2013考研數(shù)學(xué)高數(shù)長(zhǎng)線基礎(chǔ)單元測(cè)試題及答案

單元測(cè)試一函數(shù)、極限、x0(1cosxln(1x2xsinxnxsinxn（ex21）高階的無窮小，則正整數(shù)n為（） x01cosxln(1x2)~1x4，xsinxn~xn+1，(ex2?1)~x2，所以2n142條件的n2B設(shè)函數(shù)f(x)lim1x，則下列結(jié)論成立的是 n1f(x)無間斷 B．f(x)有間斷點(diǎn)xC．f(x)有間斷點(diǎn)x D．f(x)有間斷點(diǎn)x

1

xx【解析】因?yàn)閒(x)lim 2nn1 x

x1f(xx1

x設(shè)f(x)=sinxsint2dt，g(x)x3x4，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)是g(x)的 0 f

sint2dt

sinx(t21t6

)dt1(sinx)31(sinx)7

x0f(xg(x)

f(x)

sin(sinx)2cos

(sin32 )32

3limcosx0g(x)

3x

x0

x0x2(3 x0f(xg(x1當(dāng)x0時(shí)，變量

是 x 1sin1(2k)2。當(dāng)k絕對(duì)值無限增大時(shí)，x0， 11

(2k1x21x

1 1

x設(shè)f(x)，g(x)在(,)內(nèi)有定義，f(x)為連續(xù)，且f(x)0，g(x)有間斷點(diǎn)，則下列函數(shù)中必有間斷 g[f B.C.f

gf (x【解析】(A)g(x)

f(x)1gf(x1 (B)不一定有間斷點(diǎn)例g(x)同上，則[g(x)]21連續(xù)，(C)不一定有間斷點(diǎn)，如(A)中f(x)g(x)f[g(x1連續(xù)，(D)g(x)h(xg(x)h(x)f(xfg f f(x為有界函數(shù)，且lim(x)f(x)0，則lim(x)(x為無窮小量，且lim(x)a0，則lim(x)(x為無窮大量，且lim(x)(x)a，則lim(x)(x) 函數(shù)，且limf(x)(x)0，則limf(x)①取f(x) x

x x

，(x)

f(x為有界函數(shù)，且limf(x)(x0A lim(x)0A②x0時(shí)，(xx0，取

x0

(x) 則x時(shí)f(x)為無界函數(shù)，③取f(x

limf(x)(x)0Dlimf(xD fff(x在(，內(nèi)有定義，且limf(xa，g(x

x

xx0g(xx0g(xx0g(xg(xx0alimf(【解析】limg(x) 1limf( f(x

xsin(xx(x1)(x

(12 D.(23 由于f(x)在x1或x2附近均出現(xiàn)無窮大的情況，故排除B、C、sin(xsin(x

f(x) 1x11x1(x已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，4]，則函數(shù)ψ（x）＝f（x+1）+f（x-1）的定義域 【解析】因f（u）的定義域?yàn)?≤u≤4f（x+1）+f（x-1）的定義域?yàn)椴坏仁?x10x141≤x≤3x4sin1exex 13

sin3

2x

x ex

(x0時(shí)，sin3xx3x0 exex exex

lim 0

（x0sinxx

limexexlimexe-x e2xx x設(shè)f(x)

則limf(x) 13

xsint

x

e2xx 2e2x f(x)lim lim 因

f(x)lim0

dtlimsinx21故limf(x1

設(shè)f(x)=btanxsinatdt，g(x)x5x4，當(dāng)x0時(shí)，f(x)~g(x)，則a ，b 0【答案】a3，bf btanxf 【解析】 lim x0 x5limbsina(tanx)sec2

（因x0

(tanx)~xα

5x4 1（x0時(shí)，(5x44x3x05x4故a=3，b4ex函數(shù)f(x) 有無窮型斷點(diǎn)x=0，有可去間斷點(diǎn)x=1，則a ，b (xa)(x【答案】a0，b【解析】因x0是f(x)a=0，limf(x)。又x1是f(x)limx(x-1)=0，故limexb)=0，得be n1xn( n1xn( n x2n 2n

