二階常微分方程的解法

精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專心---專注---專業(yè)精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)南京師范大學泰州學院畢業(yè)論文（設計）（一六屆）題目：二階常微分方程的解法院（系、部）：數(shù)學科學與應用學院專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學姓名：潘陸學號指導教師：劉陸軍南京師范大學泰州學院教務處制摘要：本文主要是介紹了二階常微分方程眾多解法中的三種，分別為特征方程法，拉普拉斯變換法和常數(shù)變易法，研究并討論了二階常微分方程在特征方程法中特征方程根為實根，復根和重根的情形。我們選用了彈簧振子系統(tǒng)的振子運動，用這三種不同的方法來解決該問題。關鍵詞：二階常微分方程；特征根法；常數(shù)變易法；拉普拉斯變換Abstract:Themainpurposeofthispaperisthesecond-orderordinarymanydifferentialequationsolutionofthree,respectivelyasthecharacteristicequationmethod,Laplacetransformmethodandvariationofconstantsmethod,studyanddiscussthesecond-orderoftendifferentialequationinthecharacteristicequationoftherootsofthecharacteristicequationforrealroots,complexrootsandrootweight.Wechoosethespringoscillatortheoscillatormotion,thesethreedifferentmethodstosolvetheproblem.Keywords:secondorderordinarydifferentialequation;Characteristicanalysis;constantvariationmethod;Laplassetransform目錄TOC\o"1-2"\h\z\u11346891緒論1.1二階常微分方程的起源和發(fā)展史既然說到了微分方程，就不能不提到海王星的故事，它的發(fā)現(xiàn)是人類智慧的碩果，微分方程在其中扮演了重要的角色，并且在其中也包含數(shù)學演繹法的作用。在發(fā)現(xiàn)了天王星之后，進行天文觀測的人們發(fā)現(xiàn)它所處的位置總是和萬有引力計算出的位置有些許不同，于是有人質疑萬有引力定律的正確性。但也有一部分人認為，這也可能是天王星在受到一顆尚未發(fā)現(xiàn)的行星的吸引力才會造成的改變。不少人堅信這種假設是正確的，但卻很少有人找到了正確的方法并付諸實踐。而英國的一個學生亞當斯顯然不是其中之一，他勇敢接受了這項任務，運用手頭僅有的資料建立起微分方程，成功求出了海王星的位置與下次出現(xiàn)的時間。1843年10月21日，滿懷信心的亞當斯把結果寄給了天文臺長艾利，但換來的卻是質疑，艾利并不相信籍籍無名的他。然而在兩年后，另一名青年勒威耶也計算出了同樣的數(shù)據(jù)，并把計算的結果給予了位于柏林天文臺的助理員卡勒，在那個值得銘記的夜晚，卡勒在計算出的位置上發(fā)現(xiàn)了第七顆行星海王星。從二十世紀三十年代以來，常微分方程的研究像是走上了快車道，迅速發(fā)展并建立起了多個分支。1927－1945年期間定性理論的主要研究是與無線電技術緊密聯(lián)系在一起的。在第二次世界大戰(zhàn)期間由于對通訊等方面的需求越來越高，極大地激發(fā)了對無線電技術的研究進展，尤其是對非線性振動理論的研究取得了迅速的發(fā)展。在四十年代之后各國大部分數(shù)學家們主要在研究對抽象動力系統(tǒng)的拓撲特征,例如閉軌的存在性、結構的穩(wěn)定性等,對于二維系統(tǒng)來說，我們可以通過一些方法證明他的結構穩(wěn)定性；而對于一般的系統(tǒng)來說這個問題依舊困擾著我們。