線性代數(shù)第四講-矩陣的概念及其加減乘運算課件

1850年西爾維斯特首先使用矩陣這個詞.1855年以后,英國數(shù)學家凱萊創(chuàng)立了矩陣理論,至二十世紀,矩陣論已成為一個獨立的數(shù)學分支,出現(xiàn)了矩陣方程論,矩陣分解論,廣義逆矩陣等矩陣的現(xiàn)代理論.由于許多線性或非線性問題都可以轉(zhuǎn)化為對矩陣的討論,所以它在物理、化學、經(jīng)濟、工程以及現(xiàn)代科技的許多領(lǐng)域都有著廣泛的應用,矩陣部分主要討論三個問題第二部分矩陣理論一矩陣的概念及四則運算三逆矩陣二矩陣的初等變換與矩陣的秩1850年西爾維斯特首先使用矩陣這個詞.1855年以后,1

由

mn個數(shù)

aij(i1,2,,m；j1,2,,n)排成的一個

m行

n列的矩形表稱為一個

mn矩陣一矩陣的定義：a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnAmn=記作只能用[]或(),不能用{}第四講矩陣的概念及其運算由mn個數(shù)aij(i1,2,21零矩陣一部分特殊矩陣所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，記為O例如

若矩陣A的行數(shù)與列數(shù)都等于n，則稱A為n階矩陣，或稱為n階方陣2方陣例如1零矩陣一部分特殊矩陣所有元素均為0的矩陣稱為零3也可以用小寫黑體字母

3行矩陣與列矩陣：只有一行的矩陣稱為行矩陣只有一列的矩陣稱為列矩陣例如表示也可以用小寫黑體字母3行矩陣4a110

00a22000ann=4對角矩陣：如下形式的n階矩陣稱為對角矩陣記為

=diag(a11,a22,,ann)例如a1100=4對角矩陣：如下形式的n階矩陣稱為對角矩5數(shù)量矩陣是特殊的對角矩陣a11=a22==anna0

00a000aA=如下形式的n階矩陣稱為數(shù)量矩陣5數(shù)量矩陣例如數(shù)量矩陣是特殊的對角矩陣a11=a22==anna06

如下形式的n階矩陣稱為單位矩陣,記為

I

或E

10

0010001I=6單位矩陣：單位矩陣是特殊的數(shù)量矩陣：a11=a22==ann=a=1例如如下形式的n階矩陣稱為單位矩陣,記為I或E107b11b21bn10b22bn200bnnB=A=a11a12a1n0a22a2n00ann

如下形式的n階矩陣稱為上三角形矩陣7三角形矩陣：

如下形式的n階矩陣稱為下三角形矩陣例如b1100B=A=a11a128

如果n階矩陣A滿足

AT=A

(即aij=aji),則稱A為對稱矩陣A=a11a12a1na12

a22a2na1n

a2n

ann8對稱矩陣：例如235838638674249762710如果n階矩陣A滿足AT=A(即ai9二矩陣的運算(三)矩陣的轉(zhuǎn)置(四)方陣的行列式(一)矩陣的加法,減法(二)矩陣的乘法(五)幾種特殊矩陣二矩陣的運算(三)矩陣的轉(zhuǎn)置(四)方陣的行列式(10(一)矩陣的加法,減法（1）同型矩陣:（2）同型矩陣才能相加減二矩陣行相同，列相同例A=23456B=86253為同型矩陣A=2394568B=86253不同型（3）加法與減法法則:同型矩陣對應元素相加減(一)矩陣的加法,減法（1）同型矩陣:（2）同型矩陣才能11矩陣加法和減法定義:a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnA=b11

b12

b1nb21

b22

b2nbm1bm2

bmnB=A±B=a11±b11a12±b12…a1n±b1na21±b21a22±b22…a2n±b2n………am1±bm1am2±bm2…amn±bmn

設(shè)A與B為兩個mn矩陣矩陣加法和減法定義:a11a12a1n12

例1設(shè)求A+B=?解1+52+63+74+8681012例1設(shè)求A+B=?解1+52+63+74+868101213a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnA=給定矩陣規(guī)定ka11

ka12

ka1nka21

ka22

ka2nkam1

kam2

kamnkA=(二)矩陣的數(shù)乘實數(shù)k遍乘A的所有元素a11a12a1n14線性代數(shù)第四講-矩陣的概念及其加減乘運算課件15準備：矩陣乘積有意義的條件

