53機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用（精講）（解析版）

專題5.3機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用【考情分析】1．掌握重力勢能、彈性勢能的概念，并能計(jì)算。2．掌握機(jī)械能守恒的條件，會判斷物體的機(jī)械能是否守恒。3．掌握機(jī)械能守恒定律的三種表達(dá)形式，理解其物理意義，并能熟練應(yīng)用。【重點(diǎn)知識梳理】知識點(diǎn)一重力做功與重力勢能1．重力做功的特點(diǎn)(1)重力做功與路徑無關(guān)，只與初末位置的高度差有關(guān)。(2)重力做功不引起物體機(jī)械能的變化。2．重力勢能(1)公式：Ep＝mgh。(2)特性：①標(biāo)矢性：重力勢能是標(biāo)量，但有正、負(fù)，其意義是表示物體的重力勢能比它在參考平面上大還是小，這與功的正、負(fù)的物理意義不同。②系統(tǒng)性：重力勢能是物體和地球所組成的“系統(tǒng)”共有的。③相對性：重力勢能的大小與參考平面的選取有關(guān)。重力勢能的變化是絕對的，與參考平面的選取無關(guān)。3．重力做功與重力勢能變化的關(guān)系(1)定性關(guān)系：重力對物體做正功，重力勢能就減少；重力對物體做負(fù)功，重力勢能就增加。(2)定量關(guān)系：重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少量。即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。知識點(diǎn)二彈性勢能1．定義：物體由于發(fā)生彈性形變而具有的能．2．彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系：彈力做正功，彈性勢能減?。粡椓ψ鲐?fù)功，彈性勢能增加，即W＝－ΔEP.知識點(diǎn)三機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用1．機(jī)械能：動能和勢能統(tǒng)稱為機(jī)械能，其中勢能包括重力勢能和彈性勢能.2．機(jī)械能守恒定律(1)內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能可以相互轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變.(2)守恒條件：只有重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力做功．(3)常用的三種表達(dá)式：①守恒式：E1＝E2或Ek1＋EP1＝Ek2＋EP2.(E1、E2分別表示系統(tǒng)初末狀態(tài)時的總機(jī)械能)②轉(zhuǎn)化式：ΔEk＝－ΔEP或ΔEk增＝ΔEP減.(表示系統(tǒng)勢能的減少量等于動能的增加量)③轉(zhuǎn)移式：ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB減.(表示系統(tǒng)只有A、B兩物體時，A增加的機(jī)械能等于B減少的機(jī)械能)【典型題分析】高頻考點(diǎn)一機(jī)械能守恒的理解與判斷【例1】（2019·浙江選考）奧運(yùn)會比賽項(xiàng)目撐桿跳高如圖所示，下列說法不正確的是()A．加速助跑過程中，運(yùn)動員的動能增加B．起跳上升過程中，桿的彈性勢能一直增加C．起跳上升過程中，運(yùn)動員的重力勢能增加D．越過橫桿后下落過程中，運(yùn)動員的重力勢能減少動能增加【答案】B【解析】加速助跑過程中速度增大，動能增加，A正確；撐桿從開始形變到撐桿恢復(fù)形變時，先是運(yùn)動員部分動能轉(zhuǎn)化為桿的彈性勢能，后彈性勢能轉(zhuǎn)化為運(yùn)動員的動能與重力勢能，桿的彈性勢能不是一直增加，B錯誤；起跳上升過程中，運(yùn)動員的高度在不斷增大，所以運(yùn)動員的重力勢能增加，C正確；當(dāng)運(yùn)動員越過橫桿下落的過程中，他的高度降低、速度增大，重力勢能被轉(zhuǎn)化為動能，即重力勢能減少，動能增加，D正確?！痉椒记伞?．利用機(jī)械能的定義判斷(直接判斷)：分析動能和勢能的和是否變化．2．