《橢圓的簡單幾何性質(zhì)一》課件講解

橢圓的簡單幾何性質(zhì)(1)橢圓的簡單幾何性質(zhì)(1)1復(fù)習(xí)：1.橢圓的定義:到兩定點F1、F2的距離之和為常數(shù)（大于|F1F2|）的動點的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標準方程是：3.橢圓中a,b,c的關(guān)系是:當焦點在X軸上時當焦點在Y軸上時復(fù)習(xí)：1.橢圓的定義:到兩定點F1、F2的距離之和為常數(shù)（大2二、橢圓簡單的幾何性質(zhì)-a≤x≤a,-b≤y≤b

知

橢圓落在x=±a,y=±b組成的矩形中oyB2B1A1A2F1F2cab1、范圍：二、橢圓簡單3橢圓的對稱性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）橢圓的對稱性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-42、對稱性：oyB2B1A1A2F1F2cab從圖形上看，橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點對稱。從方程上看：（1）把x換成-x方程不變，圖象關(guān)于y軸對稱；（2）把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于x軸對稱；（3）把x換成-x，同時把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于原點成中心對稱。2、對稱性：oyB2B1A1A2F1F2cab從圖形上看，53、橢圓的頂點令x=0，得y=？，說明橢圓與y軸的交點？令y=0，得x=？說明橢圓與x軸的交點？*頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的頂點。*長軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。a、b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)3、橢圓的頂點令x=0，得y=？，說明橢圓與y軸的交點6123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y123474、橢圓的離心率e(刻畫橢圓扁平程度的量)離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。[1]離心率的取值范圍：[2]離心率對橢圓形狀的影響：0<e<11）e越接近1，c就越接近a，從而b就越小，橢圓就越扁2）e越接近0，c就越接近0，從而b就越大，橢圓就越圓[3]e與a,b的關(guān)系:思考：當e＝0時，曲線是什么？當e＝1時曲線又是什么？oyB2B1A1A2F1F2cab4、橢圓的離心率e(刻畫橢圓扁平程度的量)離心率：橢圓的焦距8《橢圓的簡單幾何性質(zhì)一》課件講解9標準方程范圍對稱性

頂點坐標焦點坐標半軸長離心率a、b、c的關(guān)系|x|≤a,|y|≤b關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為a,短半軸長為b.a>b|x|≤b,|y|≤a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前(0<e<1)(e越接近于1越扁)標準方程范圍對稱性頂點坐標焦點坐標半軸長離心率|x|≤10例1已知橢圓方程為9x2+25y2=225,

它的長軸長是：

。短軸長是：

。焦距是：

。離心率等于：

。焦點坐標是：

。頂點坐標是：

。

外切矩形的面積等于：

。

106860解題的關(guān)鍵：1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標準方程明確a、b2、確定焦點的位置和長軸的位置例1已知橢圓方程為9x2+25y2=225,它的11例2

求適合下列條件的橢圓的標準方程⑴經(jīng)過點P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵長軸長等于20，離心率3/5。⑶一焦點將長軸分成２：１的兩部分，且經(jīng)過點解：⑴方法一：設(shè)方程為mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），將點的坐標方程，求出m＝1/9,n＝1/4。方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的交點就是橢圓的頂點，于是焦點在x軸上，且點P、Q分別是橢圓長軸與短軸的一個端點，故a＝3，b＝2，所以橢圓的標準方程為

注：待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟：⑴定位；⑵定量⑶⑵或

或例2求適合下列條件的橢圓的標準方程解：⑴方法一：設(shè)方程為12例2、求適合下列條件的橢圓的標準方程：（3）長軸長為6,中心O,焦點F,頂點A構(gòu)成的角OFA的余弦值為2/3.解：由題知a=3cos∠OFA=oFA∴c=2，b2=a2-c2=5因此所求橢圓的標準方程為例2、求適合下列條件的橢圓的標準方程：解：由題知a=313與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦距，且離心率為例3、求適合下列條件的橢圓的標準方程：解：由已知得所求橢圓2c=2∴a=5，b2=a2-c2=20故所求橢圓的標準方程為：

若將題設(shè)中的“焦距”改為“焦點”，結(jié)結(jié)論又如何？與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦距，且離例3、求適合下列14例4、已知F1是橢圓的左焦點，A、B分別是橢圓的右頂點和上頂點，P為橢圓上的點，當PF1⊥F1A，PO∥AB（O為橢圓中心）時，求橢圓的離心率。OBAPF1解：設(shè)橢圓的方程為：又KOP=KAB因此b=c例4、已知F1是橢圓的左焦點，A、B分別是橢圓的右頂點和上頂15練習(xí)1、若橢圓的焦距長等于它的短軸長，則其離心率為

