關(guān)系求參數(shù)，是基礎(chǔ)題.【變式訓(xùn)練3-2】、（2021·江蘇廣陵·揚(yáng)州中學(xué)）如圖請用集合、、、表示圖中陰影部分所表示的集合（）A． B．C． D．【答案】C【分析】在陰影部分部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素，分析與集合、、、的關(guān)系，由此可得出結(jié)論.【詳解】在陰影部分部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素，則，，即，且，，因此，陰影部分區(qū)域所表示的集合為.故選：C.例4．（2020·江蘇省板浦高級中學(xué)高一月考）設(shè)全集，集合，（1）求．（2）求【答案】（1）.（2）【分析】（1）先求，再求；（2）先求，再求.【詳解】（1）因?yàn)槿?，集合所以，所?（2）集合，所以,又全集，所以例5．（2020·江西省興國縣第三中學(xué)高一月考）設(shè)集合，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）本題首先可通過求解得出，然后通過得出或，最后通過檢驗(yàn)即可得出結(jié)果；（2）本題首先可通過得出，然后分為、中有一個(gè)元素、中有兩個(gè)元素三種情況進(jìn)行計(jì)算，通過判別式以及檢驗(yàn)即可得出結(jié)果.【詳解】（1），即，解得或，，因?yàn)椋?，解得或，若，，或，，滿足題意；若，，或，，滿足題意，故或.（2）因?yàn)?，所以，若，則，解得；若中有一個(gè)元素，則，解得，此時(shí)，解得，，不滿足題意；若中有兩個(gè)元素，則，，無解，不滿足題意，綜上所述，的取值范圍為.例6．（2021·江西高一期末）已知全集，集合，或，（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)根據(jù)題意，畫出數(shù)軸即可得到；(2)現(xiàn)根據(jù)題意，求出，再結(jié)合，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)根據(jù)題意得，.(2)根據(jù)題意得，或，因此，又因，所以，解得.例7．（2020·景谷傣族彝族自治縣第一中學(xué)高一月考）設(shè)集合，集合．（1）求使的實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）;（2）存在，.【分析】（1），即.集合是一元二次方程的解集，要對方程是否有實(shí)數(shù)根、有幾個(gè)實(shí)數(shù)根進(jìn)行分類討論；（2）與是對立的，可先求出時(shí)的取值范圍，再對該范圍求補(bǔ)集即可.【詳解】（1）因?yàn)?，?因?yàn)榧希?，所以，①?dāng)時(shí)，，，所以，成立，所以，②當(dāng)時(shí)，，由，得，所以且，綜上，.（2）因?yàn)椋?，所以①時(shí)，，此時(shí)成立，所以，②時(shí)，，若，則，③時(shí)，，若，則，所以，時(shí)或，所以，時(shí)，即存在實(shí)數(shù)，使成立，.【點(diǎn)睛】本題考查集合之間的關(guān)系與運(yùn)算，同時(shí)考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與推理計(jì)算、分類討論的能力，屬于難題.，即，把兩個(gè)集合之間的交集運(yùn)算轉(zhuǎn)化成兩個(gè)集合之間的子集關(guān)系；集合是含參數(shù)的一元二次方程，方程根的情況是由決定的，所以需對的取值進(jìn)行分類討論；當(dāng)集合的一元二次方程有解時(shí)，兩個(gè)根的大小關(guān)系如何，需要對方程根的大小關(guān)系分類討論；當(dāng)兩個(gè)根的大小關(guān)系確定時(shí)，借助于實(shí)數(shù)軸考慮對列式計(jì)算，如果直接列式情況較多，可考慮“正難則反”的數(shù)學(xué)思想，先解的答案，再得的答案.四、定時(shí)訓(xùn)練（30分鐘）1．（2021·江蘇高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合U={0，1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，3}，則（）A．{0，4} B．{4} C．{1，2，3} D．?【答案】A【分析】根據(jù)集合補(bǔ)集、交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閁={0，1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，3}，所以={0，3，4}，={0，1，4}，所以{0，4}．故選：A2．（2021·如皋市第一中學(xué)高一月考）設(shè)集合，集合{為20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)}，則集合的元素個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】用列舉法分別表示出集合和，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】依題意得，，所以，含2個(gè)元素.故選：A3．（2021·江蘇）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將兩個(gè)曲線聯(lián)立求交點(diǎn)即可得出結(jié)論.【詳解】解：集合，，解得或，則故選：D.4．（2021·江蘇）設(shè)，，則___________.【答案】【分析】利用集合的表示法得，再利用并?補(bǔ)集的混合運(yùn)算計(jì)算得結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?故答案為：.5．（2020·江蘇泰州·高一期中）已知全集，集合，，則集合________．【答案】【分析】首先用列舉法表示出集合，直接計(jì)算即可.【詳解】由題意得所以所以故答案為：.6．（2021·江蘇揚(yáng)中市第二高級中學(xué)高一開學(xué)考試）對于集合，定義且，，設(shè)，，則___________________．【答案】【分析】根據(jù)所給新定義計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以故答案為?．（2020·鹽城市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)）（多選題）已知集合，則（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】先利用一元二次不等式的解法化簡集合B，再利用交集和并集的運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以所以?故選：AD.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.8．（2020·南京大學(xué)附屬中學(xué)高三月考）（多選題）集合，，若是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則下列說法正確的為（）A．a(chǎn)的值可為2 B．a(chǎn)的值可為C．a(chǎn)的值可為 D．a(chǎn)的值可為【答案】BC【分析】確定集合表示以四個(gè)點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的正方形，如在第一象限直線方程為，在第四象限直線方程為，集合表示四條直線和，它們有八個(gè)交點(diǎn)，是正八邊形的八個(gè)頂點(diǎn)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)（只需相鄰三個(gè)即可，題中求出了四個(gè)），由邊長相等可求得．【詳解】集合A表示以四個(gè)點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的正方形，集合B：或，所以當(dāng)是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合時(shí)，軸右邊的4個(gè)交點(diǎn)為，，，，由，解得（舍去），由，解得（舍去），