2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽市第五中學(xué)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．斜率為，在軸上截距為的直線方程的一般式為A． B．C． D．【答案】A【詳解】分析：利用直線的點(diǎn)斜式方程，求得，化為一般式即可．詳解：因?yàn)橹本€在軸上的截距為，即直線過點(diǎn)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得，整理得，即所成直線的方程的一般式為，故選A．點(diǎn)睛：本題主要考查了直線方程的求解，熟記直線方程的形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．2．直線的傾斜角的取值范圍是（

）.A．B．C．D．【答案】B【解析】求出直線斜率的范圍，由斜率與傾斜角的關(guān)系確定傾斜角的范圍．【詳解】∵直線斜率，又，∴，設(shè)直線傾斜角為，∴，而，故傾斜角的取值范圍是，故選：B．3．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則（

）A．－4 B．－10 C．4 D．10【答案】A【分析】根據(jù)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的規(guī)律：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，即可求出點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求.【詳解】解：由題意，關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，從而有點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，?1，-3）．.故選：A．【點(diǎn)睛】本題以空間直角坐標(biāo)系為載體，考查點(diǎn)關(guān)于面的對(duì)稱，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4．在一平面直角坐標(biāo)系中，已知，，現(xiàn)沿軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角，則折疊后，兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平面直角坐標(biāo)系中已知，，現(xiàn)沿軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角后，通過向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解距離即可．【詳解】解：平面直角坐標(biāo)系中已知，，沿軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角后，作AC⊥x軸，交x軸于C點(diǎn)，作BD⊥x軸，交x軸于D點(diǎn)，則，的夾角為120°∴，,即折疊后，兩點(diǎn)間的距離為.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．5．已知正四面體的各棱長為1，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】把表示為，然后再求數(shù)量積．【詳解】由題意，四面體是正四面體，每個(gè)面都是正三角形，∴．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是把表示為，然后計(jì)算即可．6．已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或－1 B．－1 C．1或－1 D．1【答案】C【分析】由題意可得，圓的圓心為，半徑為1，結(jié)合是等腰直角三角形，可得圓心到直線的距離等于，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，從而可求得的值．【詳解】解：由題意得，圓的圓心為，半徑為1，由于直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且為等腰直角三角形，可知，，所以，∴圓心到直線的距離等于，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：圓心到直線的距離，解得：，所以實(shí)數(shù)的值為1或－1.故選：C．7．已知實(shí)數(shù)、滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可得，令，可知直線與圓有公共點(diǎn)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解出的取值范圍即可得解.【詳解】實(shí)數(shù)、滿足，即，方程表示以為圓心，半徑等于的圓，而，令，可得，所以，直線與圓有公共點(diǎn)，所以，解得，所以，.故選：A.8．過點(diǎn)A（11，2）作圓的弦，其中弦長為整數(shù)的共有A．16條 B．17條 C．32條 D．34條【答案】C【詳解】試題分析：將化為，即該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，且，且經(jīng)過點(diǎn)的弦的最大長度為（當(dāng)弦過圓心時(shí)），最小弦長為（當(dāng)弦與直線垂直時(shí)），所以其中弦長為整數(shù)的可能是10（一條），（各兩條，共30條），26（一條），一共32條；故選C．【解析】1．圓的對(duì)稱性；2．直線與圓的位置關(guān)系．二、多選題9．若為空間的一組基底，則下列選項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用空間向量的共面定理進(jìn)行分析，逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)中的向量是否共面，即可判斷得到答案．【詳解】解：因?yàn)闉榭臻g的一組基底，則，，不共面，則，，不共面，所以可以作為基底，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，故，，共面，所以不能作為基底，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，不共面，所以可以作為基底，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，故，，共面，所以不能作為基底，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．10．下列說法不正確的是（

）A．不能表示過點(diǎn)且斜率為的直線方程；B．在軸、軸上的截距分別為的直線方程為；C．直線與軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為；D．平面內(nèi)的所有直線的方程都可以用斜截式來表示.【答案】BCD【解析】由中可判斷A；當(dāng)可判斷B；由距離為正數(shù)可判斷C；由截距式斜率一定存在可判斷D【詳解】由于定義域?yàn)椋什贿^點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，在軸、軸上的截距分別為0的直線不可用表示，故B不正確；直線與軸的交點(diǎn)為，到原點(diǎn)的距離為，故C不正確；平面內(nèi)斜率不存在的直線不可用斜截式表示.故選：BCD【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程的幾種形式的適用范圍，考查了學(xué)生概念理解，綜合分析的能力，屬于基礎(chǔ)題.11．已知直線和，若直線到直線的距離與到直線的距離之比為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】首先設(shè)直線，直線到直線和的距離分別為，根據(jù)題意得到，再解方程即可得到答案?！驹斀狻吭O(shè)直線，且，直線到直線和的距離分別為，由題知：，，因?yàn)?，所以，即，解得或，即直線為或。故選：BD【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線間的距離公式，熟記公式為解題關(guān)鍵，屬于簡單題。12．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值（）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為圓，下列結(jié)論正確的是（

