微積分-導數(shù)與微分

3November 3November 導設函數(shù)??=??????,

在??, 上有定義。設??0,??0+?????=??0+????0=稱為自變量的改變量。????=????0+ ??? 變量的改變量。????與??,??0????函數(shù)?? lim????=3November ??????????=??(??)??0??0????之間??????????????平均變化率代表曲線??=?? 上兩????0,??0,????0+Δ??,??0+Δ?? 點????????Δ??Δ?? Δ??可以代表物體在時段??0,??0+3November 定義設函數(shù)??=?? 在區(qū)間??, 上有定義。??0∈ ????lim?? ??? lim????0+ ???

???

存在，則稱函數(shù)??=???? 在點??=??0處可導，極限值稱為函數(shù)??=???? 在點??0處關于自變量??的導數(shù)，記為??′ 或??′??0.若以上極限不存在，則稱函數(shù)??=????=??03November 當Δ??→0+,上述極限若存在則稱為右導數(shù)當Δ??→ 稱為左導數(shù)，分別記為??′ 或??′ . ??′

????0+ ??? lim?? ??? 0 0

???當導數(shù)存在時，??′ 即為曲線??=?? 在????0?? ??=?? +??′ ?????0??=3November 定義若函數(shù)??=???? 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的任一點均可導，稱其在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導。其導數(shù)稱為??的一階導函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)，記為??′??,??′,??,????/????.??=????在(a,b)a處的右[a,b]上可導。3November 例設?? ??.證明??′ 證

,??> ???′ =

??→??

??? 3November 解當??≠0Δ??→0時，由于1

?

Δ????′=???????1.當??=0

1 1=???2

1′= 3November 例72-3已知?? =sin??.證明??′ =cos??證??′ =limsin???sin??=cos?? ???sin??′=cos??例72-4已知?? =????.證明??′ =????.證??′ =

????????? ????(????????=

=??????→??于是????′=????.

???

??→??

???3November 例[連續(xù)未必可導(1)?? ??;(2)??=3??;(3)??=??sin1,?? =3November ?例75-10設?? 1???2.求??′ 1?3November 導數(shù)的計**定理設函數(shù)????,?? 均在點??處可導。設??為數(shù)。則在點????+??′=??′+??′,????′=????′.????′=??′??+??′??, ??′?????′ ,?? ≠3November 定理定理[復合函數(shù)求導法則鏈式法則設函數(shù)??=??在點??0處可導并且函數(shù)??在??0=??則??=???? 在點??0處可導并且??′ =??′=??0??????????=??0.???? ′=??′ ?? ??′??????=???????? ????3November 例cos??′sin??解對??=cos??=

??? 2例tan??′=sec2??解對tan??=sin??cos81-6??????=????ln??例80-5求tancos????2 3November 定理反函數(shù)求導法則。設區(qū)間定理反函數(shù)求導法則。設區(qū)間J數(shù)??=?? 的反函數(shù)為??=????.若??′ ≠0,?? 在點??=?? 處的導數(shù)存在并且=??′1.3November 例ln??′=1/??.例arctan??′ 例82- arcsin??′ 3November 對函數(shù)??=??

例81- ??sin ′=??sin??????????????????

cos??ln??+sin = sin83-11

+1 1.3November 例??sin??cos??cos2??=cos4?? ??3?7 83-

=2???

? 例

????= ????3November +??′+

??′

??

??+1,??< sin??,??≥ 求??′ 0,??′ 0,??′0+ 解??′ limsin???sin0= ??????′ ?