在動力系統(tǒng)的研究方面,目前采用的辦法是從典范方程組到阻礙集有詳盡的理論指導,成功解決了一系列困擾人類多年的問題,其中最為突出的是C’封閉引理的證明,以及對結構穩(wěn)定性的充要條件等方面都作出了杰出貢獻。在當今社會，由于信息技術的飛速發(fā)展，大量的領域需要用到常微分方程組進行描述。前赴后繼的杰出的學者們，為了各種穩(wěn)定性及專業(yè)問題，終其一生都在研究常微分方程，也取得了不朽的成就，但依然有很大的疑問等著我們去解開。1.2二階常微分方程的介紹二階微分方程在時間上大致與微積分同時產生。對于初學者來說，這樣的問題就是最簡單的微分方程了。二階常系數(shù)線性微分方程是形如的微分方程。與其對應的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為，其中是實常數(shù)。若函數(shù)和之比為常數(shù)，稱和是線性相關的；若函數(shù)和之比不為常數(shù)，稱和是線性無關的。二階常微分方程的目的和意義就如上文所說，研究二階常微分方程已經取得了不少成就，尤其是在對方程的求解方面。與此同時的理論也經過大家的不懈努力，取得了豐碩的成果。但是對于進一步的發(fā)展所需，還是小巫見大巫，所以我們要更加努力的鉆研，努力地完善這門學科的理論系統(tǒng)。在數(shù)學的發(fā)展歷史中，數(shù)學分析占有非常重要的地位，我們大學學習的課程也都是以數(shù)學分析作為基礎，而微分方程正是數(shù)學分析的關鍵所在。同時它也發(fā)展出了數(shù)學分析中大部分思想以及理論。眾所周知的，常微分方程自始至終都是人類用來探索自然變換，研究自身社會結構，工程問題以及大自然的生態(tài)結構的便利的道具。常微分方程由于與現(xiàn)實生活息息相關，所以對其的研究一直沒有停止過，而且表現(xiàn)出欣欣向榮的活力。并且在多個學術領域中，常微分方程都占著決定性的作用，可以說常微分方程帶領著人類的進步。而二階常微分方程同樣在常微分方程的整套理論中有著彌足輕重的地位，在各個研究領域中都有十分廣泛的應用。2二階常系數(shù)常微分方程的幾種解法2.1特征方程法特征方程法中的特征方程，是為了對相對應的數(shù)學對象進行深入的研究而人為引入的一些等式，當研究的對象改變時，它也會改變，這其中包括數(shù)列特征方程，微分方程特征方程和積分方程特征方程等等。求微分方程的通解。解：特征方程的根,(1)若是兩個不相等的實根,那么上面這個微分方程就擁有兩個實值解,于是我們可以求得其通解為（為常數(shù)）.(2)若相等,則該方程有二重根,因此方程的通解具有形狀如（為常數(shù)）.(3)若為共軛復根的情況,則該方程的通解具有形狀（為常數(shù)）.在數(shù)學中，許多公式與定理都需要進行證明,下面本文給出前兩個解答的理論依據(jù)及證明過程。2.1.1特征根是兩個實根的情形設為該特征方程的兩個不等實根,那么我們可以得出與之對應的方程的兩個解為,我們確定這兩個解在上線性無關,所以它們能夠組成該方程的基本解組。事實上,這時,而上面最后一個行列式是著名的范德蒙德（Vandermonde）行列式,該行列式與相等。由于在之前假設了,所以此行列式不等于零,從而,于是得到線性無關,這就是要證明的結論。而該方程的通解即可表示為（其中為任意數(shù)）.2.1.2特征根為復根時討論這個特征方程含有復根的情況,首先這個方程的系數(shù)為實數(shù),同時也是常數(shù)，所以復根成對共軛出現(xiàn)。設是特征根之一,則就是第二個特征根,根據(jù)這兩個特征根我們就可以得到原方程的兩個不同的實值解:,.根據(jù)定理,我們得到的復值解的實部和虛部與方程的解相同。那么由于這一對共軛復根對應于特征方程,可以求得方程的兩個實值解.2.1.3特征根有重根的情形設特征方程有重根則易得,先設,表示特征方程有因子,于是,也就是該特征方程的形狀為,而與其對應的方程則變?yōu)?易得它有個解,,而它們是線性無關的。于是我們可以得出,特征方程中的重零根對應方程的個彼此線性無關的解,。