天津市河東區(qū)2022屆高三數(shù)學下學期二模試卷-附答案

2022年河東區(qū)高考第二次模擬考試數(shù)學試卷一、選擇題：（本題共9個小題，每小題5分，共5分，每小題給出的四個選項只有一個符合題目要求．）1.設集合，，，則（）A. B. C. D.D【分析】利用交集和補集的定義可求得結果.【詳解】由已知可得，.故選：D.2.已知命題，命題，則命題p是命題q成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件A【分析】解不等式，再根據(jù)充分、必要條件的判定方法，即可得到結果.【詳解】解不等式，可得，又，所以命題是命題成立的充分不必要條件.故選：A．3.函數(shù)在的圖象大致為A. B.C. D.C【詳解】，為偶函數(shù)，則B、D錯誤；又當時，，當時，得，則則極值點，故選C．點睛：復雜函數(shù)的圖象選擇問題，首先利用對稱性排除錯誤選項，如本題中得到為偶函數(shù)，排除B、D選項，在A、C選項中，由圖可知，雖然兩個圖象在第一象限都是先增后減，但兩個圖象的極值點位置不同，則我們采取求導來判斷極值點的位置，進一步找出正確圖象．4.為了解一片經(jīng)濟樹林的生長情況，隨機測量了其中100株樹木的底部周長（單位：cm），根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示．那么在這100株樹木中，底部周長小于110cm的株數(shù)n是A.30 B.60C.70 D.80C【詳解】解：由圖可知：則底部周長小于110cm段的頻率為（0.01+0.02+0.04）×10=0.7，則頻數(shù)為100×0.7=70人．故選C．5.設，，，則a，b，c大小關系為（）A. B. C. D.D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較的大小即可.【詳解】由，即，又，可得，即，∴.故選：D.6.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結構樣式，多見于亭閣式建筑、園林建筑．下面以圓形攢尖為例．如圖所示的建筑屋頂可近似看作一個圓錐，其軸截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是底邊長為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)捏w積約為（）A. B. C. D.B【分析】根據(jù)給定條件求出圓錐的高，再利用圓錐體積公式計算即可得解.【詳解】依題意，該圓形攢尖的底面圓半徑，高，則()，所以該屋頂?shù)捏w積約為.故選：B7.已知離心率為的雙曲線的左、右焦點分別是，若點是拋物線的準線與的漸近線的一個交點，且滿足，則雙曲線的方程是A. B. C. D.C【分析】分別求出四個選項中雙曲線的離心率，判斷是否為，利用排除法可得結果.【詳解】對于，的離心率為，不合題意；對于，的離心率為，不合題意；對于，的離心率為，不合題意；對于，的離心率為，符合題意.故選C.本題主要考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查了拋物線的方程與性質(zhì)，考查了選擇題的特殊解法，屬于中檔題.用特例代替題設所給的一般性條件，得出特殊結論，然后對各個選項進行檢驗，從而做出正確的判斷，這種方法叫做特殊法.若結果為定值，則可采用此法.特殊法是“小題小做”的重要策略，排除法解答選擇題是高中數(shù)學一種常見的解題思路和方法，這種方法即可以提高做題速度和效率，又能提高準確性.8.已知函數(shù)的最小正周期為，且它的圖象關于直線對稱，則下列說法正確的個數(shù)為（）①將的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象；②的圖象經(jīng)過點；③的圖象的一個對稱中心是；④在上是減函數(shù)；A. B. C. D.B【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由最小正周期為，得；由為對稱軸，得，，故取1，，所以；①的圖象向右平移個單位長度后，得，錯誤；②,正確；③，正確；④，不單調(diào)，錯誤故選：B9.已知函數(shù)，若方程有4個實根，則的取值范圍是A. B. C. D.D【詳解】當時，，當時，，當時，，所以設，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，，當時，，單調(diào)遞增，，如圖，畫出函數(shù)的圖象，此時，若有四個不同的交點，需滿足，故選D.本題考查了函數(shù)的性質(zhì)以及根據(jù)函數(shù)圖象求零點個數(shù)的問題，也是高考?？嫉降念}型，本題的難點是含絕對值的問題怎么處理，一般來說，需要去絕對值時，根據(jù)零點分段法先去絕對值，得到分段函數(shù)，若是畫的圖象，需先畫，再將函數(shù)在軸的下部分翻上去，根據(jù)圖象求與其交點個數(shù)，求參數(shù)取值范圍.二、填空題：（本大題共6個小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．）10.i是虛數(shù)單位，則復數(shù)___________.【分析】對復數(shù)進行分母實數(shù)化即可化簡.【詳解】11.在的二項展開式中，含的項的系數(shù)是_______．（用數(shù)字作答）240【分析】先得到通項，再根據(jù)系數(shù)得到項數(shù)，然后計算即可.【詳解】根據(jù)二項式定理,的通項為，當時,即時,可得.即項的系數(shù)為.故答案為.12.圓與圓的公共弦長為________．【分析】兩圓方程相減得公共弦據(jù)直線方程，然后求出一個圓心到該直線距離，由勾股定理得弦長．【詳解】兩圓方程相減得，即，原點到此直線距離為，圓半徑為，所以所求公共弦長為．故答案為：．本題考查兩圓公共弦長，解題關鍵是求出公共弦所在直線方程．13.甲、乙、丙三人投籃的命中率分別為，，，現(xiàn)要求三人各投籃一次.假設每人投籃相互獨立，則至少有一人命中的概率為______；記三人命中總次數(shù)為，則______.①.；②.