基本不等式（學案）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.2基本不等式【學習目標】1．了解基本不等式的代數(shù)和幾何背景．(數(shù)學抽象)2．理解并掌握基本不等式及其變形．(邏輯推理)3．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．(數(shù)學運算)4．會用基本不等式進行代數(shù)式大小的比較及證明不等式．(邏輯推理)5．會用基本不等式求最值問題和解決簡單的實際問題．(數(shù)學運算)【使用說明及學法指導】1.預學指導：精讀教材的內容，完成預學案，找出自己的疑惑；2.探究指導：小組成員依次發(fā)表觀點，有組織，有記錄，有展示，有點評；3.展示指導：規(guī)范審題，規(guī)范書寫，規(guī)范步驟，規(guī)范運算；4.檢測指導：課堂上定時訓練，展示答案；5.總結指導：回扣學習目標，總結本節(jié)內容.【預學案】知識點1重要不等式與基本不等式【思考】(1)基本不等式中的a，b只能是具體的某個數(shù)嗎？(2)基本不等式成立的條件“a，b>0”能省略嗎？請舉例說明．知識點2基本不等式與最值已知x，y都為正數(shù)，則(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當x＝y(tǒng)時，積xy取得最大值___.(2)若xy＝p(積為定值)，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y取得最小值____.【思考】應用基本不等式求最值的關鍵是什么？預學自測：1．判斷正誤(對的打“√”，錯的打“×”)(1)兩個不等式a2＋b2≥2ab與eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的條件是相同的．()(2)當a>0，b>0時，a＋b≥2eq\r(ab).()(3)當a>0，b>0時，ab≤(eq\f(a＋b,2))2.()(4)函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()2．下列不等式正確的是()A．a(chǎn)＋eq\f(1,a)≥2B．(－a)＋(－eq\f(1,a))≤－2C．a(chǎn)2＋eq\f(1,a2)≥2 D．(－a)2＋(－eq\f(1,a))2≤－23．不等式a2＋1≥2a中等號成立的條件是______.4．已知x>0，求x＋eq\f(1,x)的最小值．【我的疑惑】_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【探究案】探究一、利用基本不等式判斷命題真假例1下列不等式一定成立的是()A．eq\r(x2＋\f(1,4))>eq\r(x)(x>0) B．x＋eq\f(1,x)≥2(x≠0)C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．eq\f(1,x2＋1)>1(x∈R)例2如果正數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝cd＝4，那么下列命題中是真命題的是()A．a(chǎn)b≤c＋d，且等號成立時，a，b，c，d的取值唯一B．a(chǎn)b≥c＋d，且等號成立時，a，b，c，d的取值唯一C．a(chǎn)b≤c＋d，且等號成立時，a，b，c，d的取值不唯一D．a(chǎn)b≥c＋d，且等號成立時，a，b，c，d的取值不唯一【歸納提升】利用基本不等式判斷命題真假的步驟【對點練習】?若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2>2ab B．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2探究二、利用基本不等式求最值例3(1)已知x<3，求f(x)＝eq\f(4,x－3)＋x的最大值；(2)已知x，y是正實數(shù)，且x＋y＝4，求eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)的最小值．【歸納提升】利用基本不等式求最值的方法及注意點【對點練習】?(1)若0<x<1，則eq\r(x3－2x)的取值范圍是___；(2)已知a>0，b>0，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝4，則a＋b的最小值為_.探究三、利用基本不等式證明不等式例4已知a>b，ab＝1，求證：a2＋b2≥2eq\r(2)(a－b)．【歸納提升】利用基本不等式證明不等式的思路【對點練習】?已知x，y，z都是正數(shù)，求證：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.探究四、利用基本不等式求參數(shù)范圍例1設a>b>c，且eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(m,a－c)恒成立，求m的取值范圍．【對點練習】?若對任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍是____.探究五、基本不等式的實際應用例2如圖所示動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．(1)現(xiàn)有可圍36m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？(2)要使每間虎籠面積為24m2，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最?。俊練w納提升】在應用基本不等式解決實際問題時應注意的問題【對點練習】?如圖，要設計一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個矩形欄目(如圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告牌的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告牌面積最??？【檢測案】1．若x2＋y2＝4，則xy的最大值是()A．eq\f(1,2)B．1C．2 D．42．設a>b>0，則下列不等式中一定成立的是()A．a(chǎn)－b<0B．0<eq\f(a,b)<1C．eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2) D．a(chǎn)b>a＋b3．對于任意正數(shù)a，b，A是a，b的算術平均數(shù)，G是a，b的幾何平均數(shù)，則A與G的大小關系是___.4．已知x>0，y>0，且xy＝100，則x＋y的最小值為____.5．已知a，b∈R，求證：ab≤(eq\f(a＋b,2))2.6．若x>2，則x＋eq\f(4,x－2)的最小值為()A．2B．4C．6 D．87．設x>0，y>0，x＋y＝4，則e