不是任意二矩陣乘積AB都有意義（2）二矩陣乘積AB有意義的條件是：

左邊的矩陣A的列數(shù)與右邊的矩陣B的行數(shù)相等即Am×sBt×n有意義的條件是s=t且Am×sBs×n=Cm×n（三）矩陣的乘法

準備：矩陣乘積有意義的條件不是任意二矩陣乘積AB都有意義16例34572225A=B=(1)則AB無意義585722952764C=D=(2)則CD有意義，且CD是2×3的矩陣例342A=B=(1)則AB無意義517設(shè)A是一個ms矩陣，B是一個sn矩陣AB=b11

b12

b1j

…

b1n

b21

b22

b2j

…

b2nbs1

bs2

bsj

…

bsn矩陣的乘法定義

a11

a12

a1sa21

a22

a2sai1

ai2

aisam1

am2

amsc11

c12

c1nc21

c22

c2ncm1

cm2

cmnm×n=cij(i1,2,,m；j1,2,,n)其中ai1b1jai2b2j

aisbsjcij=A的第i行與B的第j列的乘積設(shè)A是一個ms矩陣，B是一個sn矩陣AB=b11b18B=求AB及BAA=，

例1設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-783×3B=求AB及B19231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-33×3B=求AB及BAA=，

例1設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-3220231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-353×3B=求AB及BAA=，

例1設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-3221231-2311-2-32-10BA==4-983231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-352×2B=求AB及BAA=，

例1設(shè)231-2311-2-32-10注意一:矩陣乘法一般不滿足交換律即ABBA231-2311-2-32221110例2設(shè)A=，B=，求AB及BA2110

解11102110AB=3110=21101110BA=3110=如果AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B可交換顯然AB=BA可交換陣:1110例2設(shè)A=，B=23例3設(shè)A=，4-2-21B=，求AB及BA4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3

解：-32-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=2×22×2注意二:AB=OA=OorB=O例3設(shè)A=，4-2-21B=24例4設(shè)A=，5000求A2

解0000=2×2注意三:A2=OA=OA2=50005000例4設(shè)A=，5000求A225矩陣乘法一般不滿足消去律例5設(shè)A=203,B=004,C=100求AC=?BC=?解=2×21100=2×21100注意四:AC=BCA=B矩陣乘法一般不滿足消去律例5設(shè)A=2,B=0,C=126例6線性方程組可用矩陣乘法表示a11x1+a12x2+

+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+

+a2nxn

=b2am1x1+am2x2+

+amnxn=bm

x1x2xn

a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnb1b2bm

=系數(shù)陣例如:2x1+5x2+7x3+9x4=5x1-3x2+7x3+x4=33x1-x2+x3+x4=10579-3713-111x1x2x3x4=5310例6線性方程組可用矩陣乘法表示a11x1+a12x2+27

(1)ABBA

(3)AB=OA=O或B=O/(2)AC=BCA=B/矩陣乘法總結(jié):矩陣乘法性質(zhì)除下列幾條外其余和數(shù)乘法性質(zhì)相同

(4)A2=OA=O/乘法一般不滿足交換律乘法一般不滿足消去律,如果C可逆,則A=B(1)ABBA(3)A28例7設(shè)矩陣A,B均為n階方陣,證明證明(1)(2)(3)(1)例7設(shè)矩陣A,B均為n階方陣,證明證明(1)(2)(3)294方陣的冪：對于方陣A及自然數(shù)k

記Ak=AA

A(k個A相乘)只有方陣才能自乘規(guī)定性質(zhì)：(1)ArAs=Ar+s(2)(Ar)s=Ars注:一般(AB)k≠AkBk但如果AB=BA,則(AB)k=AkBk4方陣的冪：對于方陣A及自然數(shù)k只有方陣才能自乘規(guī)定30例8設(shè)求(1)(2)(3)解n個例8設(shè)求(1)(2)(3)解n個31