用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈簧的彈力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代數(shù)和為零，則機(jī)械能守恒．3．用能量轉(zhuǎn)化來判斷：若物體系統(tǒng)中只有動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化而無機(jī)械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，則物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒．【變式探究】（2020·湖北黃岡模擬）如圖所示，一輕彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端系一小球，將小球從與懸點(diǎn)O在同一水平面且使彈簧保持原長的A點(diǎn)無初速度釋放，讓小球自由擺下。不計(jì)空氣阻力。在小球由A點(diǎn)擺向最低點(diǎn)B的過程中，下列說法正確的是()A．小球的機(jī)械能守恒B．小球的機(jī)械能減少C．小球的重力勢能與彈簧的彈性勢能之和不變D．小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒【答案】BD【解析】小球由A點(diǎn)下擺到B點(diǎn)的過程中，彈簧被拉長，彈簧的彈力對小球做了負(fù)功，所以小球的機(jī)械能減少，故選項(xiàng)A錯誤，B正確；在此過程中，由于有重力和彈簧的彈力做功，所以小球與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即小球減少的重力勢能等于小球獲得的動能與彈簧增加的彈性勢能之和，故選項(xiàng)C錯誤，D正確。高頻考點(diǎn)二單物體的機(jī)械能守恒【例2】(2017·全國卷Ⅱ·19)如圖，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與地面垂直．一小物塊以速度v從軌道下端滑入軌道，并從軌道上端水平飛出，小物塊落地點(diǎn)到軌道下端的距離與軌道半徑有關(guān)，此距離最大時對應(yīng)的軌道半徑為(重力加速度大小為g)()A．eq\f(v2,16g) B．eq\f(v2,8g)C．eq\f(v2,4g) D．eq\f(v2,2g)【答案】B【解析】設(shè)小物塊的質(zhì)量為m，滑到軌道上端時的速度為v1.小物塊上滑過程中，機(jī)械能守恒，有eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋2mgR ①小物塊從軌道上端水平飛出，做平拋運(yùn)動，設(shè)水平位移為x，下落時間為t，有2R＝eq\f(1,2)gt2 ②x＝v1t③聯(lián)立①②③式整理得x2＝(eq\f(v2,2g))2－(4R－eq\f(v2,2g))2可得x有最大值eq\f(v2,2g)，對應(yīng)的軌道半徑R＝eq\f(v2,8g).【方法技巧】求解單個物體機(jī)械能守恒問題的基本思路1.選取研究對象——物體。2.根據(jù)研究對象所經(jīng)歷的物理過程，進(jìn)行受力、做功分析，判斷機(jī)械能是否守恒。3.恰當(dāng)?shù)剡x取參考平面，確定研究對象在過程的初、末狀態(tài)時的機(jī)械能。4.選取方便的機(jī)械能守恒定律的方程形式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp進(jìn)行求解?！咀兪教骄俊?2020·寧夏石嘴山三中模擬)如圖所示，P是水平面上的固定圓弧軌道，從高臺邊B點(diǎn)以速度v0水平飛出質(zhì)量為m的小球，恰能從左端A點(diǎn)沿圓弧切線方向進(jìn)入。O是圓弧的圓心，θ是OA與豎直方向的夾角。已知m＝0.5kg，v0＝3m/s，θ＝53°，圓弧軌道半徑R＝0.5m，g取10m/s2，不計(jì)空氣阻力和所有摩擦，求：(1)A、B兩點(diǎn)的高度差；(2)小球能否到達(dá)最高點(diǎn)C？如能到達(dá)，小球?qū)點(diǎn)的壓力大小為多少？【解析】(1)小球從B到A做平拋運(yùn)動，到達(dá)A點(diǎn)時，速度與水平方向的夾角為θ，則有vA＝eq\f(v0,cosθ)＝5m/s根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得A、B兩點(diǎn)的高度差h＝0.8m。