(x0)，則f(x) n【解析】當(dāng)0x1時(shí)，由lim

0lin

0f(x1(當(dāng)1x2f(xlimxn(1)n1xnx(2x時(shí)f(x

nn22)n()x22)limtann(2 ) 【答案】 2 原式＝lim1tan n n

tan2 4n4 2 tan21*4lim1tan n n

2 tan2

n

1 x exp

exp

2

2

2'exp

1 x2 exp2limsec2

xn2n2

nk

nk1n2nnn2n2n2n2n2n2kn2n2

1111n

n2n2n1n

1111n2n212

nkn

n 12

n2n

n2n n2n1n(n lim12 nlim 1 n2 nn(n lim12lim12nlim n2n nn2n nk1n2n 設(shè)a0，xb0，x1xa，?x1 a求limx 2 x1 2 xn1

xan1xan1

0（算術(shù)平均值≥幾何平均值a又xn1xn xn xn n0，則xn1 xn 因此xn單調(diào)減少，又有下界，根據(jù)準(zhǔn)則1，limxn 存1 a

1 ax

x

AA n

A n1 aA2a，∵A＞0，∴取A a，于是limxanexex4cosx在(f(xexexcosx4，它是偶函數(shù)，所以只需討論f(x在(0,f(0)30，f(2)e2e2cos24f(x)在0,2上連續(xù)，根據(jù)介值定理推論，至少有一(0,2)，使f(0又因?yàn)閒(xexexsinx0x0，所以f(x在(0,f(x在(0,內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，于是f(x在(0,內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，由偶函數(shù)的對(duì)稱性，f(x在(點(diǎn)，也即所給方程在()單元測(cè)試二一元函數(shù)微y1，yax2b在點(diǎn)

導(dǎo)數(shù)與微1)處相切，則 x a ，b

2a1，b a1，b2

a1，b2(2 【解析】因兩曲線相切于點(diǎn)x2，y21

2

b中21

3于該點(diǎn)，故切線的斜率相等，則導(dǎo)數(shù)相等，則 2ax。將x2代入得a ，故b 設(shè)在0,1上fx0，則f0，f1，f1f0或f0f1的大小順序是 A.f1f0f1fC.f1f0f1f

B.f1f1f0fD.f1f0f1f f1f()f x3.3.f(x x A．a(chǎn)2，bC．a(chǎn)1，b

在x0處可導(dǎo)，則 B．a(chǎn)2，bD．a(chǎn)1，b limf(x)limabcosxf(0)

ab f(0)limf(x)f(0)lim(abcosx)/x limabcosxlimaacosxlimasinx f(0)limf(x)f(0)limx x0f(xx0f(0)f(0a1，得a2 a2代入ab0中得b2

fx

的 A.無窮型間斷 【解析】limF(x)limf(xf(0)f

f(x為奇函數(shù)，f(0)0 a

ax

a3 D.a1【解析】f(x)x2 x4 或用導(dǎo)數(shù)的定義求f(2)及f(2)也可以。sinx2x，xf(x

則使f(x)在點(diǎn)x0處 x f(0)limsinx/x2x limsinx2x2 limcosx4x1limsinx4 f(x)xcosxsinx (xlimf(0)limxcosxsinx2limcosxxsinxcosx limsinx22f f(xx0若函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2均滿足關(guān)系式f(x1x2)f(x1)f(x2)，且f(0)2，則必有 A.f(0) B.f(0) C.f(0) f(0)x1x，x20f(x0)f(xf(0f(x0f(0)2f(0)1 B．l

a aaaa【解析】因f(axb)與f(axb)有相同的周期，而f(axb)的周期為 ，故f(axb)的周期也是laa設(shè)yf(lnx)ef(x)，其中f可微，則 1f(lnx)ef(x)f(lnx)ef(xf(x) y1f(lnx)ef(xf(lnx)ef(xf(x dy1f(lnx)ef(x)f(lnx)ef(x)f(x)x t2