如下形式的n階矩陣稱為單位矩陣,記為

In或

I10

0010001I=單位矩陣性質(zhì)對于n階矩陣A，規(guī)定

A0=IImAmn=Amn=1AmnAmnIn=Amn

=1Amn單位陣與任意矩陣相乘(只要有意義)結(jié)果不變?nèi)缦滦问降膎階矩陣稱為單位矩陣,記為In或I1032練習：1,計算下列矩陣：解：(1)

20111=01110111=0112

30111=01120111=0113

n0111=011

n(2)

a0000

c0

b0

2

a0000

c0

b0

a0000

c0

b0=

a20000

c20

b20=

a0000

c0

b0

n

an0000

cn0

bn0=

n0111(1)(2)

a0000

c0

b0

n，練習：1,計算下列矩陣：解：(1)20332計算

4561）A=123B=A×B=1×11×4+2×5+3×6=[32]=3212-242）A=3210B=A×B=1×13×1+2×2+1×(-2)+0×4=[5]=52計算41）A=123B=A×B343335將矩陣A的同號數(shù)的行換為同號數(shù)的列得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或Aa11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=（四）矩陣的轉(zhuǎn)置第1行變?yōu)榈?列，第2行變?yōu)榈?列,…第m行變?yōu)榈趍列將矩陣A的同號數(shù)的行換為同號數(shù)的列得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)36(4)(AB)T=BTAT

(A1A2A3….An)T=(An)T(An-1)T….(A2)T(A1)T轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì)(1)(AT)T=A

(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(kA)T=kAT

注意矩陣的次序(4)(AB)T=BTAT

(A1A2A3….An37例113-3-171911A=5-3-193B=(AB)T==BTAT579-3713-1111395-3-13則例113A=5B=(AB)T==BTAT538

如果n階矩陣A滿足

AT=A

(即aij=aji),則稱A為對稱矩陣A=a11a12a1na12

a22a2na1n

a2n

ann對稱矩陣性質(zhì)(1)kA為對稱陣性質(zhì)設(shè)A,B為對稱陣,則(2)A+B與A-B為對稱陣注AB未必是對稱陣-101-11111例如A=B=是對稱陣，但-101-11111-1-100=不是對稱矩陣AB=如果n階矩陣A滿足AT=A(即ai39

例2

設(shè)A與B是兩個n階對稱矩陣證明：AB對稱AB=BA證明(1)充分性所以AB對稱(2)必要性例2設(shè)A與B是兩個n階對稱矩陣證明(1)充分性所以40

例3

設(shè)A為對稱矩陣,且A2=0證明A=0證明A=AT=a11a12a1na21

a22a2nan1an2

ann設(shè)A2=AAT=a11a12a1na21

a22a2nan1an2

anna11a21an1a12

a22an2a1n

a2n

ann=0所以A=0注意乘積對角線上元素例3設(shè)A為對稱矩陣,且A2=0證明A=041

n階矩陣A的元素按原來排列的形式構(gòu)成的n階行列式稱為矩陣A的行列式,記為|A|或detAa11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

A=，|A|=a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

detA

=例1A=234|A|=detA=234=-2（五）方陣的行列式n階矩陣A的元素按原來排列的形式構(gòu)成的n階行列式稱42方陣的行列式具有的運算律：(1)|AB|=|A|·|B|顯然k個A=|A|

k方陣積的行列式=行列式的積方陣的行列式具有的運算律：(1)|AB|=|A43(2)|lA|ln|A|n為方陣的階數(shù)例1則|lA|==l3l3|A|例2(1)設(shè)矩陣A為八階矩陣l8

|A|(2)設(shè)矩陣A為十階矩陣|lA|l10|A||lA|(2)|lA|ln|A|n為方陣的階數(shù)例1則|l44例3

設(shè)A=(aij)為三階矩陣，若已知|A|=-2,求||A|A|解：||A|A|==(-2)3|A|=(-2)3(-2)=16|-2A|提問：設(shè)矩陣A為三階矩陣，且|A|=m，問|-mA|=?答：-m4(3)|AT||A|例3設(shè)A=(aij)為三階矩陣，若已知|A|=-2,求||45例4設(shè)A=254-4-53134B=C=求(1)|ATB2C|

