初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案免費(fèi)6

中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2007年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分.以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請將正確選項(xiàng)的代號填入題后的括號里.不填、多填或錯填得零分）1．方程組的解的個(gè)數(shù)為（）．（A）1（B）2（C）3（D）4答：（A）．解：若≥0，則于是，顯然不可能．若，則于是，解得，進(jìn)而求得．所以，原方程組的解為只有1個(gè)解．故選（A）．2．口袋中有20個(gè)球，其中白球9個(gè)，紅球5個(gè)，黑球6個(gè)．現(xiàn)從中任取10個(gè)球，使得白球不少于2個(gè)但不多于8個(gè)，紅球不少于2個(gè)，黑球不多于3個(gè)，則上述取法的種數(shù)是（）．（A）14（B）16（C）18（D）20答：（B）．解：用枚舉法：紅球個(gè)數(shù)白球個(gè)數(shù)黑球個(gè)數(shù)種數(shù)52，3，4，53，2，1，0443，4，5，63，2，1，0434，5，6，73，2，1，0425，6，7，83，2，1，04所以，共16種．故選（B）．3．已知△為銳角三角形，⊙經(jīng)過點(diǎn)B，C，且及邊AB，AC分別相交于點(diǎn)D，E．若⊙的半徑及△的外接圓的半徑相等，則⊙一定經(jīng)過△的（）．（A）內(nèi)心（B）外心（C）重心（D）垂心答：（B）．解：如圖，連接BE，因?yàn)椤鳛殇J角三角形，所以，均為銳角．又因?yàn)椤训陌霃郊啊鞯耐饨訄A的半徑相等，且為兩圓的公共弦，所以．于是，．（第3題答案圖）若△的外心為，則，所以，⊙一定過△的外心．（第3題答案圖）故選（B）．4．已知三個(gè)關(guān)于x的一元二次方程恰有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，則的值為（）．（A）0（B）1（C）2（D）3答：（D）．解：設(shè)是它們的一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，則把上面三個(gè)式子相加，并整理得因?yàn)椋裕谑枪蔬x（D）．5．方程的整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)是（）．（A）0（B）1（C）3（D）無窮多答：（A）．解：原方程可化為因?yàn)槿齻€(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù)，所以上式左邊是3的倍數(shù)，而右邊除以3余2，這是不可能的．所以，原方程無整數(shù)解．故選(A).二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6．如圖，在直角三角形ABC中，，CA＝4．點(diǎn)P是半圓弧AC的中點(diǎn)，連接BP，線段BP把圖形APCB分成兩部分，則這兩部分面積之差的絕對值是．答：4．解：如圖，設(shè)AC及BP相交于點(diǎn)D，點(diǎn)D關(guān)于圓心O的對稱點(diǎn)記為點(diǎn)E，線段BP把圖形APCB分成兩部分，這兩部分面積之差的絕對值是△BEP的面積，即△BOP面積的兩倍．而（第6題答案圖）．（第6題答案圖）因此，這兩部分面積之差的絕對值是4．7．如圖,點(diǎn)A，C都在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B，D都在軸上，且使得△OAB，△BCD都是等邊三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．答：（，0）．（第7題答案圖）解：如圖，分別過點(diǎn)A，C作x軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．設(shè)OE＝a，BF＝b，則AE＝，CF＝，所以，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)為（第7題答案圖）（，），（2＋b，），所以解得因此，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）．8．已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，0）．若二次函數(shù)的圖象及線段AB恰有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是．答：≤，或者．解：分兩種情況：（Ⅰ）因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象及線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)，且點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，0），所以得．由，得，此時(shí)，，符合題意；由，得，此時(shí)，，不符合題意．（Ⅱ）令，由判別式，得．當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意．綜上所述，的取值范圍是≤，或者．9．如圖，，則n＝．答：6．解：如圖，設(shè)AF及BG相交于點(diǎn)Q，則于是（第9題答案圖）．（第9題答案圖）所以，n＝6．10．已知對于任意正整數(shù)n，都有則．答：．解：當(dāng)≥2時(shí)，有兩式相減，得，所以因此三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）11（A）．已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（0，1），（0，－1），點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)．