。2、若橢圓的兩個焦點及一個短軸端點構(gòu)成正三角形，則其離心率為

。3、若橢圓的的兩個焦點把長軸分成三等分，則其離心率為

。4、已知橢圓的離心率為1/2，則m=

.1/34或－5/41/2練習(xí)1、若橢圓的焦距長等于它的短軸長，則其離心率為16練習(xí)：1.根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程。①長軸長和短軸長分別為8和6，焦點在x軸上②長軸和短軸分別在y軸，x軸上，經(jīng)過P(-2,0)，Q(0,-3)兩點.③一焦點坐標為（－3，0）一頂點坐標為（0，5）④兩頂點坐標為（0，±6），且經(jīng)過點（5，4）⑤焦距是12，離心率是0.6，焦點在x軸上。2.已知橢圓的一個焦點為F（6，0）點B，C是短軸的兩端點，△FBC是等邊三角形，求這個橢圓的標準方程。練習(xí)：2.已知橢圓的一個焦點為F（6，0）點B，C是短軸的173、（高考）橢圓的焦點F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的（）A、7倍 B、5倍 C、4倍 D、3倍4、我們把離心率等于黃金比的橢圓稱為優(yōu)美橢圓，設(shè)是優(yōu)美橢圓，F(xiàn)，A分別是它的左焦點和右頂點，B是它短軸的一個端點，則∠ABF=A、60° B、75° C、90° D、120°3、（高考）橢圓的焦點F1，F(xiàn)218小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的幾個簡單幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點坐標、離心率等概念及其幾何意義。了解了研究橢圓的幾個基本量a，b，c，e及頂點、焦點、對稱中心及其相互之間的關(guān)系，這對我們解決橢圓中的相關(guān)問題有很大的幫助，給我們以后學(xué)習(xí)圓錐曲線其他的兩種曲線扎實了基礎(chǔ)。在解析幾何的學(xué)習(xí)中，我們更多的是從方程的形式這個角度來挖掘題目中的隱含條件，需要我們認識并熟練掌握數(shù)與形的聯(lián)系。在本節(jié)課中，我們運用了幾何性質(zhì)，待定系數(shù)法來求解橢圓方程，在解題過程中，準確體現(xiàn)了函數(shù)與方程以及分類討論的數(shù)學(xué)思想。

小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的幾個簡單幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、19例5：設(shè)M為橢圓上的一點,F1,F2為橢圓的焦點,如果∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求橢圓的離心率。例5：設(shè)M為橢圓上的201、用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟（1）先定位：確定焦點的位置（2）再定形：求a,b的值。2、求橢圓的離心率（1）求出a,b,c，再求其離心率（2）得a,c的齊次方程，化為e的方程求小結(jié)1、用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟小結(jié)21作業(yè)1、橢圓的一焦點與長軸較近端點的距離為焦點與短軸兩端點連線互相垂直，求該橢圓的標準方程。2、已知橢圓在x軸和y軸正半軸上兩頂點分別為A，B，原點到直線AB的距離等于，又該橢圓的離心率為，求該橢圓的標準方程。3、點M（x,y）到定點（2，0）的距離與到定直線x=8的距離之比為的點的軌跡方程是什么？軌跡是什么？作業(yè)1、橢圓的一焦點與長軸較近端點的距離為22(4)P為橢圓上任意一點，F(xiàn)1、F2是焦點，則∠F1PF2的最大值是

.(4)P為橢圓上任意一點，23橢圓的簡單幾何性質(zhì)(1)橢圓的簡單幾何性質(zhì)(1)24復(fù)習(xí)：1.橢圓的定義:到兩定點F1、F2的距離之和為常數(shù)（大于|F1F2|）的動點的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標準方程是：3.橢圓中a,b,c的關(guān)系是:當焦點在X軸上時當焦點在Y軸上時復(fù)習(xí)：1.橢圓的定義:到兩定點F1、F2的距離之和為常數(shù)（大25二、橢圓簡單的幾何性質(zhì)-a≤x≤a,-b≤y≤b

知

橢圓落在x=±a,y=±b組成的矩形中oyB2B1A1A2F1F2cab1、范圍：二、橢圓簡單26橢圓的對稱性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）橢圓的對稱性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-272、對稱性：oyB2B1A1A2F1F2cab從圖形上看，橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點對稱。從方程上看：（1）把x換成-x方程不變，圖象關(guān)于y軸對稱；（2）把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于x軸對稱；（3）把x換成-x，同時把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于原點成中心對稱。2、對稱性：oyB2B1A1A2F1F2cab從圖形上看，283、橢圓的頂點令x=0，得y=？，說明橢圓與y軸的交點？令y=0，得x=？說明橢圓與x軸的交點？*頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的頂點。*長軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。a、b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)3、橢圓的頂點令x=0，得y=？，說明橢圓與y軸的交點29123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形（1）（2）A1