當這個重根,我們作變量變換,可注意到，可得,于是可將對應方程化為,而其中仍為常數(shù),其相應的特征方程為,直接進行計算易得,因此,從而.通過這樣轉化,問題就化為前面所討論過的情況了。2.2常數(shù)變易法接下來我們要說的是求解微分方程的一種極其重要的方法,常數(shù)變易法。我們在求解一階線性微分方程時常常采用這種方法。這個辦法的大體思想，是通過將常數(shù)代入中來得到該方程的通解。看似簡單，但拉格朗日為之研究奮斗了年，而我們所如今所采用的僅僅是他所得出的結論，證明過程省略了。它在非齊次線性微分方程和與其對應的齊次線性微分方程之間起著重要的鏈接作用。我們這里討論的對一般二階常微分方程的求解,要先得出該方程的一個特解,再用我們上面講解的特征方程法求通解。例題求常微分方程的通解。解方程與其對應的齊次方程為,其特征方程為.由于的通解根據(jù)理論可以得到就等于這個方程所對應的齊次線性微分方程的通解與求出的它本身的一個特解之和，而我們已經討論了二階常系數(shù)齊次線性常微分方程的通解,所以只要再求出一個該方程本身的特解。若為該方程的實根,則為方程的解。根據(jù)常數(shù)變易法的其中一個解為,代入原方程并進行化簡得,這是即是關于的一階線性微分方程,而其一個特解為,從而得到上面方程的一個特解為.討論為該方程的復根的情況,可以設，則就是原方程的解，接下來用常數(shù)變易法設其中的一個特解為，通過運用情形1解得方程的一個特解為.由于是特解,所以積分常量可以都取零。2.3拉普拉斯變換法接下來要介紹的拉普拉斯變換法是一種積分變換法，又名為拉氏轉換法。它是一個法，通過因數(shù)為實數(shù)，的函數(shù)中的實數(shù)轉化為復數(shù)。在某些情形下一個實變量函數(shù)在中進行運算比較困難，若能將實變量函數(shù)進行拉普拉斯轉換，并在復數(shù)域中進行各種運算，再使用拉普拉斯反變換來求得該方程或函數(shù)在實數(shù)域中的相應結果，是一種簡便的計算方法。拉普拉斯轉換的運算步驟對于我們要求的解極其有效，它可以把微分方程轉化為較易求解的來進行處理，使計算大幅度簡化。在經典控制理論中，對于的分析但和綜合等，都是立足在拉普拉斯轉換的基礎上的。我們引入拉普拉斯變換有一個主要優(yōu)點，就是可以采用來代替常系數(shù)微分方程用以描述系統(tǒng)的特性。當我們要用圖解來測定某些控制系統(tǒng)的整體特性并且分析該控制系統(tǒng)的運動過程等情況時，可以用上這種方法，一般來說比較簡單。由積分.所定義的確定在復平面上的復變數(shù)的函數(shù),稱其為函數(shù)的拉普拉斯轉換,我們稱為原函數(shù),而將稱為像函數(shù)。拉普拉斯變換法主要是通過借助拉普拉斯變換將常微分方程轉化，使它成為復平面的代數(shù)方程。并通過一些簡單的代數(shù)運算,再利用拉普拉斯變換表,即可對微分方程進行求解。方法十分簡單方便,在現(xiàn)實生活中也經常被采用。但是這個方法也存在著些許不足，主要是只適用于右端函數(shù)為原函數(shù)的情況。求解方程.解首先使，將問題轉化為,再對新方程兩邊進行拉普拉斯變換,得到,因此,查閱拉普拉斯變換表可得,從而得到,這即為所要求的解。當然,求解二階或更高階的常微分方程我們能用的方法還有不少,這里由于篇幅我不能將其一一列出。但我們利用前面的一些結論就足以解決下面的幾個物理問題了。3二階常微分方程解法的應用上面介紹了解二階常微分方程常用的三種方法，為了更好的體現(xiàn)這三種方法的區(qū)別，我選取了一個比較簡單的動力學方程來進行求解。通常，在對物理問題求解時，我們有三個步驟：第一步是對該問題進行徹底分析從而能做到對方程的初步建立并且對定解條件進行明確；第二步是對其解的性質進行探究或者求出方程來滿足初始條件的特解；最后一步是定性分析對解，對原來的問題反過來進行解釋，其中最為關鍵的步驟就是要將方程列出，而能列出方程的方法主要有兩種，分別為微元分析法和瞬時變換法。但是在研究阻尼運動的過程中，求解運動方程一直是令人頭疼的問題。接下來我們就分別使用上述三個方法來求解這個動力學方程。