2008年高考試題理科數(shù)學(xué)(江蘇卷)解析

精心整理2008年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)一、填空題：本大題共1小題，每題5分，共70分．1．若函數(shù)ycos(x)(0)最小正周期為5，則.62．若將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具），先后投擲兩次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率是．3．若將復(fù)數(shù)1i表示為abi(a,bR,i是虛數(shù)單位）的形式，則ab．1i4．若會(huì)合A{x|(x1)23x7,xR}，則AZ中有個(gè)元素.5．已知向量a和b的夾角為1200，|a|1,|b|3，則|5ab|．6．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的地區(qū)，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的地區(qū)，向D中隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投點(diǎn)在E中的概率是7．某地域?yàn)檎J(rèn)識(shí)7080歲的老人的日均勻睡眠時(shí)間（單位：h），隨機(jī)選擇了50位老人進(jìn)行檢查，下表是這50位老人睡眠時(shí)間的頻次散布表：序號(hào)分組組中值頻數(shù)頻次（Fi）在上i（睡眠時(shí)間）（Gi）（人數(shù)）分析16見(jiàn)算210輸出3208．設(shè)41054ii＋1曲線(xiàn)ylnx(x0)的一條切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)b的值是N9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)三角形ABCA(0,a),B(b,0),C(c,0)，點(diǎn)P(0,)p在線(xiàn)段AO上的一點(diǎn)這里a,b,c,p均為非零實(shí)數(shù)，設(shè)直線(xiàn)BP,CP分別與邊點(diǎn)E,F，某同學(xué)已正確求得直線(xiàn)OE的方程為1111，請(qǐng)你達(dá)成直線(xiàn)OF的方程：Fbxpy0ca( )x11y0。paB10．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：依據(jù)以上擺列的規(guī)律，第n行（n13）從左向右的第3個(gè)數(shù)為234560，則y211．設(shè)x,y,z為正實(shí)數(shù)，知足x2y3z的最小值是78910xz1112131415

開(kāi)始0i1輸入Gi，SS＋Gi·Fi≥5Y輸出SyA結(jié)束PExOC

述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的中一部分計(jì)算法流程圖，則的S的值為直線(xiàn)y1xb是2的極點(diǎn)分別為（異于端點(diǎn)），AC,AB交于精心整理12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓x2y21(ab0)的焦距為2c，以O(shè)為圓心，a為半徑作圓a2b2M，若過(guò)a2，作圓M的兩條切線(xiàn)相互垂直，則橢圓的離心率為P0c13．知足條件AB2,AC2BC的三角形ABC的面積的最大值14．設(shè)函數(shù)f(x)ax33x1(xR)，若關(guān)于隨意的x1,1都有f(x)0成立，則實(shí)數(shù)a的值為二、解答題：本大題共6小題，共90分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定地區(qū)內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、．．．．．．．證明過(guò)程或演算步驟。y15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊，，它們的終邊分別交單位圓于A，B兩點(diǎn)．已知