(2)假設(shè)小球能到達(dá)C點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)＋mgR(1＋cosθ)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)代入數(shù)據(jù)解得vC＝3m/s小球通過C點(diǎn)的最小速度為v，則mg＝meq\f(v2,R)，v＝eq\r(gR)＝eq\r(5)m/s因?yàn)関C>v，所以小球能到達(dá)最高點(diǎn)C在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得mg＋F＝meq\f(v\o\al(2,C),R)代入數(shù)據(jù)解得F＝4N由牛頓第三定律知，小球?qū)點(diǎn)的壓力大小為4N。高頻考點(diǎn)三多物體機(jī)械能守恒【例3】(2020·山東泰安二模)如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球1、2由不可伸長的細(xì)繩相連，小球1懸掛在定滑輪O的下方，小球2在半徑為R的半球形固定容器內(nèi)，定滑輪O與容器的邊緣D及球心C在同一水平線上。系統(tǒng)靜止時，小球1在定滑輪正下方R處的A點(diǎn)，小球2位于B點(diǎn)，BD間的細(xì)繩與水平方向的夾角θ＝60°。已知小球1的質(zhì)量為m，重力加速度為g，不計(jì)一切摩擦，忽略滑輪的質(zhì)量。(結(jié)果用根號表示)(1)試求小球2的質(zhì)量；(2)現(xiàn)將小球2置于D處由靜止釋放(小球1未觸及地面)，求小球1到達(dá)A點(diǎn)時的動能；(3)在第(2)問中，小球2經(jīng)過B點(diǎn)時，突然剪斷細(xì)繩，求小球2經(jīng)過容器最低點(diǎn)時對容器的壓力?！窘馕觥?1)設(shè)系統(tǒng)靜止時細(xì)繩中的拉力大小為T。小球受到容器的支持力FB方向沿BC。由幾何關(guān)系知△DBC為正三角形，所以∠DBC＝θ ①對小球1、小球2，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件知T＝mg ②Tcosθ＝FBcosθ ③Tsinθ＋FBsinθ＝m2g ④解得：m2＝eq\r(3)m。 ⑤(2)設(shè)經(jīng)過題中圖示位置時小球1的速度為v1，小球2的速度為v2。v1沿繩豎直向上，v2沿圓弧切線斜向下。由幾何關(guān)系知，v2與DB延長線的夾角為90°－θ ⑥由運(yùn)動關(guān)系可知，v1與v2應(yīng)滿足v2sinθ＝v1 ⑦由幾何關(guān)系知，BD＝R ⑧根據(jù)機(jī)械能守恒定律得m2gRsinθ－mgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,2) ⑨此時小球1的動能Ek＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1) ⑩解得Ek＝eq\f(3mgR,23＋4\r(3))＝eq\f(4\r(3)－3,26)mgR ?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v\o\al(2,2)＝\f(4gR,4\r(3)＋3)，v\o\al(2,1)＝\f(3gR,4\r(3)＋3)))。(3)細(xì)繩剪斷后，小球2以v2為初速度，從B點(diǎn)沿圓弧運(yùn)動到最低點(diǎn)，設(shè)經(jīng)過最低點(diǎn)的速度為v3，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，得eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,2)＋m2g(R－Rsinθ)＝eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,3) ?設(shè)小球2經(jīng)過容器最低點(diǎn)時受到的支持力為N，根據(jù)牛頓第二定律得N－m2g＝m2eq\f(v\o\al(2,3),R) ?解得N＝eq\f(35\r(3)－23,13)mg ?由牛頓第三定律知，小球2對容器的壓力大小也為eq\f(35\r(3)－23,13)mg，方向向下。 ?