高中數(shù)學(xué)高考3 第3講　變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例　新題培優(yōu)練

[基礎(chǔ)題組練]1．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：x345678y4.02.50.50.50.40.1得到的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則()A.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 B.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))<0C.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 D.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))<0解析：選B.根據(jù)給出的數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)：整體上y與x呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，所以eq\o(b,\s\up6(^))<0，由樣本點(diǎn)(3，4.0)及(4，2.5)可知eq\o(a,\s\up6(^))>0，故選B.2．某考察團(tuán)對10個城市的職工人均工資x(千元)與居民人均消費(fèi)y(千元)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得出y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.6x＋1.2.若某城市職工人均工資為5千元，估計該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比為()A．66% B．67%C．79% D．84%解析：選D.因?yàn)閥與x具有線性相關(guān)關(guān)系，滿足回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.6x＋1.2，該城市居民人均工資為x＝5，所以可以估計該城市的職工人均消費(fèi)水平eq\o(y,\s\up6(^))＝0.6×5＋1.2＝4.2，所以可以估計該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比為eq\f(4.2,5)＝84%.3．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A．－1 B．0C.eq\f(1,2) D．1解析：選D.所有點(diǎn)均在直線上，則樣本相關(guān)系數(shù)最大，即為1，故選D.4．(2019·黑龍江哈爾濱模擬)千年潮未落，風(fēng)起再揚(yáng)帆，為實(shí)現(xiàn)“兩個一百年”奮斗目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國夢奠定堅實(shí)基礎(chǔ)，某校積極響應(yīng)國家號召，不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度，據(jù)不完全統(tǒng)計：年份(屆)2014201520162017學(xué)科競賽獲省級一等獎及以上的學(xué)生人數(shù)x51495557被清華、北大等世界名校錄取的學(xué)生人數(shù)y10396108107根據(jù)上表可得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))為1.35，該校2018屆同學(xué)在學(xué)科競賽中獲省級一等獎及以上的學(xué)生人數(shù)為63，據(jù)此模型預(yù)測該校今年被清華、北大等世界名校錄取的學(xué)生人數(shù)為()A．111 B．117C．118 D．123解析：選B.因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))＝53，eq\o(y,\s\up6(－))＝103.5，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝103.5－1.35×53＝31.95，所以回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.35x＋31.95.當(dāng)x＝63時，代入解得eq\o(y,\s\up6(^))＝117，故選B.5．隨著國家二孩政策的全面放開，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機(jī)構(gòu)用簡單隨機(jī)抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如下表．非一線一線總計愿生452065不愿生132235總計5842100由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，得K2＝eq\f(100×（45×22－20×13）2,65×35×58×42)≈9.616.參照下表，P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828下列結(jié)論正確的是()A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級別無關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級別無關(guān)”解析：選C.因?yàn)镵2≈9.616>6.635，所以有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”，故選C.6．經(jīng)調(diào)查某地若干戶家庭的年收入x(萬元)和年飲食支出y(萬元)具有線性相關(guān)關(guān)系，并得到y(tǒng)關(guān)于x的回歸直線方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.245x＋0.321，由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元．解析：x變?yōu)閤＋1，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加0.245萬元．答案：0.2457．已知某次考試之后，班主任從全班同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為8的樣本，他們的數(shù)學(xué)、物理成績(單位：分)對應(yīng)如下表：學(xué)生編號12345678數(shù)學(xué)成績6065707580859095物理成績7277808488909395給出散點(diǎn)圖如下：根據(jù)以上信息，判斷下列結(jié)論：①根據(jù)散點(diǎn)圖，可以判斷數(shù)學(xué)成績與物理成績具有線性相關(guān)關(guān)系；②根據(jù)散點(diǎn)圖，可以判斷數(shù)學(xué)成績與物理成績具有一次函數(shù)關(guān)系；③從全班隨機(jī)抽取甲、乙兩名同學(xué)，若甲同學(xué)數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，乙同學(xué)數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，則甲同學(xué)的物理成績一定比乙同學(xué)的物理成績高．其中正確的個數(shù)為________．解析：由散點(diǎn)圖知，各點(diǎn)都分布在一條直線附近，故可以判斷數(shù)學(xué)成績與物理成績具有線性相關(guān)關(guān)系，但不能判斷數(shù)學(xué)成績與物理成績具有一次函數(shù)關(guān)系，故①正確，②錯誤；若甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，乙同學(xué)數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，則甲同學(xué)的物理成績可能比乙同學(xué)的物理成績高，故③錯誤．綜上，正確的個數(shù)為1.答案：18．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，6)都在曲線y＝bx2－eq\f(1,3)附近波動．經(jīng)計算eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xi＝11，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))yi＝13，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝21，則實(shí)數(shù)b的值為________．解析：令t＝x2，則曲線的回歸方程變?yōu)榫€性的回歸方程，即y＝bt－eq\f(1,3)，此時eq\o(t,\s\up6(－))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i),6)＝eq\f(7,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))yi,6)＝eq\f(13,6)，代入y＝bt－eq\f(1,3)，得eq\f(13,6)＝b×eq\f(7,2)－eq\f(1,3)，解得b＝eq\f(5,7).答案：eq\f(5,7)9．某市調(diào)研考試后，某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學(xué)考試成績進(jìn)行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀．統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為eq\f(3,11).