【分析】根據(jù)相互對立事件概率及相互獨立事件的概率公式可求至少有一人命中的概率；先求出隨機變量的取值情況及相應的概率，然后結合期望公式可求．【詳解】解：由題意得，至少有一人命中的概率，由題意得的可能取值為0，1，2，3，，，，，．故答案為：，．14.設正實數(shù)滿足，則的最小值為_______．【分析】將中的值進行代換，再結合均值不等式性質(zhì)，即可求解【詳解】由，則故最小值為要熟悉均值不等式的一般形式和變形式，涉及拼湊法時，一定要注意等價性，不可多項或少項15.在中，點M，N是線段上的兩點，，，則_______________，的取值范圍是______________.①.；②..【分析】由題意，先算出的值，再根據(jù)，即可得的值；然后由向量數(shù)量積的定義及，可得，對點利用極端分析，算出，的值，即可得到的取值范圍．【詳解】解：由題意，，，，又，，，，由題意，，則為外接圓的圓心，則.因為點在線段上，所以①假設點與點重合，則，與矛盾，所以②假設點與點重合，則，，，，，，即，，假設點與點重合，則，，，此時，，綜上，，，，，，即，故答案為：；．關鍵點點睛：根據(jù)點在線段上，所以分點與三個特殊點、、重合進行極端分析，從而求解.三、解答題：（本大題5個題，共75分）16.在中，角的對邊分別為，，，的面積為．（1）求及的值；（2）求的值．（1）,；（2）.【詳解】試題分析：（1）由，，的面積為可求得的值，利用余弦定理可求得，再利用正弦定理可求得的值；（2）利用（1）的結論，由同角三角函數(shù)之間的關系可求得,再利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角差的正弦公式可得的值.試題解析：（1）由已知，，，且，，在中，，.（2），又，，，.17.如圖所示，直角梯形ABCD中，，AD垂直AB，，四邊形EDCF為矩形，，平面平面ABCD．（1）求證：∥平面ABE；（2）求平面ABE與平面EFB所成二面角的正弦值；（3）在線段DF上是否存在點P，使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為，若存在，求出線段BP的長，若不存在，請說明理由．（1）證明見解析（2）（3）存在，且，理由見解析【分析】（1）取為原點，所在直線為軸，過點且平行于直線的直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，求平面的一個法向量，求得，由，即可求證平面；（2）求得平面的一個法向量，根據(jù)，可求得答案；（3）設，求向量與平面的法向量所成角的余弦值，列出方程求解，即可得出的值，從而可求出結果.【小問1詳解】取為原點，所在直線為軸，過點且平行于直線的直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，設平面的一個法向量為，由得，不妨設，則，，又，，，又平面，平面.【小問2詳解】，，設平面的一個法向量為，由得，不妨設，則，，，則，，平面與平面所成二面角的正弦值為.【小問3詳解】存在，理由如下，設，則，所以，又平面的一個法向量為，即直線與平面所成角為，則，整理得，解得或，當時，，則；當時，，則；綜上，即在線段上存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時線段的長為.18.已知等比數(shù)列前n項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列及數(shù)列的前n項和．（3）設，求的前2n項和．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由及可得q的值，由可得的值，可得數(shù)列的通項公式；（2）由可得，可得=，利用錯位相減法即得；（3）可得，利用裂項相消法即得.【小問1詳解】由題意得：，可得，∴，由，可得，由，可得，∴，可得；【小問2詳解】由，可得，由，可得，∴，可得的通項公式：=，可得：，，∴，∴；【小問3詳解】由，可得，可得：.19.橢圓C：的離心率，．（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設MN的斜率為m，BP的斜率為n，證明：為定值．（1）（2）證明見解析【分析】（1）由橢圓的離心率求得，由，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后解出P點坐標，兩直線方程聯(lián)立解出M點坐標，由D，P，N三點共線解出N點坐標，由兩點求斜率得到MN的斜率m，代入化簡整理即可得到為定值．【小問1詳解】由橢圓離心率，則，又，解得：，，則橢圓的標準方程為：；【小問2詳解】證明：因為，P不為橢圓頂點，則可設直線BP的方程為聯(lián)立整理得．則，故，則．所以又直線AD的方程為．聯(lián)立，解得由三點，共線，得，所以．的斜率為．則．為定值．20.已知函數(shù)（且）．（1），求函數(shù)在處的切線方程．（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)有兩個零點，且，證明：．（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）利用導數(shù)求出切線的斜率，利用點斜式寫出切線方程；（2）求出導函數(shù)，對a分類討論：a<0和a>0分別討論單調(diào)性；（3）本題屬于極值點偏移，利用分析法轉(zhuǎn)化為只要證明f(2e-x2)>0，由構造函數(shù)，利用導數(shù)證明出g(t)在(e，2e)上是遞增的，得到g(t)>g(e)=0即為f(2e-x2)>0.【小問1詳解】當時，，所以.，所以.所以函數(shù)在處的切線方程為，即.【小問2詳解】的定義域為(0，+∞)，.當a<0時，恒成立，所以在(0，+∞)上單調(diào)遞減；當a>0時，.在上，，所以單調(diào)遞減；在上，，所以單調(diào)遞增.【小問3詳解】當，.由(2)知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由題意可得.由及得.欲證x1+x2>2e，只要x1>2e-x2，注意到f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減