（1）判斷以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓及直線的位置關(guān)系；（2）設(shè)直線PM及拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接NP，NQ，求證：．解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則PM＝;又因?yàn)辄c(diǎn)P到直線的距離為，所以，以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓及直線相切．…………5分（第11A題答案圖）（2）如圖，分別過點(diǎn)P，Q作直線的垂線，垂足分別為H，R．由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．（第11A題答案圖）因?yàn)镻H，MN，QR都垂直于直線，所以，PH∥MN∥QR，于是所以，因此，Rt△∽Rt△．于是，從而．…………15分12（A）．已知a，b都是正整數(shù)，試問關(guān)于x的方程是否有兩個(gè)整數(shù)解？如果有，請把它們求出來；如果沒有，請給出證明.解：不妨設(shè)≤b，且方程的兩個(gè)整數(shù)根為(≤)，則有所以，…………5分因?yàn)?b都是正整數(shù)，所以x1，x2均是正整數(shù)，于是，≥0,≥0，≥1,≥1，所以或（1）當(dāng)時(shí)，由于a,b都是正整數(shù)，且≤b，可得a＝1，b＝3，此時(shí)，一元二次方程為，它的兩個(gè)根為，．（2）當(dāng)時(shí)，可得a＝1，b＝1，此時(shí)，一元二次方程為，它無整數(shù)解.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，題設(shè)方程有整數(shù)解，且它的兩個(gè)整數(shù)解為，．……………15分13（A）．已知AB為半圓O的直徑，點(diǎn)P為直徑AB上的任意一點(diǎn)．以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作⊙A，⊙A及半圓O相交于點(diǎn)C；以點(diǎn)B為圓心，BP為半徑作⊙B，⊙B及半圓O相交于點(diǎn)D，且線段CD的中點(diǎn)為M．求證：MP分別及⊙A與⊙B相切．（第13A題答案圖）證明：如圖，連接AC，AD，BC，BD，并且分別過點(diǎn)C，D作AB的垂線，垂足分別為，則CE∥DF．（第13A題答案圖）因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以在Rt△與Rt△中，由射影定理得……………5分兩式相減可得又，于是有，即，所以，也就是說，點(diǎn)P是線段EF的中點(diǎn)．因此，MP是直角梯形的中位線，于是有，從而可得MP分別及⊙A與⊙B相切．……………15分14（A）．（1）是否存在正整數(shù)m，n，使得？（2）設(shè)(≥3)是給定的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)m，n，使得解：（1）答案是否定的．若存在正整數(shù)m，n，使得，則顯然，于是所以，不是平方數(shù)，矛盾．……………5分（2）當(dāng)時(shí)，若存在正整數(shù)m，n，滿足，則而，故上式不可能成立．………………10分當(dāng)≥4時(shí)，若（t是不小于2的整數(shù)）為偶數(shù)，取則，因此這樣的（m，n）滿足條件．若＋1（t是不小于2的整數(shù)）為奇數(shù)，取則，因此這樣的（m，n）滿足條件．綜上所述，當(dāng)時(shí)，答案是否定的；當(dāng)≥4時(shí)，答案是肯定的．……………15分注：當(dāng)≥4時(shí)，構(gòu)造的例子不是唯一的．11（B）．已知拋物線：與拋物線：相交于A，B兩點(diǎn).點(diǎn)P在拋物線上，且位于點(diǎn)A與點(diǎn)B之間；點(diǎn)Q在拋物線上，也位于點(diǎn)A與點(diǎn)B之間.（1）求線段AB的長；（2）當(dāng)PQ∥y軸時(shí)，求PQ長度的最大值．解：（1）解方程組得所以，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-2，6），（2，-6）．于是…………5分（2）如圖，當(dāng)PQ∥y軸時(shí)，設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為因此PQ≤8，當(dāng)時(shí)等號成立，所以，PQ的長的最大值8．（第11B題答案圖）……………15分（第11B題答案圖）12（B）．實(shí)數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，且，abc＝1．求最大的實(shí)數(shù)k，使得不等式恒成立．解：當(dāng)，時(shí)，實(shí)數(shù)a，b，c滿足題設(shè)條件，此時(shí)≤4．……………5分下面證明：不等式≥對滿足題設(shè)條件的實(shí)數(shù)a，b，c恒成立．由已知條件知，a，b，c都不等于0，且．因?yàn)樗浴埽梢辉畏匠谈跋禂?shù)的關(guān)系知，a，b是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，于是≥0，所以≤．……………10分因此……………15分13（B）．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊AD，BC的延長線上，且滿足．若，的延長線相交于點(diǎn)，△的外接圓及△的外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD．求證：（1）；（2）△∽△．證明：（1）連接PE，PF，PG，因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋杂谑怯?，從而△∽△，所以．（?3B題答案圖）（第13B題答案圖）………………10分（2）由于，結(jié)合（1）知，△∽△，從而有所以，因此△∽△．………………15分14（B）．證明：對任意三角形，一定存在兩條邊，它們的長u，v滿足1≤．證明：設(shè)任意△ABC的三邊長為a，b，c，不妨設(shè)．若結(jié)論不成立，則必有≥，eq\o\ac(○,1)≥．eq\o\ac(○,2)………………5分