作兩個(gè)銳角AA，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是2，25．105

BO

x（1）求tan()的值；（2）求2的值．16．如圖，在四周體ABCD中，CBCD，ADBD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)．求證：（1）直線(xiàn)EF//面ACD。（2）平面EFC面BCD．B17．如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個(gè)極點(diǎn)A，B及CD的中點(diǎn)P處．AB＝20km，BC＝10km．為了辦理這三FE家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形地區(qū)上（含界限）且與A，B等距的一點(diǎn)O處，建筑一個(gè)污水辦理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO，BO，PO．記DPC鋪設(shè)管道的總長(zhǎng)度為ykm．D（1）按以下要求成立函數(shù)關(guān)系式：COA（i）設(shè)BAO（rad），將y表示成的函數(shù)；（ii）設(shè)OPx（km），將y表示成x的函數(shù)；BA（2）請(qǐng)你采用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系確立污水辦理廠的地點(diǎn)，使鋪設(shè)的污水管道的總長(zhǎng)度最短。18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，記二次函數(shù)f(x)x22xb（xR）與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)．經(jīng)過(guò)三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C．（1）務(wù)實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）求圓C的方程；（3）問(wèn)圓C能否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b的沒(méi)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．19．（1）設(shè)a1,a2,,an是各項(xiàng)均不為零的n（n≥4）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差d0，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后獲得的數(shù)列（按本來(lái)的次序）是等比數(shù)列．i）當(dāng)n4時(shí)，求a1的數(shù)值；dii）求n的全部可能值．2）求證：關(guān)于給定的正整數(shù)n(n≥4)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的等差數(shù)列精心整理b1，b2，，bn，此中隨意三項(xiàng)（按本來(lái)的次序）都不可以構(gòu)成等比數(shù)列．20．已知函數(shù)f1(x)3xp1，f2(x)23xp2（xR,p1,p2為常數(shù)）．函數(shù)f(x)定義為：對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x，ff1(x),若f1(x)f2(x)(x)f2(x)f2(x),若f1(x)（1）求f(x)f1(x)對(duì)全部實(shí)數(shù)x成立的充分必需條件（用p1,p2表示）；（2）設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，知足ab，且p1,p2(a,b)．若f(a)f(b)，求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的單一增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為ba（閉區(qū)間[m,n]的長(zhǎng)度定義為nm）2數(shù)學(xué)附帶題21：從A，B，C，D四此中選做2個(gè)，每題10分，共20分A．選修4—1幾何證明選講如圖，設(shè)△ABC的外接圓的切線(xiàn)AE與BC的延伸線(xiàn)交于點(diǎn)E，∠BAC的均分線(xiàn)與BC交于點(diǎn)D．求證：ED2EBEC．B．選修4—2矩陣與變換A在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓4x2y21在矩陣0,01))對(duì)應(yīng)的變換作用下獲得曲線(xiàn)F，求F的方程．BDCEC．選修4—4參數(shù)方程與極坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(x，y)是橢圓x2y21上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求Sxy的最大值．3D．選修4—5不等式證明選講設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：1113．3b3c3+abc≥2a22．【必做題】記動(dòng)點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的對(duì)角線(xiàn)BD1上一點(diǎn)，記D1P．當(dāng)D1BAPC為鈍角時(shí)，求的取值范圍．23．【必做題】．請(qǐng)先閱讀：在等式cos2x2cos2x1（xR）的兩邊求導(dǎo)，得：(cos2x)(2cos2x1)，由求導(dǎo)法例，得(sin2x)24cosx(sinx)，化簡(jiǎn)得等式：sin2x2cosxsinx．（1）利用上題的想法（或其余方法），聯(lián)合等式(1+x)n=C0nC1nxCn2x2Cnnxn（xR，正整數(shù)nn≥2），證明：n[(1x)n11]kCnkxk1．k2（2）關(guān)于正整數(shù)n≥3，求證：精心整理n(1)kkCnkn(1)kk2Cnkn1Cnk2n11．（i）0；（ii）0；（iii）k1knk1k1112008年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)參照答案一、填空題1、10；2、1；3、1；4、6；5、7；6、16；7、6.42；8、ln2－1；129、11；10、n2n6；11、3；12、2；13、22；14、4；cb222、【分析】本小題考察古典概型．基本領(lǐng)件共6×6個(gè)，點(diǎn)數(shù)和為4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共331個(gè)，故P61266、【分析】本小題考察古典概型．如圖：地區(qū)D表示邊長(zhǎng)為4的正方形的內(nèi)部（含界限），地區(qū)E表示單位圓及其內(nèi)部，所以．P1241647、【分析】由流程圖9、【分析】本小題考察直線(xiàn)方程的求法．畫(huà)草圖，由對(duì)稱(chēng)性可猜想填11．事實(shí)上，由截距式可得直線(xiàn)AB：xy1，直線(xiàn)CP：xy1，cbbacp兩式相減得11x11y0，明顯直線(xiàn)AB與CP的交點(diǎn)F知足此方程，又原點(diǎn)O也知足此bcpa方程，故為所求直線(xiàn)OF的方程．10、【分析】本小題考察概括推理和等差數(shù)列乞降公式．前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋＋（n－1）個(gè)，即n2n個(gè)，所以第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第n2n＋3個(gè)，即為n2n6．22211、【分析】本小題考察二元基本不等式的運(yùn)用．由x2y3z0得yx3z，代入y2得2xzx29z26xz6xz6xz4xz4xz