，則dy

ytcos

(cosu/1

u)du(t 【答案】

ycost22t2sint2 cost22t2t2sint x2tsint22 2t2sint t 2tsintt設(shè)函數(shù)yy(x)由方程exy x

0所確定，則y(0) 【答案】(e1)exy(yxy)y/y1/(x1)將(0，e-1代入后解得y(0)(e1已知f(x)1，則 x0f(x2x)f(x f(x0)原式 x0f(x02x)f(x0 x0f(x02x)f(x0x)/limf(x02x)f(x0 limf(x02x)f(x0)(2)f(x0x)f(x0)x0 2f(x0f(x0f(x0 若f(t)limt(11)2tx，則f(t) 【答案】(1f(t)limt(11)2txtlim(11)x2t x f(x)e2tt2e2t(1設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且有f(x)1(xa)xag(x)，其中 1則f(a) xa(xxa(x 1，g(x)連 gxa(x又f(x)1(xa)xa f(a)1g(a) f(a)limf(x)f(a)limxag(x) x xa0limg(x)(xa)10 (x

xa0 設(shè)f(x)0，f0 x2 ffx2 f f f f f 0)f(1) 12f x2 f(x2 x2 x2f(2 x2，從12( f(2∵f 0( f(2f x2 ff x2x2 f因此，f fx2 f設(shè)f(x)在x鄰域內(nèi)有定義，且limf f(x0 000

x

f

f(x0 (x)，其中 x0 xf(x0f(x0 x0 x0若n為正偶數(shù)，當(dāng) （充分小則f ＜0f(x0若n為正奇數(shù)，

（充分小則f f(x0)在x0兩側(cè)異號(hào)，所以f(x0)不是極值yfx在0,當(dāng)limfx0時(shí)，必有l(wèi)imfx 當(dāng)limfx存在時(shí)，必有l(wèi)imfx

中值定

f'x存在時(shí)，必有

f'(x)f'(x)例如：fxsinx2,limfx0,f'xsinx22cosx2 x 2k,f'x2,當(dāng)k取 fx2fxsinxlimfx0limfxlimcosx1C 已知在,上f'x 1

lim

axblimfx1fx xx A.a1,b B.a0,b C.a1,b D.a1,b112【解析】由拉格朗日中值定理fx1fxf' 21

x,x當(dāng)x時(shí)有 因此，limfx1fxlim

x要使lim

axblim1ax2abxxx xab

a即b fx二階可導(dǎo)f=0，f0,xfx的極值點(diǎn)，gxfxcosx，x是gx的極大值 B．x是gx的極小值C．x不是gx的極值 D．不能確定x是否為gx的極值【解析】有取得極值的必要條件f0gxfxcosxfxsinxgx0g''xf''xcosx2f'xsinxgxx處取得極大值，所以選A

xcosxgfx0設(shè)

fx

1，

''x0A．x0fxxx0fxx0fxxx0fxfxfxfxfxfxf由

1f00f'0limfxf0limfx1，設(shè)Fxfx ，則F00，F(xiàn)'xf'x1,F'0 x 由F''xf''x0得F00是Fxfx f設(shè)fx是連續(xù)的奇函數(shù)，且x

0x0fxx0fxyfxx0的切線平行于xyfxx0的切線不平行于x【解析】由limfx0f0limfxf00 yfxx0處的切線方程為y0x軸本身，所以選yfx在區(qū)間0,1f0f1，則在0,1A．f'x恒為 B．f'xC．x D．在0,1內(nèi)存在兩點(diǎn)ffC． fxfx0如果B、C成立，則fx為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，與f0f ，所以不選B、C．有排除法選D．也可證成立，在0,1上取一點(diǎn)x0，使 x0f0，因此fx0f0與f1fx0異號(hào)，利用拉格朗日 fx0f0 f1fx0 '值定理，存在1,20,1使得'