解(1)|ATB2C|=|

AT

|.|

B2|.

|

C|

=|

A

|.|

B|2.|

C

|=254-4-53134××2=2×12×5=10=|3BBT

|2=(32|BBT

|)2=(32

|B|.|BT|)2=81(2)|(3BBT)2|(2)|(3BBT)2|例4設(shè)A=2-41B=C=求(1)|AT46

(1)ABBA

(3)AB=OA=O或B=O/(2)AC=BCA=B/總結(jié):

一矩陣乘法

二矩陣轉(zhuǎn)置(A1A2A3….An)T=(An)T(An-1)T….(A2)T(A1)T

三方陣行列式|lA|ln|A|

(4)A2=OA=O/(1)ABBA(3)A47練習：1

設(shè)f(x)=ax2+bx+c，A為n階矩陣，I為n階單位矩陣,定義f(A)=aA2+bA+cI已知f(x)=x2-x-1，A=，求f(A)3121-10311f(A)=

解：3121-10311

23121-10311-010001100-142500-11335=3121-10311-010001100-1103-11-2924=。練習：1設(shè)f(x)=ax2+bx+c，A為n階矩陣，I為n482設(shè)A為n階方陣,I為n階單位陣,且證明證明由B2=B得2設(shè)A為n階方陣,I為n階單位陣,且證明證明由B2=B491850年西爾維斯特首先使用矩陣這個詞.1855年以后,英國數(shù)學家凱萊創(chuàng)立了矩陣理論,至二十世紀,矩陣論已成為一個獨立的數(shù)學分支,出現(xiàn)了矩陣方程論,矩陣分解論,廣義逆矩陣等矩陣的現(xiàn)代理論.由于許多線性或非線性問題都可以轉(zhuǎn)化為對矩陣的討論,所以它在物理、化學、經(jīng)濟、工程以及現(xiàn)代科技的許多領(lǐng)域都有著廣泛的應用,矩陣部分主要討論三個問題第二部分矩陣理論一矩陣的概念及四則運算三逆矩陣二矩陣的初等變換與矩陣的秩1850年西爾維斯特首先使用矩陣這個詞.1855年以后,50

由

mn個數(shù)

aij(i1,2,,m；j1,2,,n)排成的一個

m行

n列的矩形表稱為一個

mn矩陣一矩陣的定義：a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnAmn=記作只能用[]或(),不能用{}第四講矩陣的概念及其運算由mn個數(shù)aij(i1,2,511零矩陣一部分特殊矩陣所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，記為O例如

若矩陣A的行數(shù)與列數(shù)都等于n，則稱A為n階矩陣，或稱為n階方陣2方陣例如1零矩陣一部分特殊矩陣所有元素均為0的矩陣稱為零52也可以用小寫黑體字母

3行矩陣與列矩陣：只有一行的矩陣稱為行矩陣只有一列的矩陣稱為列矩陣例如表示也可以用小寫黑體字母3行矩陣53a110

00a22000ann=4對角矩陣：如下形式的n階矩陣稱為對角矩陣記為

=diag(a11,a22,,ann)例如a1100=4對角矩陣：如下形式的n階矩陣稱為對角矩54數(shù)量矩陣是特殊的對角矩陣a11=a22==anna0

00a000aA=如下形式的n階矩陣稱為數(shù)量矩陣5數(shù)量矩陣例如數(shù)量矩陣是特殊的對角矩陣a11=a22==anna055

如下形式的n階矩陣稱為單位矩陣,記為

I

或E

10

0010001I=6單位矩陣：單位矩陣是特殊的數(shù)量矩陣：a11=a22==ann=a=1例如如下形式的n階矩陣稱為單位矩陣,記為I或E1056b11b21bn10b22bn200bnnB=A=a11a12a1n0a22a2n00ann