3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3z時(shí)取“＝”．12、【分析】設(shè)切線(xiàn)PA、PB相互垂直，又半徑OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故a2c22a，解得ea．c213、【分析】設(shè)BC＝x，則AC＝2x，依據(jù)面積公式得：SABC=1ABBCsinBx1cos2B.2精心整理依據(jù)余弦定理得：cosBAB2BC2AC24x22x24x2，代入上式得2ABBC4x4x4x22128x212SABC=x14x16由三角形三邊關(guān)系有2xx2解得222x222，x22x故當(dāng)x22時(shí)獲得SABC最大值2214、【分析】若x＝0，則不論a取何值，fx≥0明顯成立；當(dāng)x＞0即x1,1時(shí)，fxax33x1≥0可化為，a31x2x3設(shè)g31，則g'x312x，所以gx在區(qū)間0,1上單一遞加，在區(qū)間1上單一x2x3x42,1x2遞減，所以gxmaxg14，進(jìn)而a≥4；2當(dāng)x＜0即1,0時(shí)，fx33x1≥0可化為a31，g'x312x0axx2x34xgx在區(qū)間1,0上單一遞加，所以gxmang14，進(jìn)而a≤4，綜上a＝4二、解答題15、（1）由已知條件即三角函數(shù)的定義可知cos2,cos25，105因?yàn)殇J角，故sin0，進(jìn)而sin1cos27210同理可得sin1cos25，所以tan7,tan1.52)=tantan713;所以tan(21tantan171231（2）tan(2)tan[()]21,1(3)12進(jìn)而由tan(2)1得23.4精心整理16、證明：（1）∵E,F分別是AB，BD的中點(diǎn)．∴EF是△ABD的中位線(xiàn)，∴EF∥AD，∵EF∥面ACD，AD面ACD，∴直線(xiàn)EF∥面ACD；2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F(xiàn)是ＢＤ的中點(diǎn)，∴CF⊥BD又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC，∵BD面BCD，∴面EFC面BCD17、【分析】（Ⅰ）①由條件知PQ垂直均分AB，若∠BAO=(rad)，則OAAQ10故,10coscosOB，又OP＝1010tan，cos1010所以yOAOBOP1010tan，coscos所求函數(shù)關(guān)系式為y2010sin100cos4②若OP=(km)，則OQ＝10－x，所以O(shè)A=OB=102102x220x200xx所求函數(shù)關(guān)系式為yx2x220x2000x10（Ⅱ）選擇函數(shù)模型①，y'10coscos2010sinsin102sin1cos2cos2令y'0得sin1，因?yàn)?，所以=，246當(dāng)0,時(shí)，y'0，y是的減函數(shù)；當(dāng),4時(shí)，y'0，y是的增函數(shù)，所以當(dāng)=666時(shí)，ymin10103。這時(shí)點(diǎn)P位于線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)上，在矩形地區(qū)內(nèi)且距離AB邊103km處。318、解：本小題主要考察二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓的方程的求法．（Ⅰ）令x＝0，得拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)是（0，b）；令fxx22xb0，由題意b≠0且＞0，解得b＜1且b≠0．（Ⅱ）設(shè)所求圓的一般方程為x2y2DxEyF0令y＝0得2這與2＝0是同一個(gè)方程，故＝，＝．xDxF0x2xbD2Fb令x＝0得2＝，此方程有一個(gè)根為，代入得出＝――．yEy0bEb1所以圓C的方程為x2y22x(b1)yb0.（Ⅲ）圓C必過(guò)定點(diǎn)，證明以下：假定圓C過(guò)定點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0不依靠于b)，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，精心整理并變形為x02y022x0y0b(1y0)0（*）為使（*）式對(duì)全部知足b1(b0)的b都成立，一定有1y00，聯(lián)合（*）式得x02y022x0y00，解得x0，x0－，0或2y0，y0，11經(jīng)查驗(yàn)知，點(diǎn)(0,1),(2,0)均在圓C上，所以圓C過(guò)定點(diǎn)。19、解：（1）①當(dāng)n=4時(shí),a1,a2,a3,a4中不行能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，不然等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則推出d=0。若刪去a2，則a32a1a4，即(a12d)2a1(a13d)化簡(jiǎn)得a14d0，得a14d若刪去a3，則a22a1a4，即(a1d)2a1(a13d)化簡(jiǎn)得a1d0，得a11綜上，得a14或a1d1。dd②當(dāng)n=5時(shí),a1,a2,a3,a4,a5中相同不行能刪去a1,a2,a4,a5，不然出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng)。若刪去a31a5a2a4，即a1(a14d)(a1d)(a13d)化簡(jiǎn)得3d20，因?yàn)閐0，所以，則aa3不可以刪去；當(dāng)n≥6時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列a1,a2,a3,,an2,an1,an中，因?yàn)椴豢梢詣h去首項(xiàng)或末項(xiàng)，若刪去a2，則必有a1ana3an2，這與d0矛盾；相同若刪去an1也有a1ana3an2，這與d0矛盾；若刪去a3,,an2中隨意一個(gè)，則必有a1ana2an1，這與d0矛盾。(或許說(shuō)：當(dāng)n≥6時(shí)，不論刪去哪一項(xiàng)，節(jié)余的項(xiàng)中必有連續(xù)的三項(xiàng))綜上所述，n4。（2）假定關(guān)于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d的n項(xiàng)等差數(shù)列（0xyzn1）為隨意三項(xiàng)成等比數(shù)列，則b2y1bx1bz1，即化簡(jiǎn)得(y2xz)d2(xz2y)b1d（*）由b1d0知，y2xz與xz2y同時(shí)為0或同時(shí)不為0當(dāng)y2xz與xz2y同時(shí)為0時(shí)，有xyz與題設(shè)矛盾。

