正弦定理與余弦定理

關(guān)于正弦定理與余弦定理第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日

1.問題的引入:

.(1)在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事.明月高懸,我們仰望夜空,會有無限遐想,不禁會問,月亮離我們地球有多遠(yuǎn)呢?科學(xué)家們是怎樣測出來的呢？第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日(2)設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,只給你米尺和量角設(shè)備,不過河你可以測出它們之間的距離嗎?AB我們這一節(jié)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是解決這些問題的有力工具.第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日正弦定理正弦定理正弦定理第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系?

ABCcba兩等式間有聯(lián)系嗎？思考:對一般的三角形,這個結(jié)論還能成立嗎?2.定理的推導(dǎo)1.1.1正弦定理第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日(1)當(dāng)是銳角三角形時,結(jié)論是否還成立呢?D如圖:作AB上的高是CD,根椐三角形的定義,得到1.1.1正弦定理BACabcE第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日(2)當(dāng)是鈍角三角形時,以上等式是否仍然成立?BACbca1.1.1正弦定理D第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日

正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即1.1.1正弦定理解三角形:已知三角形的幾個元素求其他元素的過程含三角形的三邊及三內(nèi)角,由己知二角一邊或二邊一角可表示其它的邊和角定理結(jié)構(gòu)特征:第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日二、外接三角形中OB/cbaCBA第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日1、正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即能否用向量法來證明正弦定理？第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日我們選擇單位向量→j

并讓與垂直.→jAC→j與ABACCB的夾角分別為即:→jAB·→j(AC+CB)·ABC=bac第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日c·sinA=a·sinC同理:a·sinB=b·sinA→BCbacA即即第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日正弦定理:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等.即第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日（四）定理的應(yīng)用例1在△ABC中，已知c=10,A=45。,C=30。求b(保留兩位有效數(shù)字）。解：∵

且∴b=19=已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日變式訓(xùn)練：（1）在△ABC中，已知b=，A=，B=，求a。（2）在△ABC中，已知c=，A=，B=，求b。解：∵∴==解：∵=又∵∴第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日例2證明：∵用正弦定理證明三角形面積BACDabc而∴又∴第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日例3、在△ABC中，已知a=28，b=20，A=120o，求B（精確到1o）和c（保留兩個有效數(shù)字）。baCBA120o小結(jié)：2、已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解或一解。如圖第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日（1）A為銳角a=bsinA(一解）AbaBCAB2baB1CabsinA<a<b(兩解）AbaBCa≥b(一解）第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日（2）A為直角或鈍角a>b(一解）baABCbaCBAa>b(一解）第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日（五）總結(jié)提煉（1）三角形常用公式：（2）正弦定理應(yīng)用范圍：①已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角

②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角。正弦定理：第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日基礎(chǔ)練習(xí)題1.1.1正弦定理B=300無解第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日（3）在△ABC中，B=30°，AB=，AC=2，則△ABC的面積是解：根據(jù)正弦定理，有所以則C有兩解：1)當(dāng)C為銳角時，C=60°A=90°∴S=當(dāng)C為鈍角時，C=120°A=30°2)∴S=ABCC第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日余弦定理第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日千島湖ABC110.8°700m1338m第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日千島湖

ABC110.8°700m1338m用正弦定理能否直接求出A,B兩處的距離？這是一個已知三角形兩邊a和b,和兩邊的夾角C，求出第三邊c的問題.?第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日角邊角角角邊邊邊角邊角邊邊邊邊正弦定理天?。≡撛趺崔k呢？？第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日ABCcba已知三角形兩邊分別為a和b,這兩邊的夾角為C，角C滿足什么條件時較易求出第三邊c？勾股定理你能用向量證明勾股定理嗎？即證第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日CBAbca第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日CBAbca第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日CBAbca第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日

余弦定理

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。勾股定理令C＝900勾股定理與余弦定理有何關(guān)系？適用于任何三角形第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日ACBbacxyDC(bcosA,bsinA)能不能用坐標(biāo)方法來證明余弦定理呢？B(c,0)第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日ACBbacxyDC(bcosA,bsinA)能不能用坐標(biāo)方法來證明余弦定理呢？B(c,0)第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日

余弦定理

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。勾股定理令C＝900勾股定理與余弦定理有何關(guān)系？這個定理有什么作用？若已知b=8,c=3,A=,能求a嗎？適用于任何三角形第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日它還有別的用途嗎？若已知a,b,c,可以求什么？利用余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊，求三個角;（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊，進(jìn)而還可求其它兩個角。歸納：第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日角邊角角角邊邊邊角邊角邊邊邊邊正弦定理余弦定理第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日千島湖

ABC110.8°700m1338m?答：A,B兩處的距離約為1716米。引題（精確到1米）第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日例3、在△ABC中，已知b=60cm,c=34cm,A=41，解三角形（角度精確到1o，邊長精確到1cm）解：根據(jù)余弦定理所以第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日例4、在△ABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形（角度精確到1）解：由余弦定理的推論得第三十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日練習(xí)：解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA=4+9-2×2×3×=7∴BC=在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=，求BC的長第四十頁，共四十四頁，2022年，8月28日例5：一鈍角三角形的邊長為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長為（）

分析：要看哪一組符合要求，只需檢驗(yàn)?zāi)囊粋€選項(xiàng)中的最大角是鈍角，即該角的余弦值小于0。B中：，所以C是鈍角D中：，所以C是銳角，

因此以4，5，6為三邊長的三角形是銳角三角形A、C顯然不滿足BA、1，2，3B、2，3，4C、3，4，5D、4，5，6第四十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日例6：在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC=,求最大角的余弦值分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷哪個角是最大角