）A．圓的方程是B．過點(diǎn)向圓引切線，兩條切線的夾角為C．過點(diǎn)作直線，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線距離為2，該直線斜率為D．在直線上存在異于，的兩點(diǎn)，，使得【答案】ABD【解析】根據(jù)，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)，求出其軌跡方程，然后再逐項(xiàng)運(yùn)算驗(yàn)證.【詳解】因?yàn)?，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)，則，化簡得：，即，故A正確；因?yàn)?，所以，則，解得，故B正確；易知直線的斜率存在，設(shè)直線，因?yàn)閳A上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線距離為2，則圓心到直線的距離為：，解得，故C錯(cuò)誤；假設(shè)存在異于，的兩點(diǎn)，，則，化簡得：，因?yàn)辄c(diǎn)P的軌跡方程為：，所以解得或（舍去），故存在，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)求出點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解.三、填空題13．若直線l的一個(gè)方向向量，則直線l的傾斜角______．【答案】【分析】由題意可知，再利用誘導(dǎo)公式化簡可得，結(jié)合傾斜角和斜率的關(guān)系即可求出直線l的傾斜角．【詳解】解：∵直線l的一個(gè)方向向量，∴，∴直線l的傾斜角，故答案為：．14．當(dāng)點(diǎn)到直線l：距離的最大值時(shí)，直線l的一般式方程是______．【答案】【分析】將直線方程變形為，得直線系恒過點(diǎn)，由此得到P到直線l的最遠(yuǎn)距離為，此時(shí)直線垂直于PA，即可求出直線方程．【詳解】解：∵直線l：，∴可將直線方程變形為，∴，解得，，由此可得直線l恒過點(diǎn)，所以P到直線l的最遠(yuǎn)距離為，此時(shí)直線垂直于PA．∵，∴直線l的斜率為，∴，∴，∴直線l的一般方程為．故答案為：．15．直線與曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的的取值范圍是________.【答案】【分析】根據(jù)方程可知直線恒過點(diǎn)，畫出圖象，先求出切線時(shí)，利用圓心到直線距離為半徑可求出，再結(jié)合圖形求出當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)，時(shí)，實(shí)數(shù)的取值，即可的的取值范圍．【詳解】解：如圖，由題知曲線即，表示以為圓心，2為半徑的半圓，該半圓位于直線上方，直線恒過點(diǎn)，因?yàn)橹本€與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，由圓心到直線的距離等于半徑得，解得，由圖，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的斜率不存在，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，或，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題四、雙空題16．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)M，N分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，則二面角C﹣AM﹣N的余弦值為__．若動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1B1（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且PA1∥平面AMN，則線段PA1的長度范圍是__．【答案】