優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10乙班30總計110(1)請完成上面的列聯(lián)表；(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按99.9%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”．參考公式與臨界值表：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解：(1)列聯(lián)表如下：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班105060乙班203050總計3080110(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2＝eq\f(110×（10×30－20×50）2,60×50×30×80)≈7.486<10.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”．10．(2019·長沙市統(tǒng)一模擬考試)某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計劃，收集了近6個月廣告投入量x(單位：萬元)和收益y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如下表：月份123456廣告投入量/萬元24681012收益/萬元14.2120.3131.831.1837.8344.67他們用兩種模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值：eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,6,)xiyieq\i\su(i＝1,6,)xeq\o\al(2,i)7301464.24364(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由．(2)殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除；(ⅰ)剔除異常數(shù)據(jù)后，求出(1)中所選模型的回歸方程；(ⅱ)廣告投入量x＝18時，(1)中所選模型收益的預(yù)報值是多少？附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xiyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解：(1)應(yīng)該選擇模型①，因?yàn)槟Ｐ廷俚臍埐铧c(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且模型①的帶狀區(qū)域比模型②的帶狀區(qū)域窄，所以模型①的擬合精度高，回歸方程的預(yù)報精度高．(2)(ⅰ)剔除異常數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)后，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(7×6－6)＝7.2，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(30×6－31.8)＝29.64.eq\i\su(i＝1,5,)xiyi＝1464.24－6×31.8＝1273.44，eq\i\su(i＝1,5,)xeq\o\al(2,i)＝364－62＝328.eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do8(i＝1))xiyi－5eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(5),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5eq\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1273.44－5×7.2×29.64,328－5×7.2×7.2)＝eq\f(206.4,68.8)＝3，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝29.64－3×7.2＝8.04.所以y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3x＋8.04.(ⅱ)把x＝18代入(ⅰ)中所求回歸方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝3×18＋8.04＝62.04，故預(yù)報值為62.04萬元．[綜合題組練]1．中央政府為了應(yīng)對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題，擬定出臺“延遲退休年齡政策”．為了了解人們對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責(zé)成人社部進(jìn)行調(diào)研．人社部從網(wǎng)上年齡在15～65歲的人群中隨機(jī)調(diào)查100人，調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結(jié)果如下：年齡[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65]支持“延遲退休”的人數(shù)155152817(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異；45歲以下45歲以上總計支持不支持總計(2)若以45歲為分界點(diǎn)，從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項活動．現(xiàn)從這8人中隨機(jī)抽2人．①抽到1人是45歲以下時，求抽到的另一人是45歲以上的概率；②記抽到45歲以上的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)及公式：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)解：(1)列聯(lián)表如下：45歲以下45歲以上總計支持354580不支持15520總計5050100因?yàn)镵2＝eq\f(100×（35×5－45×15）2,50×50×80×20)＝eq\f(25,4)＝6.25＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異．(2)從不支持“延遲退休”的人中抽取8人，則45歲以下的應(yīng)抽6人，45歲以上的應(yīng)抽2人．①抽到1人是45歲以下的概率為eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，抽到1人是45歲以下且另一人是45歲以上的概率為eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(3,7).故所求概率為eq\f(\f(3,7),\f(3,4))＝eq\f(4,7).②X＝0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(15,28)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(12,28)＝eq\f(3,7)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(1,28).可得隨機(jī)變量X的分布列為X012Peq\f(15,28)eq\f(3,7)eq\f(1,28)故E(X)＝1×eq\f(3,7)＋2×eq\f(1,28)＝eq\f(1,2).2．(2019·洛陽第一次聯(lián)考)隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運(yùn)而生．某市場研究人員為了了解共享單車運(yùn)營公司M的經(jīng)營狀況，對該公司6個月內(nèi)的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計，并繪制了相應(yīng)的折線圖．(1)由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月度市場占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系．求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測M公司2017年4月份(即x＝7時)的市場占有率．(2)為進(jìn)一步擴(kuò)大市場，公司擬再采購一批單車．現(xiàn)有采購成本分別為1000元/輛和1200元/輛的A，B兩款車型可供選擇，按規(guī)定每輛單車最多使用4年，但由于多種原因(如騎行頻率等)會導(dǎo)致車輛使用年限各不相同．考慮到公司運(yùn)營的經(jīng)濟(jì)效益，該公司決定先對兩款車型的單車各100輛進(jìn)行科學(xué)模擬測試，得到兩款單車使用年限頻數(shù)表如下：使用年限車型1年2年3年4年總計A20353510100B10304020100經(jīng)測算，平均每輛單車每年可以帶來收入500元．不考慮除采購成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車的使用年限都是整數(shù)，且以頻率作為每輛單車使用年限的概率．如果你是M公司的負(fù)責(zé)人，以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù)，你會選擇采購哪款車型？參考公式：回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解：(1)由數(shù)據(jù)計算可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5＋6,6)＝3.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(11＋13＋16＋15＋20