3.1特征方程法在我們要研究的彈簧振子系統(tǒng)中，測定物體的阻尼系數(shù)，物體的質量為,該彈簧所具備的勁度系數(shù)為,根據(jù)上述條件，假設質點由靜止狀態(tài)逐步開始運動，對彈簧振子的位移方程進行求解。解：根據(jù)牛頓的第二運動定律我們可以得出或,由于相對來說振動系統(tǒng)這是在這之前給定的，其中包含的常量為，如果能夠確定,那么上面的方程式就可以轉變?yōu)椋?那么根據(jù)所得到的數(shù)據(jù)代入公式（3）我們就可以得到.通過對以上公式的仔細觀察和深入研究則可以得到對該方程進行求解能夠使用特征值法，得出其特征方程可以表述為：,并且在該特征方程當中包含有不同的兩個根,這樣相對應的公式的兩個根分別為那么根據(jù)公式進行計算可以即可得到固有角頻率數(shù)值為，此時阻尼系數(shù)值為,也就是說,于是方程的解可以表述為（初始條件可得數(shù)值）.通過公式，我們可以看出振子所保持的屬于一個非振動狀態(tài)，在這樣的背景下，我們要求的質點也只是在原先的不平衡位置逐漸恢復到平衡狀態(tài)當中，該質點并不具有周期振動的特征。由于我們的關注點是在情況下面,質點會呈現(xiàn)出逐漸衰減的振動。然而由于會受到阻尼作用的影響，他不能保持自由振動系統(tǒng)的長久運作，振動會逐漸衰減直至振動停止，如果我們要保持振動持續(xù)不停的狀態(tài)的話，該質子就需要從外界獲得運動必要的能量，在學術界將這種由于受到外部的持續(xù)作用而產生振動的情況稱為強迫振動。我們再舉一個例子：假如在以上的振動系統(tǒng)當中振子由于受到某個外力的作用，在公式之中表示的是該驅動力的幅度值，表示的是該驅動力所具有的圓頻率，即是該驅動力所保持的頻率。解：由于在質點振動系統(tǒng)當中會受到驅動力的作用，那么我們就可以得到關于系統(tǒng)振動的方程：,上述方程還可以表示為.表示的是在單位質量上該振子所受到的外力大小。而和這兩個式子都是強迫運動方程。我們觀察該式子的本質發(fā)現(xiàn)，他們屬于二階非齊次常系數(shù)微分方程，而根據(jù)定理我們對這個方程求解后所能得到的一般解同時也是該方程所能得到的一個特解和與該非齊次方程相對應的齊次方程的一般解之和。我們在前面求出了其相對應的自由振動方程的一般解，那么現(xiàn)在要做的就是找到方程的一個特解，將其代入方程就能得到方程：,在這里可以假設方程有著這樣的特解，將這個特別對方程替代進去并且將其簡化最終得到,通過比較同類項系數(shù)我們可以得到,這樣我們就可以進一步得出,而根據(jù)前面所得到的結果，可以將原方程的通解表示出來，為：.綜上所述，題目中給我們的條件決定的數(shù)值，之前的兩項為該方程的瞬態(tài)解，瞬態(tài)項對這整個系統(tǒng)所進行的自由衰減振動能夠進行有效的描述，然而只能在運動的開始階段起作用，在經過長時間的運動之后，它起到的影響會隨時間消逝并且在運動最后完全消失。而之后兩項所代表的穩(wěn)態(tài)解，描述的是強迫運動的狀態(tài)，由于幅值條件的固定，所以我們稱這樣的狀態(tài)為穩(wěn)定狀態(tài)。根據(jù)上面的公式，外力作用在質點上的時候，整個系統(tǒng)的振動狀態(tài)十分復雜，這時候的振動既包括了瞬態(tài)振動，也包括了穩(wěn)定振動，而這樣的振動狀態(tài)對于在強迫振動之中逐步建立起穩(wěn)態(tài)振動的過程進行有效的描述。在長時間的振動之后，瞬態(tài)振動終將消逝，這整個系統(tǒng)就會保持穩(wěn)態(tài)振動的狀態(tài)。3.2常數(shù)變易法從上面的分析之中我們可以了解到即是屬于特征方程的實根，于是我們就可以得到為屬于上面方程當中的一個根，之后通過運用常數(shù)變易法設置，在這一過程中我們也可以得到方程其中一個解為，將數(shù)值代入到方程當中并且對其進行簡化可以得到.屬于的一階線性微分方程,并且得到在該方程當中一個特解為,從而得出方程的一個特解為（取）,于是可得方程的通解為.由上面的結論可知.將題目數(shù)據(jù)代入公式中可以得到.