【分析】延長AM至Q，使得CQ⊥AQ，連接NQ，得∠NQC為二面角C﹣AM﹣N的平面角，在直角三角形中求得其余弦值，然后點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（m，2，n）（0≤m，n≤2），求出平面的一個(gè)法向量，利用向量法求得的軌跡方程，得軌跡，由對(duì)稱性得長度的最大值和最小值．【詳解】解：延長AM至Q，使得CQ⊥AQ，連接NQ，如圖，由于ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，正方體中有平面，平面，所以，即，，平面，所以平面，又平面，所以，所以∠NQC為二面角C﹣AM﹣N的平面角，而，故，∴，∴；以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(m，2，n)（0≤m，n≤2），A(2，0，0)，M(1，2，0），N(0，2，1），A1(2，0，2），則，，設(shè)平面AMN的一個(gè)法向量為，則，故可取，又PA1∥平面AMN，∴，∴點(diǎn)P的軌跡為經(jīng)過BB1，B1C1中點(diǎn)的線段，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)P在兩個(gè)中點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P在兩個(gè)中點(diǎn)連線段的中點(diǎn)時(shí)，，故選段PA1的長度范圍是．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查求二面角，考查空間軌跡問題，求空間線段的長度．解題方法是建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求得空間點(diǎn)的軌跡，從而利用軌跡的對(duì)稱性求得長度的最值．五、解答題17．已知圓的方程為．（1）求過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；（2）直線過點(diǎn)，且與圓交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程．【答案】（1）或；（2）或．【分析】（1）分直線斜率不存在和存在，根據(jù)直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求得答案；（2）根據(jù)題意，若，則圓心到直線的距離，結(jié)合（1）可知直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，根據(jù)圓心到直線的距離列出方程，從而可得答案.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，點(diǎn)在圓外，分兩種情況討論：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線方程是，與圓：相切，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離為，解得．此時(shí)，直線的方程為．所以滿足條件的直線的方程是或；（2）根據(jù)題意，若，則圓心到直線的距離，結(jié)合（1）知直線的斜率一定存在．設(shè)直線的方程為，即，則，解得或．所以滿足條件的直線方程是或．18．已知△的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為.（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求邊所在的直線方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由線段的中點(diǎn)在直線上可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，可求得實(shí)數(shù)的值，由此可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求出點(diǎn)關(guān)于直線的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，即為直線的方程.【詳解】（1）由題意可知，點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可知，點(diǎn)在直線上，則，解得，則，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，由題意可得，解得，即點(diǎn)，直線的斜率為，所以，直線的方程為，即.【點(diǎn)睛】解決點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題要把握兩點(diǎn)：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則線段的中點(diǎn)在直線上，直線與直線垂直．19．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．若PA＝AD＝3，CD=．（1）求證：AF平面PCE；（2）求點(diǎn)F到平面PCE的距離；（3）求直線FC與平面PCE所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）設(shè)G為PC的中點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)G，F(xiàn)G為△PCD的中位線，F(xiàn)G∥CD∥AE，又E為AB的中點(diǎn)，AE＝FG，AEGF為平行四邊形，AF∥EG，即可得證；（2）利用等體積法，四棱錐P﹣AEGF的體積＝三棱錐F﹣PEG體積的2倍＝三棱錐F﹣PEC體積，即可得解；（3）作FH⊥平面PCE于H，∠FCH是FC與平面PCE所成的角，在△FCH中，F(xiàn)H=，F(xiàn)C=，由正弦公式即可得解.【詳解】（1）證明：設(shè)G為PC的中點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)G，∵FG為△PCD的中位線，∴FG∥CD∥AE又∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝FG，∴AEGF為平行四邊形，∴AF∥EG∵AF?平面PCE，EG?平面PCE，∴AF∥平面PCE；（2）設(shè)F到平面PEC的距離為h，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥EA，又∵ABCD為矩形，∴EA⊥AD，∵PA∩AD＝A，∴EA⊥平面PAD，∴AEGF為矩形，∵△PAD為等腰直角三角形，∴PF是棱錐P﹣AEGF的高，∴四棱錐P﹣AEGF的體積=?PF?FG?AF=，∵PE＝EC=，PC＝，∴由余弦定理可得cos∠PEC=，∴sin∠PEC=∴S△PEC＝；∵四棱錐P﹣AEGF的體積＝三棱錐F﹣PEG體積的2倍＝三棱錐F﹣PEC體積，∴，∴h=，∴F點(diǎn)到平面PEC的距離為；（3）作FH⊥平面PCE于H，∴∠FCH是FC與平面PCE所成的角，由（2）知，在△FCH中，F(xiàn)H=，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAE，CD⊥PD，根據(jù)數(shù)據(jù)可得：FC=，∴sin∠FCH=，∴直線FC與平面PCE所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的證明，以及點(diǎn)到面的距離以及線面所成角，考查了等體積法求高和轉(zhuǎn)化思想，要求較高的計(jì)算能力，屬于較難題.20．設(shè)直線l的方程為，圓O的方程為．(1)當(dāng)m取一切實(shí)數(shù)時(shí)，直線l與圓O都有公共點(diǎn)，求r的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，直線與圓O交于M，N兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)由直線的方程可得直線l過定點(diǎn)，要直線l與圓O都有公共點(diǎn)，只要點(diǎn)P在圓內(nèi)或圓上即可解出，(2)設(shè)出MN中點(diǎn)為E，結(jié)合題意，由垂徑定理，可得的范圍，求解答案即可．【詳解】（1）直線l的方程可整理得，∴直線l過定點(diǎn)，要直線l與圓O都有公共點(diǎn)，只要P點(diǎn)在圓內(nèi)或圓上，即，又，∴；（2）設(shè)MN的中點(diǎn)為E，則，由垂徑定理得，，即為，所以，即，又，∴，即．21．如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，．，是棱上的動(dòng)點(diǎn)（除端點(diǎn)外），分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若直線與平面所成的最大角為30°，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，先明平面平面，再證明結(jié)論；（2）先根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用用向量數(shù)量積計(jì)算直線與平面成角正弦值，列方程求最值解，再