高中數(shù)學(xué)高考 2021屆高三大題優(yōu)練5 圓錐曲線(xiàn)之面積取值范圍問(wèn)題（文） 教師版

圓錐曲線(xiàn)之面積取值范圍問(wèn)題圓錐曲線(xiàn)之面積取值范圍問(wèn)題大題優(yōu)練5優(yōu)優(yōu)選例題例1．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上．（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，求面積的最小值．【答案】（1）；（2）4．【解析】（1）因?yàn)槭巧系狞c(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得，解得或．因?yàn)?，所以，拋物線(xiàn)的方程為．（2）依題意可知，，直線(xiàn)的斜率存在，故設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，消去，可得．設(shè)，，則，．所以，由，得，所以過(guò)A點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，又，所以切線(xiàn)方程可化為，準(zhǔn)線(xiàn)為，可得，所以點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最小值為．例2．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為其上頂點(diǎn)，且直線(xiàn)的斜率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積是定值．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）由題意，設(shè)直線(xiàn)，令，則，于是，所以，，故橢圓的方程為．（2）設(shè)，且，又，，所以直線(xiàn)，令，，則．直線(xiàn)，令，，則．所以四邊形的面積為，所以四邊形的面積為定值．例3．已知拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)．過(guò)原點(diǎn)垂直于的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相交于點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的方程及的坐標(biāo)；（2）設(shè)，的面積分別為，，求的最大值．【答案】（1）拋物線(xiàn)方程為，焦點(diǎn)為；（2）1．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，所以，，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為，焦點(diǎn)為．（2）設(shè)，，直線(xiàn)斜率一定存在，設(shè)直線(xiàn)方程為，由，得，，，，，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，過(guò)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)分別交于，與軸分別交于，，，，，時(shí)，直線(xiàn)方程為，則，得，即，，所以，，則，設(shè)，，則，因?yàn)?，所以，在上是減函數(shù)，所以，所以；時(shí)，，，，，，，綜上，的最大值是1．

模擬模擬優(yōu)練1．已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為圓與圓的公共點(diǎn)．（1）求的方程；（2）直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，且在這一段曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（異于端點(diǎn)與），求面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）聯(lián)立，得，因此的焦點(diǎn)為，設(shè)拋物線(xiàn)，則，則，故的方程為．（2）聯(lián)立，得或，不妨假設(shè)，，則．設(shè)，則，到直線(xiàn)的距離，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?，則，故面積的取值范圍是．2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，上、下頂點(diǎn)分別是，，離心率，短軸長(zhǎng)為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，若，試求內(nèi)切圓的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意得，又，解得，，所以橢圓的方程為．（2）由，，知的斜率為，因，故的斜率為，則直線(xiàn)的方程為，即，聯(lián)立，可得，設(shè)，，則，，則的面積，由的周長(zhǎng)，及，得內(nèi)切圓，所以的內(nèi)切圓面積為．3．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)，求與的面積分別為，，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知，得，∴橢圓的方程為，∵圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴圓的方程為．（2）由題意，知直線(xiàn)的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，．由，消去，得．∵，∴，．∵為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴，∴直線(xiàn)的方程為，即．令，則，∴，∴．∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．4．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)相交于兩個(gè)點(diǎn)．（1）求證：；（2）求面積的最小值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）16．【解析】（1）設(shè)直線(xiàn)，設(shè)，，聯(lián)立，消去x，得，，．，，，即．（2）設(shè)，代入，得，化簡(jiǎn)得，，，又O到直線(xiàn)的距離為，，當(dāng)k不存在時(shí)，直線(xiàn)，則易知，，綜上可知，的最小值為16．5．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、．設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，滿(mǎn)足軸，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)且傾斜角為45°的直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由條件可知，解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）設(shè)直線(xiàn)，，，直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立，得，，，．6．已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，直線(xiàn)，且直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線(xiàn)的方程．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）記橢圓的左右焦點(diǎn)為，，又，所以，，又，則，則，又點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，所以有，解得，所以橢圓的方程為．（2）由題意，，因?yàn)?，所以可設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，，由，得，整理得，所以，，則，則，又點(diǎn)到的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)闈M(mǎn)足，故直線(xiàn)的方程為．7．已知橢圓的離心率為，且直線(xiàn)與圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)與橢圓相交于點(diǎn)，且點(diǎn)在以為直徑的圓上．記，的面積分別為，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵橢圓的離心率為，∴（為半焦距），∵直線(xiàn)與圓相切，∴，又∵，∴，，∴橢圓的方程為．（2）∵為線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴．（i）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，由及橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)所在直線(xiàn)的方程為，得，則，，∴；（ii）當(dāng)直線(xiàn)的斜率