通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，在進行該類求解的過程中要使用常數(shù)變易法，首先就是要求出公式，而在之前的探索當中已經可以得到公式的特征方程為.于是可以進一步的假設該特征方程的根為，那么即為公式的一個解。運用常數(shù)變易法可設為.這里套用情形1的解法，將代入并進行化簡得.由于是特解,所以積分常量可以為零。3.3拉普拉斯變換法依然使用上面的例子，通過牛頓第二運動定律可以得到,將公式代入數(shù)據(jù)之后我們可以得到,根據(jù)條件，質點由靜止狀態(tài)開始運動，我們可以得到以下的公式,對方程(12)進行拉普拉斯變換得到,即,將上式右端分解為部分分式.通過拉普拉斯變換表可得.4結論和啟示在本篇文章中，我們首先介紹了海王星的發(fā)現(xiàn)過程，并介紹了研究二階常微分方程的背景及研究現(xiàn)狀，之后重點總結了解二階常微分方程最具有代表性的三種不同的解法，特征值法，常數(shù)變易法和拉普拉斯轉換法，并且進行了一定程度的探究。在特征方程法中，我們通過研究特征方程的特征根的情況，來判斷原方程的根的情況。若相等,即該方程有二重根，這是第一種解的情況。而為共軛復根時，為第二種情況，并給出了這兩種情況的證明過程。常數(shù)變易法則是使用了常數(shù)代入的方法，并且提出了定理，原方程的通解就等于這個方程相對應的齊次線性微分方程的通解，同時也運用了特征方程法的思想。最后我們介紹了比較簡便的拉普拉斯變換法，它是一個法，通過因數(shù)為實數(shù)，的函數(shù)中的實數(shù)轉化為復數(shù)來進行運算。對某些情況下的實變量函數(shù)進行拉普拉斯轉換，使得我們能在復數(shù)域中對其進行各種運算，最后再使用拉普拉斯反變換，得出結果，這是一種簡便的計算方法。該運算步驟對我們這篇文章要求解的是相對來說最好的辦法，它可以把微分方程轉化為較易求解的來進行處理，使我們不用再進行繁瑣的計算。之后我們用這三種方法求解了彈簧振子的運動方程，以此來比較三種方法的相同點與不同點。并且通過這個方程的解答，體現(xiàn)出了二階常微分方程與我們的生活息息相關的特性。由于篇幅及本人專業(yè)知識的限制，無法進行更深層次的探究，比如求解二階常微分方程還有一種冪級數(shù)解法，但是它的解題過程非常繁瑣，對計算的要求很高，計算量比較大，還要考慮該函數(shù)是否解析以及冪級數(shù)在某個區(qū)間是否收斂等問題，所以在此不做討論。二階常微分方程研究的道路遠不止此，在這個時代，二階常微分方程被廣泛應用于網絡，軍事，醫(yī)學等各種高科技領域，對二階常微分方程的研究，是對目前社會發(fā)展的推進。類似于本篇中寫出的彈簧振子方程，研究二階常微分方程不僅能夠推進自身學科的進步，還能提升別的學科的發(fā)展速度，它的各個分支學科也與人類生活息息相關。總而言之，在高速發(fā)展的現(xiàn)代，常微分方程的研究工作雖然仍有很長的路要走，但由于其重要性不言而喻，所以我們要全身心的投入到研究中去。對于二階常微分方程，目前并沒有研究出通用的求解辦法，只能對少數(shù)特殊情況的方程進行求解。這無論是對現(xiàn)實生活還是研究工作都是非常不利的，所以對常微分方程的求解問題，任重而道遠。我們唯有腳踏實地，艱苦奮斗，為了人類更好的明天而努力。而通過本次論文的寫作，我也明白了有志者事竟成這個道理，無論是開頭講的海王星的發(fā)現(xiàn)，還是在寫作過程中讀到的各個偉人的事跡，都告訴我只要努力了，終會得到回報，或許得到的回報有大有小，甚至為目標努力奮斗了許久卻仍未得到回報，這時更不能放棄，繼續(xù)做下去還有希望，而如果放棄了得到的就一定是失敗。然而，不相信自己的人，沒有努力的價值，所以，相信自己，勇敢拼搏，最終定能獲得成功。在對這篇作文的寫作過程中，對物理學方程的研究遇到了一些麻煩，因為我的物理學知識比較薄弱。但是通過同學、老師的幫助，再在網絡及學校圖書館翻閱了各種文獻之后，我還是成功的做成了。這讓我想到了，在今后的教育工作中，我應該保持這種勇于探索的精神，不能以非專業(yè)，沒學過為借口來逃避，而是盡到一名教師應盡的責任。謝辭時間如白駒過隙，還未來得及細細品味，大學生活就已經尾聲，四年的努力與付出，伴隨這