如下形式的n階矩陣稱為上三角形矩陣7三角形矩陣：

如下形式的n階矩陣稱為下三角形矩陣例如b1100B=A=a11a1257

如果n階矩陣A滿足

AT=A

(即aij=aji),則稱A為對稱矩陣A=a11a12a1na12

a22a2na1n

a2n

ann8對稱矩陣：例如235838638674249762710如果n階矩陣A滿足AT=A(即ai58二矩陣的運算(三)矩陣的轉(zhuǎn)置(四)方陣的行列式(一)矩陣的加法,減法(二)矩陣的乘法(五)幾種特殊矩陣二矩陣的運算(三)矩陣的轉(zhuǎn)置(四)方陣的行列式(59(一)矩陣的加法,減法（1）同型矩陣:（2）同型矩陣才能相加減二矩陣行相同，列相同例A=23456B=86253為同型矩陣A=2394568B=86253不同型（3）加法與減法法則:同型矩陣對應元素相加減(一)矩陣的加法,減法（1）同型矩陣:（2）同型矩陣才能60矩陣加法和減法定義:a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnA=b11

b12

b1nb21

b22

b2nbm1bm2

bmnB=A±B=a11±b11a12±b12…a1n±b1na21±b21a22±b22…a2n±b2n………am1±bm1am2±bm2…amn±bmn

設(shè)A與B為兩個mn矩陣矩陣加法和減法定義:a11a12a1n61

例1設(shè)求A+B=?解1+52+63+74+8681012例1設(shè)求A+B=?解1+52+63+74+868101262a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnA=給定矩陣規(guī)定ka11

ka12

ka1nka21

ka22

ka2nkam1

kam2

kamnkA=(二)矩陣的數(shù)乘實數(shù)k遍乘A的所有元素a11a12a1n63線性代數(shù)第四講-矩陣的概念及其加減乘運算課件64準備：矩陣乘積有意義的條件

不是任意二矩陣乘積AB都有意義（2）二矩陣乘積AB有意義的條件是：

左邊的矩陣A的列數(shù)與右邊的矩陣B的行數(shù)相等即Am×sBt×n有意義的條件是s=t且Am×sBs×n=Cm×n（三）矩陣的乘法

準備：矩陣乘積有意義的條件不是任意二矩陣乘積AB都有意義65例34572225A=B=(1)則AB無意義585722952764C=D=(2)則CD有意義，且CD是2×3的矩陣例342A=B=(1)則AB無意義566設(shè)A是一個ms矩陣，B是一個sn矩陣AB=b11

b12

b1j

…

b1n

b21

b22

b2j

…

b2nbs1

bs2

bsj

…

bsn矩陣的乘法定義

a11

a12

a1sa21

a22

a2sai1

ai2

aisam1

am2

amsc11

c12

c1nc21

c22

c2ncm1

cm2

cmnm×n=cij(i1,2,,m；j1,2,,n)其中ai1b1jai2b2j

aisbsjcij=A的第i行與B的第j列的乘積設(shè)A是一個ms矩陣，B是一個sn矩陣AB=b11b67B=求AB及BAA=，

例1設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-783×3B=求AB及B68231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-33×3B=求AB及BAA=，

例1設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-3269231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-353×3B=求AB及BAA=，

例1設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-3270231-2311-2-32-10BA==4-983231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-352×2B=求AB及BAA=，

例1設(shè)231-2311-2-32-10注意一:矩陣乘法一般不滿足交換律即ABBA231-2311-2-32711110例2設(shè)A=，B=，求AB及BA2110

解11102110AB=3110=21101110BA=3110=如果AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B可交換顯然AB=BA可交換陣:1110例2設(shè)A=，B=72例3設(shè)A=，4-2-21B=，求AB及BA4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3

解：-32-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=2×22×2注意二:AB=OA=OorB=O例3設(shè)A=，4-2-21B=73例4設(shè)A=，5000求A2

解0000=2×2注意三:A2=OA=OA2=50005000例4設(shè)A=，5000求A274矩陣乘法一般不滿足消去律例5設(shè)A=203,B=004,C=100求AC=?BC=?解=2×21100=2×21100注意四:AC=BCA=B矩陣乘法一般不滿足消去律例5設(shè)A=2,B=0,C=175例6線性方程組可用矩陣乘法表示a11x1+a12x2+

