拋物線方程及性質(zhì)應(yīng)用課件北師大版選修

一、選擇題（每題5分，共15分）1.在同一坐標(biāo)系中,a2x2+b2y2=1與ax+by2=0(a>b>0)表示的曲線大致是圖中的()【解析】選D.方法一:將方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程因為a>b>0,所以>>0.所以橢圓的焦點在y軸上,拋物線的開口向左.方法二:將方程ax+by2=0中的y換成-y,其結(jié)果不變,即說明ax+by2=0的圖象關(guān)于x軸對稱,排除B,C,又橢圓的焦點在y軸上,排除A.2.設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點,A,B,C為拋物線上三點.若FA+FB+FC=0,則|FA|+|FB|+|FC|等于（）(A)9 (B)6 (C)4 (D)3【解題提示】把|FA|、|FB|、|FC|轉(zhuǎn)化為三點到準(zhǔn)線的距離進行求解.【解析】選B.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F(1,0),則由已知得:x1-1+x2-1+x3-1=0即x1+x2+x3=3.而|FA|+|FB|+|FC|可轉(zhuǎn)化為A,B,C三點到準(zhǔn)線的距離,即|FA|+|FB|+|FC|=d1+d2+d3=x1+1+x2+1+x3+1=3+3=6,故選B.3.直線l過拋物線y2=x的焦點F，交拋物線于A、B兩點，且點A在x軸上方，若直線l的傾斜角θ≥,則|FA|的取值范圍是（）（A）［,)（B）(,］（C）(,］（D）(,］【解析】選D.由題意得|FO|<|FA|≤|FA0|,如圖,二、填空題（每題5分，共10分）4.過拋物線y2=4x的焦點,作傾斜角為的直線交拋物線于P,Q兩點,O為坐標(biāo)原點,則△POQ的面積等于______.【解析】設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),F為拋物線焦點,由得y2+4y-4=0,所以答案:5.(2010·湖南師大附中高二檢測)已知拋物線C:y=ax2-1和點A(0,0),B(2,3),若拋物線與線段AB有且僅有一個公共點,則實數(shù)a的取值范圍是______.【解題提示】由y=ax2-1過點（0，-1），對稱軸為x軸，畫出圖形求解.【解析】由題意知,要使拋物線與線段AB有且僅有一個公共點,則a·22-1≥3,∴a≥1.答案：［1,+∞)三、解答題（6題12分，7題13分，共25分）6.(2010·太原高二檢測)拋物線的頂點在原點,焦點在x軸,而且被直線2x-y+1=0所截弦長為,求拋物線的方程.【解析】設(shè)拋物線的方程為y2=ax,則7.已知拋物線y2=2px(p>0)的頂點為O，A、B為拋物線上的兩點，且OA⊥OB.(1)求證：直線AB恒過一個定點；(2)過點O作OM⊥AB，垂足為M，求動點M的軌跡方程.【解析】(1）設(shè)A（x1,y1),B(x2,y2),由于點A、B在拋物線y2=2px上，則y12=2px1,y22=2px2.當(dāng)AB⊥x軸時，由拋物線的對稱性知直線OA的方程為y=x.∴x12=y12=2px1.由題意得A（2p,2p),得此時直線AB過定點（2p,0).當(dāng)AB與x軸不垂直時，由y12-y22=2p(x1-x2)整理得∴直線AB的方程為將y12=2px1，y22=2px2兩邊相乘得y12y22=4p2x1x2,又OA⊥OB，則OA·OB=0.∴x1x2+y1y2=0，即x1x2=-y1y2，代入上式得y1y2(y1y2+4p2)=0.∵y1y2≠0,∴y1y2=-4p2.∴直線AB的方程為此時AB過定點（2p,0).所以直線AB恒過定點（2p,0).(2)方法一：由（1）知，直線AB恒過定點N（2p,0),由于OM⊥AB，垂足為M，即∠OMN=90°.∴動點M的軌跡是以線段ON為直徑的圓，去掉點O（0，0）.∴動點M的軌跡方程為（x-p)2+y2=p2(x≠0).方法二：設(shè)M（x0,y0)，A（x1,y1),B(x2,y2).由（1）知y1y2=-4p2.1.（5分）設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線y2=4x的焦點，A為拋物線上的一點，若OA·AF=-4，則點A的坐標(biāo)為（）(A)(2,2±) (B)(1,±2)(C)(1,2) (D)(2,)【解析】選B.設(shè)A（x1,y1),由OA·AF=-4，可得x1(1-x1)-y12=-4.因為y12=4x1,所以可得x12+3x1-4=0，解得x1=1或x1=-4(舍），故選B.2.（5分）已知直線y=x+1與拋物線y2=2px(p∈R,p≠0)交于A,B兩點,且|OA+OB|=|OA-OB|,其中O為坐標(biāo)原點,則實數(shù)p的值為（）(A)- (B)-2(C)或-2 (D)或-【解題提示】由|OA+OB|=|OA-OB|可求得OA⊥OB.設(shè)A（x1,y1),B(x2,y2)由x1x2+y1y2=0求出p的值.【解析】選A.由|OA+OB|=|OA-OB|可得OA⊥OB,聯(lián)立y=x+1與y2=2px(p∈R,p≠0)可得,x2+2(1-p)x+1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=2(p-1),x1x2=1,y1y2=(x1+1)(x2+1)=x1+x2+x1x2+1=2p.因為OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,解得p=-,所以選A.3.（5分）直線l:y=kx+1與拋物線C:y2=4x相交于不同的兩點,則實數(shù)k的取值范圍是______.【解析】由得k2x2+(2k-4)x+1=0.因為直線與拋物線有兩個不同的交點,所以解得k<1且k≠0.答案:(-∞,0)∪(0,1)4.（15分）過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,直線OA的斜率為k1,直線OB的斜率為k2.(1)求k1,k2的值;(2)過兩點向準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為A1,B1,求∠A1FB1的大小.【解析】（1）設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則∵直線AB過焦點F,若直線AB與x軸不垂直,(2)如圖,∵A,B在拋物線上,∴|AF|=|AA1|.∴∠AA1F=∠AFA1,∴∠AFA1=90°-∠B1A1F.同理