1

,f2

1

f1

2 已知方程x2y2y1(y0)確定y為x的函數(shù)，則 x求導(dǎo)得2xy22x2yyyy0x0(y0)x求導(dǎo)得2y24xyy4xyy2x2(y)22x2yyyx0y1y(00，y(020x0點(diǎn)取極大值。又因函數(shù)只有一若f(x)在區(qū)間a，f(a)A0，f(a0，f(a0(xaf(x)0 【解f(xf(af(a)(xaf((x

f(x，故ax0f(x00f(aA0，f(x在(a，x0）x(a，x0使f(0f(x0(a，存在實(shí)根，又f(x0，故f(x)f(xf(a0f(xf(x)0 設(shè)0xx，則sinx1與x1之間的關(guān)系 sin sin【解析】只 sinx在0,上的單調(diào)性xsinxxcosxsin因 FxxcosxsinxF0因 x Fxcosxxsinxcosxxsinx0,x0,xcosxsinx0,x0,sinx0,x sin ，因此 sinx1sinx2,即sinx2x1

在0,上是單調(diào)減少的；當(dāng)0x1x2設(shè)函數(shù)fx在a,內(nèi)可導(dǎo)，且任意xa,有fxM（M為常數(shù)則limfx f0

fxfx0fx0Mxx0fx0fxxMxx0fx0

，其中xx0

定理，有l(wèi)imfx0MxfMxfx00設(shè)fxxsinx，且xx0，則fx在0,內(nèi)的符號(hào) 2 【答案】fxxsinxxcosxx0時(shí)，fxxxsinx0x時(shí)，fxxxcosx 4 42 時(shí)，fx單調(diào)增加，又因f00，從而有x 時(shí)，fx0 曲線yxlne1x0的漸近線方程 x 1yxe 1lnext 【解析】limylim x

lim x

t telimylimlne1 limyx 1 1 x limxln x limxln x

lne x x limxln11limx11 ex yxlne1yx1 x 方程x33xq0有三個(gè)實(shí)根，則q的取值范圍 【答案】2q【解析】要求fxx33xq零點(diǎn)的個(gè)數(shù)， fx在,的性態(tài)（1）fx3x230x1fx6xf12q是極小值，顯然f1f1

f16f12q（2）求單調(diào)區(qū)間fx在1內(nèi)單調(diào)增加，在1,1內(nèi)單調(diào)減少，在1,內(nèi)單調(diào)增加。（3）求極

fx,

fx（（2（f12q0f12q0時(shí)，即2qfx有三個(gè)零點(diǎn)分別在11,11,內(nèi)設(shè)fx3x2Ax3x0，A為正常數(shù)，則A至少 時(shí)，有fx20xfx20，只要3x5A20x3即20x33x5Agx20x33x5Agx0,內(nèi)的最大值。gx60x215x415x22xx20x0x2x2（x2x0 A64，有fx20。設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)fx在a，b上連續(xù)a，b內(nèi)可導(dǎo)，且fafb，證明a，b內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f0.【解析】證明：由題意可知存在 (a,b)使 fcfaffcfafx在a，c上用拉格朗日中值定理存ff(c)f(a) c

如果fbfc，則fx在c，b上用拉格朗日中值定理存在 (c,b)，f2

f(b)f(c)0b (a,b)，使得f ( 0，1，使得( 【解析】證明：先把fx在 1fxf0f0x fx2 (0

再把fx在 fxf1f1x122

f

x (x

1 2f11f (01 2 f111f (1 2 (f(28f1f(f(28(1),f(1),f(24( 亦即證明存在0，1， ( 單元測(cè)試三一元函數(shù)積不定積ex設(shè)Iex1dx，則I ln(1ex) B.2ln(1ex)xC.x2ln(1ex) D．ln(ex1)【解析】因x2ln(1ex) 1