+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+

+a2nxn

=b2am1x1+am2x2+

+amnxn=bm

x1x2xn

a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnb1b2bm

=系數(shù)陣例如:2x1+5x2+7x3+9x4=5x1-3x2+7x3+x4=33x1-x2+x3+x4=10579-3713-111x1x2x3x4=5310例6線性方程組可用矩陣乘法表示a11x1+a12x2+76

(1)ABBA

(3)AB=OA=O或B=O/(2)AC=BCA=B/矩陣乘法總結(jié):矩陣乘法性質(zhì)除下列幾條外其余和數(shù)乘法性質(zhì)相同

(4)A2=OA=O/乘法一般不滿足交換律乘法一般不滿足消去律,如果C可逆,則A=B(1)ABBA(3)A77例7設(shè)矩陣A,B均為n階方陣,證明證明(1)(2)(3)(1)例7設(shè)矩陣A,B均為n階方陣,證明證明(1)(2)(3)784方陣的冪：對于方陣A及自然數(shù)k

記Ak=AA

A(k個A相乘)只有方陣才能自乘規(guī)定性質(zhì)：(1)ArAs=Ar+s(2)(Ar)s=Ars注:一般(AB)k≠AkBk但如果AB=BA,則(AB)k=AkBk4方陣的冪：對于方陣A及自然數(shù)k只有方陣才能自乘規(guī)定79例8設(shè)求(1)(2)(3)解n個例8設(shè)求(1)(2)(3)解n個80

如下形式的n階矩陣稱為單位矩陣,記為

In或

I10

0010001I=單位矩陣性質(zhì)對于n階矩陣A，規(guī)定

A0=IImAmn=Amn=1AmnAmnIn=Amn

=1Amn單位陣與任意矩陣相乘(只要有意義)結(jié)果不變?nèi)缦滦问降膎階矩陣稱為單位矩陣,記為In或I1081練習：1,計算下列矩陣：解：(1)

20111=01110111=0112

30111=01120111=0113

n0111=011

n(2)

a0000

c0

b0

2

a0000

c0

b0

a0000

c0

b0=

a20000

c20

b20=

a0000

c0

b0

n

an0000

cn0

bn0=

n0111(1)(2)

a0000

c0

b0

n，練習：1,計算下列矩陣：解：(1)20822計算

4561）A=123B=A×B=1×11×4+2×5+3×6=[32]=3212-242）A=3210B=A×B=1×13×1+2×2+1×(-2)+0×4=[5]=52計算41）A=123B=A×B833384將矩陣A的同號數(shù)的行換為同號數(shù)的列得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或Aa11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=（四）矩陣的轉(zhuǎn)置第1行變?yōu)榈?列，第2行變?yōu)榈?列,…第m行變?yōu)榈趍列將矩陣A的同號數(shù)的行換為同號數(shù)的列得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)85(4)(AB)T=BTAT

(A1A2A3….An)T=(An)T(An-1)T….(A2)T(A1)T轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì)(1)(AT)T=A

(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(kA)T=kAT

注意矩陣的次序(4)(AB)T=BTAT

(A1A2A3….An86例113-3-171911A=5-3-193B=(AB)T==BTAT579-3713-1111395-3-13則例113A=5B=(AB)T==BTAT587

如果n階矩陣A滿足

AT=A

(即aij=aji),則稱A為對稱矩陣A=a11a12a1na12

a22a2na1n

a2n

ann對稱矩陣性質(zhì)(1)kA為對稱陣性質(zhì)設(shè)A,B為對稱陣,則(2)A+B與A-B為對稱陣注AB未必是對稱陣-101-11111例如A=B=是對稱陣，但-101-11111-1-100=不是對稱矩陣AB=如果n階矩陣A滿足AT=A(即ai88

例2

設(shè)A與B是兩個n階對稱矩陣證明：AB對稱AB=BA證明(1)充分性所以AB對稱(2)必要性例2設(shè)A與B是兩個n階對稱矩陣證明(1)充分性所以89

例3

設(shè)A為對稱矩陣,且A2=0證明A=0證明A=AT=a11a12a1na21

a22a2nan1an2