2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)解析試卷(理科)(全國2卷)

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專心---專注---專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，0，1，2，，，0，，，，則A.， B．，， C．，，0， D．，，，，2．若為第四象限角，則A． B． C． D．3．在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05,志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名4．北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊5．若過點(diǎn)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為A． B． C． D．6．?dāng)?shù)列中，，．若，則A．2 B．3 C．4 D．57．如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點(diǎn)在正視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為A． B． C． D．8．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)．若的面積為8，則的焦距的最小值為A．4 B．8 C．16 D．329．設(shè)函數(shù)，則A．是偶函數(shù)，且在，單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在，單調(diào)遞減 C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減10．已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球的球面上．若球的表面積為，則到平面的距離為A． B． C．1 D．11．若，則A． B． C． D．12．周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用．若序列滿足，，2，，且存在正整數(shù)，使得，2，成立，則稱其為周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期．對于周期為的序列，，2，，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo).下列周期為5的序列中，滿足的序列是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知單位向量，的夾角為，與垂直，則．14．4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有種．15．設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則．16．設(shè)有下列四個命題：：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)．：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個平面．：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行．：若直線平面，直線平面，則．則下述命題中所有真命題的序號是．①②③④三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）中，．（1）求；（2）若，求周長的最大值．18．（12分）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，，2，，，其中和分別表示第個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，．（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本，，2，，的相關(guān)系數(shù)（精確到；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關(guān)系數(shù)，．19．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，的中心與的頂點(diǎn)重合，過且與軸垂直的直線交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，且．（1）求的離心率；（2）設(shè)是與的公共點(diǎn)，若，求與的標(biāo)準(zhǔn)方程．20．（12分）如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是是矩形．，分別為，的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，過和的平面交于，交于．（1）證明：，且平面平面；（2）設(shè)為△的中心，若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）已知函數(shù)．（1）討論在區(qū)間的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)，證明：．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做第一題計分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．（10分）已知曲線，的參數(shù)方程分別為為參數(shù)），為參數(shù)）．（1）將，的參數(shù)方程化為普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．設(shè)，的交點(diǎn)為，求圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)和的圓的極坐標(biāo)方程．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍．

2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，0，1，2，，，0，，，，則A.， B．，， C．，，0， D．，，，，【思路分析】先求出，再根據(jù)補(bǔ)集得出結(jié)論．【解析】：集合，，0，1，2，，，0，，，，則，則.故選：．【總結(jié)與歸納】本題主要考查集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．若為第四象限角，則A． B． C． D．【思路分析】先求出是第三或第四象限角或為軸負(fù)半軸上的角，即可判斷．【解析】：為第四象限角，則，，則，是第三或第四象限角或為軸負(fù)半軸上的角，，故選：．【總結(jié)與歸納】本題考查了角的符號特點(diǎn)，考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．3．在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05,志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【思路分析】由題意可得至少需要志愿者為名．【解析】：第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，就按1600份計算，第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95就按1200份計算，因為公司可以完成配貨1200份訂單，則至少需要志愿者為名，故選：．【總結(jié)與歸納】本題考查了等可能事件概率的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【思路分析】由題意可得從內(nèi)到外每環(huán)之間構(gòu)成等差數(shù)列，且公差，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出，再根據(jù)前項和公式即可求出．【解析】：設(shè)每一層有環(huán)，由題意可知從內(nèi)到外每環(huán)之間構(gòu)成等差數(shù)列，且公差，，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，成等差數(shù)列，且，則，則，則三層共有扇面形石板塊，故選：．