b1,b2,......bn，此中bx1,by1,bz1(b1yd)2(b1xd)b(1zd)，2xz與xzby2xz故y2y同時(shí)不為0，所以由（*）得1z2ydx因?yàn)?xyzn1，且x、y、z為整數(shù)，所以上式右側(cè)為有理數(shù)，進(jìn)而b1為有理數(shù)。4)，只需b1d于是，關(guān)于隨意的正整數(shù)n(n為無(wú)理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是知足題意要求的數(shù)列。d比如n項(xiàng)數(shù)列1，12，122，，1(n1)2知足要求。20、解：（1）由f(x)的定義可知，f(x)f1(x)（對(duì)全部實(shí)數(shù)x）等價(jià)于f1xf2x（對(duì)全部實(shí)數(shù)x）這又等價(jià)于3xp123xp2，即xp1xp2log22對(duì)全部實(shí)數(shù)x均成立.（*）333精心整理因?yàn)閤p1xp2(xp1)(xp2)p1p2(xR)的最大值為p1p2，故（*）等價(jià)于3p1p22，即p1p2log32，這就是所求的充分必需條件（2）分兩種情況議論（i）當(dāng)p1p2）知f(x)f1(x)（對(duì)全部實(shí)數(shù)x[a,b]）log32時(shí)，由（1則由fafb及ap1b易知p1a2b，yp1x(b,f(a,f再由f1(x)3,xp1的單一性可知，3xp1,xp1函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的單一增區(qū)間的長(zhǎng)度為babba（拜見(jiàn)表示圖1）O圖1x22（ii）p1p2log32時(shí)，不如設(shè)p1p2,，則p2p1log32，于是當(dāng)xp1時(shí)，有f1(x)3p1x3p2xf2(x)，進(jìn)而f(x)f1(x)；當(dāng)xp2時(shí)，有f1(x)3xp13p2p1xp23p2p13xp23log323xp2f2(x)進(jìn)而f(x)f2(x)；當(dāng)p1xp2時(shí)，f1(x)3xp1，及f2(x)23p2x，由方程3xp123p2x解得f1(x)與f2(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為yx0p1p21log32⑴(a,f(bf(22(x0,y0(,ab明顯p1x0p21[(p2p1)log32]p2，2(p,這表示x0在p1與p2之間。由⑴易知2綜上可知，在區(qū)間[a,b]上，O(p1,xf1(x),axx0f(x)（拜見(jiàn)表示圖2）圖f2(x),x0xb故由函數(shù)f1(x)及f2(x)的單一性可知，f(x)在區(qū)間[a,b]上的單一增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為(x0p1)(bp2)，因?yàn)閒(a)f(b)，即3p1a23bp2，得p1p2ablog32⑵故由⑴、⑵得(x0p1)(bp2)b1[p1p2log32]ba22ba。綜合（i）（ii）可知，f(x)在區(qū)間[a,b]上的單一增區(qū)間的長(zhǎng)度和為21：A．選修4—12幾何證明選講證明：如圖，因?yàn)锳E是圓的切線(xiàn)，所以，ABCCAE,又因?yàn)锳D是BAC的均分線(xiàn)，精心整理所以BADCAD進(jìn)而ABCBADCAECAD因?yàn)锳DEABCBAD,所以ADEDAE,故EAED.因?yàn)镋A是圓的切線(xiàn)，所以由切割線(xiàn)定理知,EA2ECEB,而EAED,所以ED2ECEBB．選修4—2矩陣與變換解：設(shè)P(x0,y0)是橢圓上隨意一點(diǎn)，點(diǎn)P(x0,y0)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下變成點(diǎn)P'(x0',y0')則有x0'20x0，即x0'2x0，所以x0x0'y0'01y0y0'y02y0y'0又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故4x02y021，進(jìn)而(x0')2(y0')21所以，曲線(xiàn)F的方程是x2y21C．選修4—4參數(shù)方程與極坐標(biāo)解：因橢圓x2y21的參數(shù)方程為x3cos(為參數(shù)）3ysin故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3cos,sin，此中02.）所以Sxy3cossin2(3cos1sin)2sin()223所以，當(dāng)6時(shí)，S取最大值2D．選修4—5不等式證明選講證明：因?yàn)閍,b,c為正實(shí)數(shù)，由均勻不等式可得11133111a3b3c3a3b3c31113即