大二上-概率統(tǒng)計chap多維隨機變量及其分布

第三

量及其分二維 量及其聯(lián)合分邊緣分兩個 量的函數(shù)的分前面我們討論的是隨機實驗中一個隨量，又稱為一維隨量；然而試驗中的兩個甚至個隨量。 15-18歲青少年的身高X與體重 質(zhì)，更需要了解這兩個隨 二者作為一個整體來進行研究 （向）量定

二維 設(shè)X、Y為定義在同一樣本空間Ω上的隨量，則稱向量（X，Y）為Ω上的一個二維隨二維 A二維 量的聯(lián)合分布函定

若（X，Y）是 量，對于任意的實數(shù)

Fx，yPXx，Y 稱為二維 量的聯(lián)合分布函性F(x,y)分別關(guān)于x和y單調(diào)不0F(x,y)

F(,y)F(x,)

F(,)F(,)幾何XY平面上的隨機F(x,y)P{Xx,Y聯(lián)合分布函數(shù)表示矩形Px1Xx2,y1YFxFx2,y1Fx,y Fx,y Px1Xx2,y1YFx2,y2Fx2,y1Fx1,y2Fx1,y13.2二維離散型 定 研究問①（X，Y）可能②它取這二維離散型 若二維隨 個，則稱X，Y為二維離散型隨 設(shè)X，Y二維離散型 量，X的取值x1，x2，，xi，Y的取值y1，y2，，yj，i則稱 PXi

，Yy

二維離散型 量的聯(lián)合分布X，Y的聯(lián)合分布律也可以由下表表Y Y

y

pi2

p2 二維離散型 量聯(lián)合分布律的性性1對任意的iji，j2

PXx，Y 0pij

2

例到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分別記第一次和第二次取到的球標有的數(shù)字X,Y)的聯(lián)合分布列解X,Y的可能取值為(12)(21)(2PX1,Y2=12 PX2,Y1=21 PX2,Y2=21 １２１０２１２１０２二維離散型 量的聯(lián)合分布函 量，其(聯(lián)合)分布律PijPXxi，Yyji，j，2，則X，Y的聯(lián)合分布函數(shù)Fx， xix，yj

?，F(xiàn)依次從中任取兩球，以X表示第一次取出的球的號，解：（X，Y）的聯(lián)合概率分YX1YX12 625YX121YX12115解：（X，Y）的聯(lián)合概YX12115當(dāng)x1y1時x,yFx,yPXx,x,yPYX12115解：（X，Y）的聯(lián)合概YX12115當(dāng)1x2且1y2Fx,yPXx,Yx,yx,yYX12115解：（X，Y）的聯(lián)合概YX12115當(dāng)1x22yFx,yPXx,Yx,yPX,Yx,y64 YX12115解：（X，Y）的聯(lián)合YX121152x1y2時Fx,yPXx,YPX,Y64

x,y解：（X，Y）的聯(lián)合概率分x2且y2Fx,yPXx,Y

YX12115x,YX12115綜上所述，（X，Y）的聯(lián)合分布函 x1y6, 1x2且1y2Fx,y

10 1x22 2x1y 2x2二維連續(xù)型 量的聯(lián)合概率密定義若存在非負函數(shù)f(x,y)，使對任意實數(shù)x、y，二元隨 可表示成如 F(x,y)

f(u,v)dudv則稱(X,Y)是二元連續(xù)型 量。f(x,y稱為二元 量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)的非負

f(x,y).

f(x,y)dxdy

F(,) .2F(x,

f(x,

f(x,幾何解P(X,Y)Df(x,y)d 隨機事件的概率=曲頂柱體的體在幾何上，二維分布密度zf(x,y)的圖形是空性質(zhì)(2)的幾何解釋是：介于分布曲面zf(x, 平面之間的全部體積等于PX,YD}的幾何

而性質(zhì)(4)中zf(x, 為頂?shù)那斨w的體積例設(shè)二維 量(X,Y)的概率密度ke(2x3yf(x,y)

x0,y 確定常數(shù)X,Y)的分布函；P{0X40Y

P{XY}

f(x, ke(2x3y) k

e2xdx

e3y k[1e2x][1e3y k16所 k

fx0,或y0時f(x,y)

F(x,y)x0,且y0時F(x,y)

y6e2u3v

x x所以F(xy

P{0X 0Y11

46e(2x3y)14 14(1e8)(1e3)或P{0X 0Y

P{XY}f(x, Df(x,x

x0,yy y6e(2x3

dx 3e3y[1e2y]dy3e3ydy3e5ydy13 (4求P{XY}(4)P{XY}f(x,y)dxdyf(x,

006e

0y,0x

0

(x,y

13 (4求P{XY}(4)P{XY}f(x,y)dxdyf(x,

0x

0x,xy y(x,y 例已知二維 量（X，Y）的分布密 1f(x,y)

(6x 0x2,2y (1)PX1,Y32PXY解PX1,Y3f(x, D1dx31(6xy)dy 2 1 (6yxy y20

3dx282續(xù)解PXY3f(x,D 3 0dx

1(6xy)dy81

30

(6yxy y) 2思考已知二維 量（X，Y）的分布密度f(x,y)1(6x 0xf(x,y) PXY4X解答PXY4X PXY4,X PX 4 1dx

1(6x8

748 dx1(6x

3 2二維均勻設(shè)二維 量(X,Y)的概率密度f(x,f(x,y)

(x,y)其中D是平面上的有界區(qū)A，則稱X,Y)在D上服從均勻分布思考已知二維 量（X，Y）服從區(qū)域D上均勻分布，D為x軸，y軸及直線y=2x+1所圍成的三區(qū)域。求（1）分布函數(shù)；（2）

Y12 2 解（X,Y）的密度函 (1x0,0y2xf(x,y) 其 分布函

F(x,y)1

f(u,（1）當(dāng)x 時2f(x,y) 所

F(x,y)2

x0時y時，f(x,y)所以，F(xiàn)(x,y0y2x1F(x,y) 4dxdy 2y2x1y2 2 梯y2x1

梯 1F(x,y)

三角

4x2三角 （3）

x 時y時，f(x,y)所以，F(xiàn)(x,y0yF(x,y) 4dxdy 2y1y2 2 梯y

梯 F(x,y) 4S三角形三角所以，所求的分布函數(shù)

(x1或y212y2x 1

(x0,0y2x 1 2F(x,y)4x 2 y

x0,2x12y12 (0x,0y (x0,y 2PY 2 4

-

二維正態(tài)