【總結(jié)與歸納】本題考查了等差數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用，考查了分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．5．若過點(diǎn)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為A． B． C． D．【思路分析】由已知設(shè)圓方程為，代入，能求出圓的方程，再代入點(diǎn)到直線的距離公式即可．【解析】：由題意可得所求的圓在第一象限，設(shè)圓心為，則半徑為，．故圓的方程為，再把點(diǎn)代入，求得或1，故要求的圓的方程為或．故所求圓的圓心為或；故圓心到直線的距離或；故選：．【總結(jié)與歸納】本題主要考查用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，求出圓心坐標(biāo)和半徑的值，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．6．?dāng)?shù)列中，，．若，則A．2 B．3 C．4 D．5【思路分析】在已知數(shù)列遞推式中，取，可得，則數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前項和公式列式求解．【解析】：由，且，取，得，，則數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則，，，即．故選：．【總結(jié)與歸納】本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列前項和的求法，是中檔題．7．如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點(diǎn)在正視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為A． B． C． D．【思路分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖，進(jìn)一步求出圖形中的對應(yīng)點(diǎn)．【解析】：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖：根據(jù)三視圖和幾何體的的對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用，這個多面體某條棱的一個端點(diǎn)在正視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，所以在側(cè)視圖中與點(diǎn)對應(yīng)．故選：．【總結(jié)與歸納】本題考查的知識要點(diǎn)：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換、主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．8．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)．若的面積為8，則的焦距的最小值為A．4 B．8 C．16 D．32【思路分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，根據(jù)面積求出，再根據(jù)基本不等式即可求出．【解析】：由題意可得雙曲線的漸近線方程為，分別將，代入可得，即，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的焦距的最小值為，故選：．【總結(jié)與歸納】本題考查了雙曲線的方程和基本不等式，以及漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題．9．設(shè)函數(shù)，則A．是偶函數(shù)，且在，單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在，單調(diào)遞減 C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【思路分析】求出的取值范圍，由定義判斷為奇函數(shù)，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)變形，再判斷內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得答案．【解析】：由，得．又，為奇函數(shù)；由，．可得內(nèi)層函數(shù)的圖象如圖，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，則，上單調(diào)遞減．又對數(shù)式是定義域內(nèi)的增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，在上單調(diào)遞減．故選：．【總結(jié)與歸納】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，是中檔題．10．已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球的球面上．若球的表面積為，則到平面的距離為A． B． C．1 D．【思路分析】畫出圖形，利用已知條件求三角形的外接圓的半徑，然后求解即可．【解析】：由題意可知圖形如圖：是面積為的等邊三角形，可得，，可得：，球的表面積為，外接球的半徑為：，解得，所以到平面的距離為：．故選：．【總結(jié)與歸納】本題考查球的內(nèi)接體問題，求解球的半徑，以及三角形的外接圓的半徑是解題的關(guān)鍵．11．若，則A． B． C． D．【思路分析】由，可得，令，則在上單調(diào)遞增，且，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，的大小關(guān)系，結(jié)合選項即可判斷．【解析】：由，可得，令，則在上單調(diào)遞增，且，所以，即，由于，故，故選：．【總結(jié)與歸納】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性在比較變量大小中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．12．周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用．若序列滿足，，2，，且存在正整數(shù)，使得，2，成立，則稱其為周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期．對于周期為的序列，，2，，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo).下列周期為5的序列中，滿足的序列是A． B． C． D．【思路分析】分別為4個選項中，2，3，4進(jìn)行討論，若有一個不滿足條件，就排除；由題意可得周期都是5，每個答案中都給了一個周期的排列，若需要下個周期的排列，繼續(xù)寫出，如答案中的排列為100011000110001【解析】：對于選項：序列1101011010（1），（2），不滿足故排除；對于選項：序列1101111011（1），不滿足條件，排除；對于選項：序列100011000110001（1），（2），（3），（4），符合條件，對于選項：序列1100111001（1）不滿足條件．故選：．【總結(jié)與歸納】本題考查序列的周期性及對5個兩項乘積之和的求法，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知單位向量，的夾角為，與垂直，則．【思路分析】由已知求得，再由與垂直，可得，展開即可求得值．【解析】：向量，為單位向量，且，的夾角為，，又與垂直，，即，則．故答案為：．【總結(jié)與歸納】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．14．4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有36種．【思路分析】先從4人中選出2人作為一組有種方法，再與另外2人一起進(jìn)行排列有種方法，相乘即可【解析】：因為有一小區(qū)有兩人，則不同的安排方式共有種．故答案為：36．【總結(jié)與歸納】本題考查排列組合及分步計數(shù)原理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．15．設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則．【思路分析】利用復(fù)數(shù)模的計算公式和復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求解即可．