【課件】圓的一般方程+課件-2022－2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

2.4.2

圓的一般方程高二—人教A版—數(shù)學(xué)—選擇性必修第一冊(cè)—第二章一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解圓的一般方程及其特點(diǎn)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。2．掌握?qǐng)A的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化。發(fā)展邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。3．會(huì)求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的軌跡方程問(wèn)題．提升數(shù)形結(jié)合及方程思想，發(fā)展邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

二、圓的一般方程的定義1.引入根據(jù)上一節(jié)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)我們知道,方程(x-1)2+(y+2)2=4表示以(1,-2)為圓心,2為半徑的圓.可以將此方程變形為

一般地,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(x-a)2+(y-b)2=r2可以變形為

x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.

x2+y2-2x+4y+1=0.

思考：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程一定能通過(guò)恒等變形變?yōu)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎?

二、圓的一般方程的定義1.引入例如,對(duì)于方程x2+y2-2x-4y+6=0,對(duì)其進(jìn)行配方,得到(x-1)2+(y-2)2=-1,顯然任意一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都不滿足這個(gè)方程,所以這個(gè)方程不表示任何圖形.

因此形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通過(guò)恒等變形變?yōu)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程。這表明x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定是圓的方程。

二、圓的一般方程的定義2.探究思考：那么我們一起探究一下方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D,E,F滿足什么條件時(shí),這個(gè)方程表示圓？

二、圓的一般方程的定義2.探究思考：

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D,E,F滿足什么條件時(shí),這個(gè)方程表示圓？

二、圓的一般方程的定義2.探究思考?方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D,E,F滿足什么條件時(shí),這個(gè)方程表示圓？

（1）當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)，表示以（）為圓心，以()為半徑的圓

二、圓的一般方程的定義2.探究思考?方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D,E,F滿足什么條件時(shí),這個(gè)方程表示圓？

二、圓的一般方程的定義2.探究思考?方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D,E,F滿足什么條件時(shí),這個(gè)方程表示圓？

當(dāng)D2+E2-4F＜0時(shí)，方程（1）無(wú)實(shí)數(shù)解，所以不表示任何圖形

二、圓的一般方程的定義2.探究思考?方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D,E,F滿足什么條件時(shí),這個(gè)方程表示圓？

將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，配方可得

因此，當(dāng)D2+E2-4F>0

時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一個(gè)圓，我們把它叫做圓的一般方程.

三、圓的一般方程的特點(diǎn)思考：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程各有什么特點(diǎn)?圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確給出了圓心坐標(biāo)和半徑，而圓的一般方程則是一種特殊的二元二次方程，方程的代數(shù)特征非常明顯.

三、圓的一般方程的特點(diǎn)我們觀察一下這個(gè)二元二次方程不難發(fā)現(xiàn)：

圓的一般方程突出了代數(shù)結(jié)構(gòu):(1)x2和y2系數(shù)相同，都不等于0.(2)沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng).(3)當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)，方程才表示一個(gè)圓.四、典型例題

例4求過(guò)三點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程,并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo).

分析:將點(diǎn)O，M1，M2的坐標(biāo)分別代入圓的一般方程，可得一個(gè)三元一次方程組，解方程組即可求出圓的方程.

例4求過(guò)三點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程,并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo).解：設(shè)所求的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.(1)∵O,M1,M2都在圓上,它們的坐標(biāo)都是方程(1)的解.

∴把它們的坐標(biāo)依次代入方程(1)可以得到關(guān)于D,E,F的三元一次方程組:解方程組,得

四、典型例題例4求過(guò)三點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程,并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo).x2+y2+Dx+Ey+F=0.(1)由∴所求圓的方程為x2+y2-8x+6y=0.圓心坐標(biāo)為(4,-3).四、典型例題設(shè)所求的圓的方程為四、典型例題同學(xué)們，這一道例題與與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這一節(jié)中例2的方法比較,你有什么體會(huì)?

上一節(jié)的例2△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)

,求△ABC的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.四、典型例題

上一節(jié)的例2△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)

,求△ABC的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:

設(shè)所求的方程是

因?yàn)锳(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三點(diǎn)都在圓上,所以它們的坐標(biāo)都滿足上述方程,于是即

觀察上面的式子,我們發(fā)現(xiàn),三式兩兩相減,可以消去a2,b2,r2得到關(guān)于a,b的二元一次方程組代入得r2=25.解此方程組，得所以,△ABC的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

本節(jié)的例4也使用了待定系數(shù)法，這里選用圓的一般方程，與上一節(jié)例2中選用標(biāo)準(zhǔn)方程的方法相比，運(yùn)算就顯得容易一些.因?yàn)檫\(yùn)算后得到的方程沒(méi)有二次項(xiàng)，是一個(gè)三元一次方程組.若像例2那樣選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到的是三元二次方程組，需要消去二次項(xiàng).一般來(lái)說(shuō)，解一次方程比解二次方程容易.

四、典型例題

圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在運(yùn)用上的比較求圓的方程時(shí),如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問(wèn)題,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再用待定系數(shù)法求出a,b,r;如果已知條件與圓心和半徑都無(wú)直接關(guān)系,一般采用圓的一般方程,再用待定系數(shù)法求出系數(shù)D,E,F.四、典型例題

求圓的方程常用的待定系數(shù)法，其大致步驟是：1.根據(jù)題意,選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.2.根據(jù)條件列出有關(guān)a,b,r,或D,E,F的方程組.3.解出a,b,r或D,E,F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.四、典型例題例5已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.xyoBAM點(diǎn)M的軌跡方程是指點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)滿足的關(guān)系式.軌跡是指點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中形成的圖形.在解析幾何中,我們常常把圖形看作點(diǎn)的軌跡（集合）.四、典型例題例5已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.xyoBAM分析：如圖，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)A在已知圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x+1)2+y2=4

建立點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系,就可以利用點(diǎn)A的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式得到點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式,求出點(diǎn)M的軌跡方程.

四、典型例題解:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)A坐標(biāo)是(x0，y0).

由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),且M是線段AB的中點(diǎn),所以于是有:因