B1

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B2

B2

A2

B1

A1

123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1234304、橢圓的離心率e(刻畫橢圓扁平程度的量)離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。[1]離心率的取值范圍：[2]離心率對橢圓形狀的影響：0<e<11）e越接近1，c就越接近a，從而b就越小，橢圓就越扁2）e越接近0，c就越接近0，從而b就越大，橢圓就越圓[3]e與a,b的關(guān)系:思考：當e＝0時，曲線是什么？當e＝1時曲線又是什么？oyB2B1A1A2F1F2cab4、橢圓的離心率e(刻畫橢圓扁平程度的量)離心率：橢圓的焦距31《橢圓的簡單幾何性質(zhì)一》課件講解32標準方程范圍對稱性

頂點坐標焦點坐標半軸長離心率a、b、c的關(guān)系|x|≤a,|y|≤b關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為a,短半軸長為b.a>b|x|≤b,|y|≤a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前(0<e<1)(e越接近于1越扁)標準方程范圍對稱性頂點坐標焦點坐標半軸長離心率|x|≤33例1已知橢圓方程為9x2+25y2=225,

它的長軸長是：

。短軸長是：

。焦距是：

。離心率等于：

。焦點坐標是：

。頂點坐標是：

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外切矩形的面積等于：

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106860解題的關(guān)鍵：1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標準方程明確a、b2、確定焦點的位置和長軸的位置例1已知橢圓方程為9x2+25y2=225,它的34例2

求適合下列條件的橢圓的標準方程⑴經(jīng)過點P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵長軸長等于20，離心率3/5。⑶一焦點將長軸分成２：１的兩部分，且經(jīng)過點解：⑴方法一：設(shè)方程為mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），將點的坐標方程，求出m＝1/9,n＝1/4。方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的交點就是橢圓的頂點，于是焦點在x軸上，且點P、Q分別是橢圓長軸與短軸的一個端點，故a＝3，b＝2，所以橢圓的標準方程為

注：待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟：⑴定位；⑵定量⑶⑵或

或例2求適合下列條件的橢圓的標準方程解：⑴方法一：設(shè)方程為35例2、求適合下列條件的橢圓的標準方程：（3）長軸長為6,中心O,焦點F,頂點A構(gòu)成的角OFA的余弦值為2/3.解：由題知a=3cos∠OFA=oFA∴c=2，b2=a2-c2=5因此所求橢圓的標準方程為例2、求適合下列條件的橢圓的標準方程：解：由題知a=336與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦距，且離心率為例3、求適合下列條件的橢圓的標準方程：解：由已知得所求橢圓2c=2∴a=5，b2=a2-c2=20故所求橢圓的標準方程為：

若將題設(shè)中的“焦距”改為“焦點”，結(jié)結(jié)論又如何？與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦距，且離例3、求適合下列37例4、已知F1是橢圓的左焦點，A、B分別是橢圓的右頂點和上頂點，P為橢圓上的點，當PF1⊥F1A，PO∥AB（O為橢圓中心）時，求橢圓的離心率。OBAPF1解：設(shè)橢圓的方程為：又KOP=KAB因此b=c例4、已知F1是橢圓的左焦點，A、B分別是橢圓的右頂點和上頂38練習(xí)1、若橢圓的焦距長等于它的短軸長，則其離心率為

。2、若橢圓的兩個焦點及一個短軸端點構(gòu)成正三角形，則其離心率為

。3、若橢圓的的兩個焦點把長軸分成三等分，則其離心率為

。4、已知橢圓的離心率為1/2，則m=

.1/34或－5/41/2練習(xí)1、若橢圓的焦距長等于它的短軸長，則其離心率為39練習(xí)：1.根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程。①長軸長和短軸長分別為8和6，焦點在x軸上②長軸和短軸分別在y軸，x軸上，經(jīng)過P(-2,0)，Q(0,-3)兩點.③一焦點坐標為（－3，0）一頂點坐標為（0，5）④兩頂點坐標為（0，±6），且經(jīng)過點（5，4）⑤焦距是12，離心率是0.6，焦點在x軸上。2.已知橢圓的一個焦點為F（6，0）點B，C是短軸的兩端點，△FBC是等邊三角形，求這個橢圓的標準方程。練習(xí)：2.已知橢圓的一個焦點為F（6，0）點B，C是短軸的403、（高考）橢圓的焦點F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的（）A、7倍 B、5倍 C、4倍 D、3倍4、我們把離心率等于黃金比的橢圓稱為優(yōu)美橢圓，設(shè)是優(yōu)美橢圓，F(xiàn)，A分別是它的左焦點和右頂點，B是它短軸的一個端點，則∠ABF=A、60° B、75° C、90° D、120°3、（高考）橢圓的焦點F1，F(xiàn)241小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)