【解析】：復(fù)數(shù)，滿足，，所以，，．得．．又，故．故答案為：．【總結(jié)與歸納】熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和純虛數(shù)的定義、復(fù)數(shù)模的計算公式設(shè)解題的關(guān)鍵．16．設(shè)有下列四個命題：：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)．：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個平面．：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行．：若直線平面，直線平面，則．則下述命題中所有真命題的序號是①③④．①②③④【思路分析】根據(jù)空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系對四個命題分別判斷真假即可得到答案．【解析】：設(shè)有下列四個命題：：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)．根據(jù)平面的確定定理可得此命題為真命題，：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個平面．若三點(diǎn)在一條直線上則有無數(shù)平面，此命題為假命題，：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行，也有可能異面的情況，此命題為假命題，：若直線平面，直線平面，則．由線面垂直的定義可知，此命題為真命題；由復(fù)合命題的真假可判斷①為真命題，②為假命題，③為真命題，④為真命題，故真命題的序號是：①③④，故答案為：①③④，【總結(jié)與歸納】本題以命題的真假判斷為載體，考查了空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）中，．（1）求；（2）若，求周長的最大值．【思路分析】（1）運(yùn)用余弦定理和特殊角的三角函數(shù)值，可得所求角；（2）運(yùn)用正弦定理和三角函數(shù)的和差公式，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得所求最大值．【解析】：（1）設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，因為，由正弦定理可得，即為，由余弦定理可得，由，可得；（2）解法一：由題意可得，又，可設(shè)，，，由正弦定理可得，可得，，則周長為，，當(dāng)，即時，的周長取得最大值．解法二(賀雷穎老師補(bǔ)解)：由（1）得，由題意可得，由余弦定理得，可得，.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，的周長取得最大值為【總結(jié)與歸納】本題考查三角形的正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換和圖象與性質(zhì)，考查方程思想和化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．（12分）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，，2，，，其中和分別表示第個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，．（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本，，2，，的相關(guān)系數(shù)（精確到；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關(guān)系數(shù)，．【思路分析】（1）由已知數(shù)據(jù)求得20個樣區(qū)野生動物數(shù)量的平均數(shù)，乘以200得答案；（2）由已知直接利用相關(guān)系數(shù)公式求解；（3）由各地塊間植物覆蓋面積差異很大可知更合理的抽樣方法是分層抽樣．【解析】：（1）由已知，，個樣區(qū)野生動物數(shù)量的平均數(shù)為，該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為；（2），，，；（3）更合理的抽樣方法是分層抽樣，根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進(jìn)行分層抽樣．理由如下：由（2）知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計．【總結(jié)與歸納】本題考查簡單的隨機(jī)抽樣，考查相關(guān)系數(shù)的求法，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．19．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，的中心與的頂點(diǎn)重合，過且與軸垂直的直線交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，且．（1）求的離心率；（2）設(shè)是與的公共點(diǎn)，若，求與的標(biāo)準(zhǔn)方程．【思路分析】（1）由為的焦點(diǎn)且軸，為的焦點(diǎn)且軸，分別求得的坐標(biāo)和，，由已知條件可得，，，的方程，消去，結(jié)合，，和的關(guān)系，解方程可得的值；（2）由（1）用表示橢圓方程和拋物線方程，聯(lián)立兩曲線方程，解得的橫坐標(biāo)，再由拋物線的定義，解方程可得，進(jìn)而得到所求曲線方程．【解析】：（1）因為為的焦點(diǎn)且軸，可得，，設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為為的焦點(diǎn)且軸，所以，，，因為，，的焦點(diǎn)重合，所以，消去，可得，所以，所以，設(shè)的離心率為，由，則，解得舍去），故的離心率為；（2）由（1）可得，，，所以，，聯(lián)立兩曲線方程，消去，可得，所以，解得或（舍去），從而，解得，所以和的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為，．【總結(jié)與歸納】本題考查拋物線和橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（12分）如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是是矩形．，分別為，的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，過和的平面交于，交于．（1）證明：，且平面平面；（2）設(shè)為△的中心，若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．【思路分析】（1）推導(dǎo)出，四邊形為矩形，，從而，由此能證明，且平面平面．（2）推導(dǎo)出，從而，四邊形為平行四邊形，，，，直線在平面內(nèi)的投影為，從而直線與平面所成角即為等腰梯形中與所成角，由此能求出直線與平面所成角的正弦值．【解析】：（1）證明：，分別為，的中點(diǎn)，底面為正三角形，，四邊形為矩形，，，，，，，，平面，平面，平面平面，綜上，，且平面平面．（2）解法一(賀雷穎老師補(bǔ)解)：：連接，平面平面平面四邊形為平行四邊形，設(shè)為的中心，且,當(dāng)點(diǎn)變化時，梯形形狀不變，故直線與平面所成角不變，所以不妨設(shè)，該三棱柱為直棱柱，則以為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，取平面得法向量為.故直線與平面所成角的正弦值為.解法二三棱柱上下底面平行，平面與上下底面分別交于，，，面，面，面面，，四邊形為平行四邊形，是正三角形的中心，，，，，由（1）知直線在平面內(nèi)的投影為，直線與平面所成角即為等腰梯形中與所成角，在等腰梯形中，令，過作于，則，，，，直線與平面所成角的正弦值為．【總結(jié)與歸納】本題考查線線平行、面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．21．（12分）已知函數(shù)．（1）討論在區(qū)間的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)，證明：．【思路分析】（1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出，（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)