【答案】(1)eq\r(3)m(2)eq\f(4\r(3)－3,26)mgR(3)eq\f(35\r(3)－23,13)mg，方向向下【方法技巧】解決多物體機(jī)械能守恒問題的三點(diǎn)注意1.對多個物體組成的系統(tǒng)，一般用“轉(zhuǎn)化法”或“轉(zhuǎn)移法”來判斷系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒。2.注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。3.列機(jī)械能守恒方程時，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式?！咀兪教骄俊?2020·河北保定一中模擬)如圖所示，在傾角為30°的光滑斜面上，一勁度系數(shù)為k＝200N/m的輕質(zhì)彈簧一端連接固定擋板C上，另一端連接一質(zhì)量為m＝4kg的物體A，一輕細(xì)繩通過定滑輪，一端系在物體A上，另一端與質(zhì)量也為m的物體B相連，細(xì)繩與斜面平行，斜面足夠長．用手托住物體B使繩子剛好沒有拉力，然后由靜止釋放．求：(1)彈簧恢復(fù)原長時細(xì)繩上的拉力；(2)物體A沿斜面向上運(yùn)動多遠(yuǎn)時獲得最大速度；(3)物體A的最大速度的大?。窘馕觥?1)恢復(fù)原長時對B有mg－FT＝ma對A有FT－mgsin30°＝ma解得FT＝30N.(2)初態(tài)彈簧壓縮x1＝eq\f(mgsin30°,k)＝10cm當(dāng)A速度最大時mg＝kx2＋mgsin30°彈簧伸長x2＝eq\f(mg－mgsin30°,k)＝10cm所以A沿斜面上升x1＋x2＝20cm.(3)因x1＝x2，故彈性勢能改變量ΔEP＝0，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin30°＝eq\f(1,2)×2m·v2得v＝g·eq\r(\f(m,2k))＝1m/s.【答案】(1)30N(2)20cm(3)1m/s高頻考點(diǎn)四機(jī)械能守恒的應(yīng)用【例4】（2020·新課標(biāo)Ⅰ）一物塊在高3.0m、長5.0m的斜面頂端從靜止開始沿斜面下滑，其重力勢能和動能隨下滑距離s的變化如圖中直線Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10m/s2。則（）A.物塊下滑過程中機(jī)械能不守恒B.物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.5C.物塊下滑時加速度的大小為6.0m/s2D.當(dāng)物塊下滑2.0m時機(jī)械能損失了12J【答案】AB【解析】下滑5m的過程中，重力勢能減少30J，動能增加10J，減小的重力勢能并不等與增加的動能，所以機(jī)械能不守恒，A正確；斜面高3m、長5m，則斜面傾角為θ＝37°。令斜面底端為零勢面，則物塊在斜面頂端時的重力勢能mgh＝30J，可得質(zhì)量m＝1kg。下滑5m過程中，由功能原理，機(jī)械能的減少量等于克服摩擦力做的功，μmg·cosθ·s＝20J，求得μ＝0.5，B正確；由牛頓第二定律mgsinθ－μmgcosθ＝ma，求得a＝2m/s2，C錯誤；物塊下滑2.0m時，重力勢能減少12J，動能增加4J，所以機(jī)械能損失了8J，D選項(xiàng)錯誤。故選AB?！九e一反三】（2020·廣東廣雅中學(xué)模擬）如圖所示，AB為光滑的水平面，BC是傾角為α的足夠長的光滑斜面，斜面體固定不動。AB、BC間用一小段光滑圓弧軌道相連。一條長為L的均勻柔軟鏈條開始時靜置在ABC面上，其一端D至B的距離為L－a?，F(xiàn)自由釋放鏈條，則：(1)鏈條下滑過程中，系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒？簡述理由；(2)鏈條的D端滑到B點(diǎn)時，鏈條的速率為多大？【解析】(1)鏈條在下滑過程中機(jī)械能守恒，因?yàn)樾泵鍮C和水平面AB均光滑，鏈條下滑時只有重力做功，符合機(jī)械能守恒的條件。(2)設(shè)鏈條質(zhì)量為m，可以認(rèn)為始、末狀態(tài)的重力勢能變化是由L－a段下降引起的，如圖所示。該部分高度減少量h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(L－a,2)))sinα＝eq\f(L＋a,2)sinα該部分的質(zhì)量為m