1設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，則其原函數(shù)F(x)一定是 1 設(shè)I1x(1xex)dx,I2u(1u)，則存在函數(shù)uu(x)，使 I1I2C．I2

I1I2D．I2

1

dx (1

設(shè)uxex，則上式 x(1xex)x(1xex)

u(1設(shè)n1時(shí)，xnlnxdx xn(lnx1)

(lnx

1) n nn

(lnx

1n

)

n

lnxn

xlnxdxlnxd(n)

d(ln

n n1lnxn1dxn1lnx(n1)2xsin1cosxdx xx

x2

xx

x2xcotx2

x

2sin2cos

原式1cosxdx 2cos2 dx2xsecxdxtan22 xd(tanx)tanxdxxtanxtanxdx xtanx2若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是excosx，則f(x)的一個(gè)原函數(shù)為 excos B．exsinC．excos D．exsinf(xexcosxf(xexsinxf(x)dx(exsinx)dxexcosx若f(x)是以l為周期的連續(xù)函數(shù)，則其原函數(shù) 是以l為周期的函 【解析】例如f(x1cosx2為周期得函數(shù)，而f(x)dx(1cosx)dxxsinxC不是周期xf(x)dx xf(x)fC．xf(x)f(x)

xf(x)f(x)D．f(x)xf(x)【解xf(x)dxxdf(xxf(xf(x)dxxf(xf(xsec24tan2xdx

tanarctan C 【解析】原式d(tanx)1arctantanx4tan2 設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為xex，則xf(x)dx x2exxf(x)dxxdf(x)xf(x)fxexf(xf(xxex)xf(x)dxx(xex)xexCx2exf(x)f2(x)f(x)f

dx f 1f(x) 2f(x f f(x) 1f(x) 【解析】原式＝f(xdf(x2f(x 若f3(x)1，則f(x) 33x

3xf3(x)xCf3xmax(x2x)dx x3/3 x【答案】 x2/2 xx3/31/6 max(x2,x)

x x x3/3 xC故max(x2,x)dx x1x2/2C

x 1 x/3 1因max(x2,x)是連續(xù)函數(shù)，故其原函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)，則1lim(x3C)lim(x2 1

Cx0 lim(x2C)lim(x3

C1x1

x1

C2 x3/3 x max(x2,x)dxx2/2x3/3

x11x14.

dx 1【答案】1n

asin(lnx)n1n

【解析】原式asin(lnx)dasin(lnx)n1asin(lnx) 4sinx3cossinx2cosxdx 【答案】2xln(sinx2cosx4sinx3cos A(sinx2cosx)B(sinx2cos【解析】設(shè)sinx2cosxdx sinx2cos 4sinx3cosxA(sinx2cosx)B(sinx2cos(2AB)cosx(A2B)sinA2B由2AB 解得A2，B1 4sinx3cosxdx 2(sinx2cosx)(sinx2cosx) sinx2cos sinx2cos 2dx d(sinx2cosx)2xln(sinx2cosx) sinx2cosf(2cosxsin2xtan2xfx【解析】f(2cosx)1 1cos2xcos2設(shè)u2cosx，則f(u)1(u2)2 (u

1 f(x)(x2)2 (x 2 dx(x f(x)(x (x2)2 x

x2a2

I 2n3 2n1a2x2a2 dx x2a2 xdx2a2dx【解析】證明：In

a2

x2a2

a2In1

2a2

x2a2 =

In1

2n1a2

xd 2 2=2 2n1

x2

n1 n12n3In1=2n1a2x2a2 4

4f(x5

x210x，則積分0f(2x1)dx 4 【解析】設(shè)ux5， f(u) u2f(2x1) (2x1)2 (x3)(x 4f(2x1)dx 0(x3)(x dx dx 0(x3)(x 2 dx 12 14 5 x x 5 x x