??′

limcos??=3November

??

sin??,??≠0,??=求??′0,??′ 0+,lim??′ ??解根據(jù)導數(shù)定義??′ =當??≠ =2??sin???cos??取極限可知??′0+,lim??′ 3November **????=???????? ????84-84-3November 微立方體的體積。設邊長為??.其體積為??=??3.考慮邊長有增量Δ??的情況。此時Δ?? ??+Δ??3???3=3??2Δ??+3??Δ??2 Δ??Δ??→0時Δ??=3??2Δ??+?? ≈3November 定定義設函數(shù)??=?? 在開區(qū)間??, 上有定義并??0∈ ????.A,Δ??=??Δ??+??Δ??則稱函數(shù)??=???? 數(shù)在點??0處的微分，記作??????0 或??????0.微分也稱3November 定定理函數(shù)??=???? 在點??0處可微的充分必要條件是它在點??0處可導。并且有??=??′ ??0.證設函數(shù)??=?? 在點??0處可微?？赏??′ limΔ??= Δ??→0故?? 在點??0處的導數(shù)存在且等于????0若?? 在點??0處可導，則 Δ?????′ ??0 = =Δ??→0

?Δ??=??′ ??0Δ??+??Δ??3November

???? =記????=Δ??.又已知??=??′ ??0.上式亦寫???? =??′ ??0??=sin????0??????=??0=cos??03November 函數(shù)在任意點的微分常記作????或??????.????=??′ ??

??′ =????3November *??*

和?? ????+ =????+????,?? =?? =??????+??????,

=?????????????,??≠3November 一階微分的形式不變性。設函數(shù)??=?? 和??=??均可微。對復合函數(shù)??=???? ,有鏈式法????=??′ ??????=??′ ?? ??′??3November 1+例90-2設??=ln?? 1+解????

例設?? 2??,??<ln1+2??,??≥

求3November 例計算函數(shù)?? 在點??=4處，當Δ??=0.02解??′

??

=1/4可得????=0.02/4=Δ??92-45??′??3November??′?? ??′

3November 隱函數(shù)和參變量的導以??=????形式表現(xiàn)的函數(shù)常稱為顯函數(shù)。當函數(shù)????,??=0確定時，稱該函數(shù)為隱94-1????????+????=0??=????.?????????????+????3November 例設方程????+ln??=????確定函數(shù)??=????.求??′0解??′ =??1???323295-4??3+??3=3????3232解??+???3=

95-5??2??2=1 3November 當方程組??=????,確定函數(shù)關系??= 時，稱其??=??以t作參變量的函數(shù)，簡稱為參變量函數(shù)。參變量函數(shù)????=????/???? 3November 例96-6設??=?? ??=??cos????=??sin??0<??< 解????=???cot?? ??=解??=????1????2.2tan??=????=???????,??

??2 ???????3November 97-8??=?????sin????=??1cos 0<??< 求曲線在??= 2處的切線方程解????

=所求切線方程為?????= ??? 23November 98-10??=4sin2??????4解????=2cos2??sin??+sin2??cos??= 2cos2??cos???sin2??sin2切線方程為??+??? =2例設??=cos??求????

??2

??(??2)3November 3November 高階導設??=?? 在區(qū)間??, 內(nèi)可導，其導函數(shù)為??′ ??若函數(shù)??′ 在點??0處可導，則將此導數(shù)記??′′ ??0,稱為函數(shù)??=???? 在點??0處的二階導數(shù)。稱函數(shù)???? 在點??0處二階可導。當??=???? 在區(qū)間??,?? 義了???? 的二階導函數(shù)，記作??′′ ??,??′′或??2??.????23November ′′例sin??′′=?sin?? ????2 =2????2+4??2????2類似地可定義三階導數(shù)，記作??′′′ ??,??′′′,??3??.一般????3??=?? 的n階導數(shù)記作?? ??,????,????????????3November 例100-2設??二次可導并且??′≠1.函數(shù)??=?? 方程??=????+ 確定。求??′′.3November ????2??′′????′??′???′′????′3.????2= = ????例設參數(shù)方程為??=?????sin??,求??2????=??1?cos??解??2??=

????2????2 ??1?cos??3November 例例????=????,=????ln????例例sin=??+2 cos=??+2.例例 ?1????!/????+1.??????+??????+=????