01 0 1xf(2x)dxu2x12uf(u)du12udf0 0

1220

402 f f(u)du f(2) f2 04 1f(2)1f(2)1f(0)531 a(k設(shè)f(x)是以l為周期的連續(xù)函數(shù)，則 f(x)dx之值 A．僅與a有 B．僅與a無C．與a及k均無 D．與a和k都有a(k

(k 故此積分與ak均無關(guān)。

f(x)dx f(x)dx0f4.x0時(shí)，F(xiàn)(x)x(x2t2)f(t)dt的導(dǎo)數(shù)與x2是等價(jià)無窮小則必 其中f有二階連續(xù)導(dǎo)4.0A．f(0)C．f(0)

B．f(0)20【解F(x2xxf(t)dt2xf(xf0x0Fxx2是等價(jià)無窮小，故limF(x) limF(x)lim2xf(x)f lim2f(x)f(0)2f(0)1f(0)

xf(t)dtx

(t)dt恒成立時(shí)，必有(t) A.f(t2 B.t3f C.t2f D.3t2f)x設(shè)f(x在[a，a上連續(xù)且為偶函數(shù)，(x)x0

f(t)dt，則 A．(x)是奇函 B．(x)是偶函C．(x)是非奇非偶函 D．(x)可能是奇函數(shù)，也可能是偶函(x)xf(x)dtutxf x0f(u)du 故(x)為奇函

(1

2 A．

C． 3 2(1x)22(1x)21(1 dx

112(1 1x 故此廣義積分發(fā)散，推出2(1x)2cos6xdx，N cos6xdx，N 2(x2sin3xcos6x)dx則有 8.設(shè)M 1x 8.設(shè)M A．NPC．NMsinxcos6xM01

B．MPD．PMN 2sin3N 2sin3xdx2cos6xdx02cos6xdx P x2P x2sin3xdx 2cos6xdx02cos6xdx NMP

1tlim

xsint 【解析】原式lim(1sinx)sinx sin 3x3x2

f(t)dtx ，則f(2) 1【解析】?jī)蛇厡?duì)x求導(dǎo) f(x22)2xf(x22

1

22x2(x0,4f(2)1 1xsintdt1xlim 【解析】原式

sinx 1x x sinxx (x

1x(x3xx3 3

x2 2 原式

(x

x

(x) (11)x3(x3 5/ 3 lim (x) x 22(1cos【答案】4

x0 4x3 dx sin2 sin2原式 dxdx022 原式 dxdx022 222

2cos22dx

2tan2xdx

2sec2x1 4 0 4 22sec2xdx4tanx24 1設(shè)0

1f(x)dxf(xx0，0

f(x)dx 121f(x)dxf(x)xdx0 20f(x)dx0f(x)dx0xdx 20 20114n2

30f(x)dx

00f(x)dx4n24n24n24n244x2

【解析】lim

lim

1

dx

14n2nn4n2nn 求2max1,x2

ni1 3 23

2x2dx2 3 3

1 cos f設(shè)f(x) 2dt，求2 01sin 01f2【解析】原式

df

arctanf

arctanf()arctanf01f20 cos d(sin

2 f

) dt arctan(sin2

arctan1 01sin2 01sin2 0f(0)

cos dt01sin2 原式arctan41y2yy0ycxex（其中c為任意常數(shù)（后因?yàn)閥cxex代入方程成為關(guān)于x的恒等式，所以ycxex是方程的解，所以應(yīng)選D。2y3y2y3x2ex的特解形式為（A.ax B.axb C.axb D.axb【解析】微分方程的對(duì)應(yīng)齊次微分方程是：y3y2y0，其特征方程為r23r20r11,r22y3y2y2exycxexy3y2y3x1yaxby3y2y3x2exyyycxexaxb 3y8y25y0y01y04y（A.e3xcos B.e3xcos C.e4x D.e4xcos【解析】y8y25y02825043i43i y8y25y0ye4xccos3xcsinx其中c與c 1y04y0e4x3ccos3x3ccos3x4ccos3xc3c2故c11,c20C

4y1x,y2x,y3x是微分方y(tǒng)a1xya2xyf3a1x、a2x、f(xf(x0A.y1xy2xy3C.y1xy2xy3

B.y1xy2xy3D.y1xy2xy3的解。按此，故知應(yīng)選B。5、設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)y1,y2,y3都是二階非齊次線性方y(tǒng)p(x)yq(x)yf的解，C1,C2是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是（A.C1y1C2y2C.C1y1C2y21C1C2

B.C1y1C2y2C1C2D.C1y1C2y21C1C2【解析】C1y1C2y21C1C2y3C1y1y3C2y2y3y3y1y3y2y3為對(duì)應(yīng)齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解。D為非齊次方程的通解。6yyex1的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（其中ab為常數(shù)）（A.aex B.axex C.aex D.axex【解析】特征方程為r210，其根 1，故特解形式為yaxexb，應(yīng)選7f1(x),f2x為二階常系數(shù)線性微分方程ypyqy0的兩個(gè)特解，C1,C2是兩個(gè)任意常數(shù)，則C1f1(xC2f2x是該方程通解的充分條件是（ 1A.f1(x)f2(x)f(x)f(x) B.f1(x)f2(x)f2(x)f(x) 1C.f1(x)f(x)f(x)f(x) D.f(x)f(x)f(x)f(x)

),f1(xC，從而(f1(x)f1(xf2xf1(xf f f2

0，從而應(yīng)D8、微分方程yytanxcosx的通解為y

yetanxdxcosxetanxdxdxCelncosxcosxelncosxdxCcos

cosxdxC

cos cos 當(dāng)cosx0ycosx1dxCxCcosx，當(dāng)cosx0 ycosx(1)dxCxCcosx。由于CyxCcos 9、微分方程y1y2tanx,y02的特解為y 3cos2y3cos2

tanxdxC,1ln1ylncosx1 1

1Ccos2xy02，得C11Ccos2 3cos2xy3cos2 y2y2y yexCcosxCsinx代入

ybycy exsinxb(CC)cC2Cexcosxb(CC) 因exsinx與excosxb(C1C2)cC12C2,b(C1C2)cC1 解之，由C2C20，得b2c2 zz x0,y zzxyz

xy[

ln1Cy]e [1

1ln Cy 1

yx2xy[y

ydxCy]xy[ Cy2yx2 Cyx2y因?yàn)樵谡麄€(gè)過程中y看作常數(shù)，所x解方程時(shí)，任意常數(shù)C也應(yīng)該認(rèn)y的任意函數(shù)Cy（它12、設(shè)f(x連續(xù)，且f(xexxf(xt)dt，求f0 f(x)exxf(xt)dtex0f(u)(du)exxf f(x)e1dxexe1dxdxCexxC 又由f(0)1，代入上式，1f(0)0C,C1f(xexx1f( gtdt0f(t)dtxeef(xgf(x)f(x)f(x)xf(xf(xxex，為代通解公式，應(yīng)將f(x)前的系數(shù)改變?yōu)?x0時(shí)，方程可改寫為f(xf(x)exxf(x)e1dx[exe1dxdxC]1xexdxCexCexx 0f(0)

x f(x)lim（exCex)1

C所以C1

ex1ex,xf(x)

x x

單元測(cè)試五多元函數(shù)微A.limf(x,y)存 B.limf(x,y0)及l(fā)imf(x0,y)都存

yC.f(x,y)在P點(diǎn)必連 D.f(x,y)在P點(diǎn)必可 fPf(xyxx處必連續(xù)，從而limf(xy xxy

f(x0,y ,x,y0,2、二元函數(shù)f(x,y)x2 在點(diǎn)0,0處（ x,y0,A.連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存 B.連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存C.不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存 D.不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存f(xy在0,0

f(0,0)df(x, ,f(0,0)df(0, f(x,0)0xf(0,y)0yf(xy在0,0

f(0,0)

f(0,0)0limf(x,y)

1

f(0,f(xy在0,0C

x0x2 3f(xy在點(diǎn)x0y0取得極小值，則下列結(jié)論正確的是（f(x0yyy0f(x0yyy0f(x0yyy0f(x0yyy0f(xy在點(diǎn)x0y0f(xy在點(diǎn)x0y0處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，又由二元函數(shù)極值的必要條件即得f(x,y)在點(diǎn)x0y0處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都等于零，從而有df(df(x0,y x0,y04f(xyx34x22xyy2，則下面結(jié)論正確的是（A.點(diǎn)0,0B.點(diǎn)2,2C.點(diǎn)2,2f(xyD.點(diǎn)0,0f(xyf3x28x2y

的解為0,02,2

2x2yAfxx6x8,Bfxy2,Cfyy2，在點(diǎn)2,2A4,B2AC0，所以點(diǎn)2,2不是極值點(diǎn)；在點(diǎn)0,0A8,B2AC0，且A0，所以點(diǎn)0,0是極大值點(diǎn)，應(yīng)選A。5z2xy1到原點(diǎn)最短的距離d等于（2 2 B. 【解析】設(shè)曲面上任意一點(diǎn)Px,y,z，則該點(diǎn)到原點(diǎn)距離平d2x2y2z2,xyzz2xy1Fx,y,z,x2y2z2(z2xyF2xyF2yxyF2z2zz2xy1解此方程組得駐點(diǎn)0,0,1,0,0,1,1, 四個(gè)駐點(diǎn)。由于最小值存在，比d20,0,11,d11,0d1,1,02z2xy1到原點(diǎn)最近的距離為d116、x,y【答案】

1xx1xy

x,y

1xx1xy limx,y而 ln1x ln1 1，所以原式為ex,y0,0x1 x,y x,y0,017、

)xx,y0,0x2

0 1,0 )

(1)x2 8、設(shè)f(xy)x2y4y【答案】2

x2 xyxyy2f(x2)2x2arctan2x1,fx(x2)4xfx(1,2)42x1f(xyf(1,yy4,fy(1,y1,fy(1,2)

12x9、設(shè)函數(shù)zf(xy,)g()，其中f,g均可微，則 【答案】

z xf(xy,x)xg(x)f1yf2(x2）g(z yf(xy,x)yg(x)f1xf2xg 所以 x2yx2y2

zzxy在點(diǎn)1,0,1處的全微分dz【答案】dzdxx2x2y2

2 2x2y2yzdxxzdyxydz xdxx2y2以x0,y1,z1代入并解出dzdx 11、設(shè)zf(uxy),uxeyf

xy【答案】2zy 2 y e xe zfufeyffx

u

2z u zyy y(fu fx) e ey(fu y(fxx2y2lnx2y2,x,y0, f(0, f(0,12f(xy

， x,y0,

f(0,

f0x,0f0,

x2lnx2 f(0,

13zf(u,vx),uxy,vyzfxy,yx的偏導(dǎo)數(shù)

與

zfffff 1 2 1 zf fy 1

z14、設(shè)由方程Fxy,yz,zx0確定隱函數(shù)zzx,y， zx dz FFdxFFdyFF F21、設(shè)區(qū)Dxy1x2y24f(u是區(qū)D上的連續(xù)函數(shù)，fD

x2y2dxdy等于（ A.2rf(r2 B.2rf(r)drrf(r)dr C.22rf D.22rf(r2)dr1rf(r2)dr1

【解析】設(shè)極坐標(biāo)r,xrcosyrsinDr,02,1r2，所以x2y2)dxdy2d2rf(r)dr22rfDD

If

20

0

f