圓錐曲線的定義方程與性質(zhì)突破

圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)一、單項(xiàng)選擇題1.(2022·湖北華中師大一附中月考)已知拋物線y=mx2(m>0)上的點(diǎn)(x0,2)到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為178,則m的值為( C.12 D.2.(2022·四川成都七中月考)雙曲線x2a2-y2b2=1(a,b>0)的一條漸近線方程為x-A.3 B.32 C.5 D.3.(2022·新高考Ⅰ,5)已知F1,F2是橢圓C:x29+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)M在C上,則|MF1|·|MF 4.(2022·貴州貴陽(yáng)期末)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則|AB|等于() 5.(2022·廣東佛山二模)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率等于2,F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),A為雙曲線的右頂點(diǎn),P在雙曲線的漸近線上且PF1⊥PF2,若△PAF1A.3 3 二、多項(xiàng)選擇題6.(2022·江蘇南通適應(yīng)性聯(lián)考)已知Rt△ABC中有一個(gè)內(nèi)角為π3,如果雙曲線E以A,B為焦點(diǎn),并經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,則該雙曲線的離心率可能是(A.3+1 C.3 +37.(2022·廣東佛山模擬)已知雙曲線C:9x2-16y2=144的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P為C上的一點(diǎn),且|PF1|=6,則下列說(shuō)法正確的是()A.雙曲線的離心率為5B.雙曲線的漸近線方程為3x±4y=0C.△PF1F2的周長(zhǎng)為30D.點(diǎn)P在橢圓x2100+8.(2022·重慶調(diào)研)如圖所示,用一束與平面α成60°角的平行光線照射半徑為3的球O,在平面α上形成的投影為橢圓C及其內(nèi)部,則橢圓C的()A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3 B.離心率為1C.焦距為2 D.面積為3π9.(2022·山東青島三模)已知曲線C:x29+y2m=1,F1,F2分別為曲線C的左、右焦點(diǎn)A.若m=-3,則曲線C的兩條漸近線所成的銳角為πB.若曲線C的離心率e=2,則m=-27C.若m=3,則曲線C上不存在點(diǎn)P,使得∠F1PF2=πD.若m=3,P為C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則△PF1F2面積的最大值為32三、填空題10.(2022·江蘇南通一模)已知拋物線C:y=18x2上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為5,則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為.11.(2022·湖北十五中學(xué)聯(lián)考體聯(lián)考)x29+y22=1的焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)Р在橢圓上,若|PF1|=4,則∠F112.(2022·湖南懷化模擬)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于P,Q兩點(diǎn),且PF2⊥F2Q,且S△PF2Q=113.(2022·北京昌平二模)已知拋物線C:y2=4x與橢圓D:x2a2+y2b2=1(a>b>0)有一個(gè)公共焦點(diǎn)F,則點(diǎn)F的坐標(biāo)是;若拋物線的準(zhǔn)線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且△AOB是直角三角形14.(2022·福建廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考)點(diǎn)P在橢圓C1:x24+y23=1上,C1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)Q在圓C2:x2+y2+6x-8y+21=0上,圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)解析由題意,知拋物線y=mx2(m>0)的準(zhǔn)線方程為y=-14根據(jù)拋物線的定義,可得點(diǎn)(x0,2)到焦點(diǎn)F的距離等于到準(zhǔn)線y=-14m的距離,可得2+14m=解析因?yàn)閤2a2-y2b2=1(a>0,b>故b2a2=c2-解析由題意知|MF1|+|MF2|=2a=6,則|MF則|MF1|·|MF2|≤9,當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=|MF2|=3時(shí),等號(hào)成立.故|MF1|·|MF2|的最大值為9.解析拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),準(zhǔn)線方程l:x=-1.設(shè)AB的中點(diǎn)為M,過(guò)A,B,M作準(zhǔn)線l的垂線,垂足分別為C,D,N,則MN為梯形ABDC的中位線,|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=2(x0+1).直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,顯然直線AB的斜率存在且不為0,可設(shè)直線AB的方程為x=my+1(m為常數(shù)),代入拋物線的方程,消去x并整理,得y2-4my-4=0.設(shè)A,B的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,線段AB的中點(diǎn)M(x0,y0),則y0=y1+y22=2m=直線AB的方程為x=y+1,x0=y0+1=2+1=3,|AB|=2×(3+1)=8.解析如圖,雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>設(shè)F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),雙曲線在第一、三象限的漸近線的斜率為ba=A為雙曲線的右頂點(diǎn),P在雙曲線的漸近線上,且PF1⊥PF2,所以P(a,b),△PAF1的面積為3a,可得12(a+c)·b=3a,解①②③,可得b=2,所以C的虛軸長(zhǎng)等于4.解析當(dāng)∠C=π3時(shí),e=AB當(dāng)∠B=π3時(shí),e=ABAC當(dāng)∠A=π3時(shí),e=ABAC-解析雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216-y29=1,a=4,b=3,則c=5,漸近線方程為x4±y3=0,即3x±4|PF1|=6<2a=8,P在左支上,|PF2|=6+8=14,△PF1F2的周長(zhǎng)為30,C正確;|PF1|+|PF2|=20,因此P在橢圓x2100+y275=1(此橢圓是以F1,F2為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20解析由題意知,OB⊥AB,OB=3,∠BAO=60°,OA=OBsin∠BAO=332=2,橢圓C長(zhǎng)軸長(zhǎng)橢圓C的短軸長(zhǎng)為球O的直徑,即2b=23,b=3,c=a2-b2=4-3=1,橢圓橢圓C的離心率e=ca=1由圖可知:橢圓C的面積大于球O大圓的面積,又球O大圓的面積S=3π,故橢圓C的面積大于3π,D錯(cuò)誤.解析對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng)m=-3時(shí),曲線C:x29-y23=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,漸近線方程為y=±33x,故漸近線的傾斜角分別為π6,5對(duì)于B選項(xiàng),離心率e=2,則曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,a=3,e=2,故c=6,所以-m=c2-a2=36-9=27,所以m=-27,故B選項(xiàng)正確;對(duì)于C選項(xiàng),若m=3,則曲線C:x29+y23=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,此時(shí)a2=9,b2=設(shè)橢圓C的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(0,3),則cos∠F1MF2=a2+a2-4c22a2=-618=-13<0,故∠F1MF2為鈍角,所以曲線C對(duì)于D選項(xiàng),若m=3,則曲線C:x29+y23=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,此時(shí)a2=9,b2=3,c2=6,P為C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則△PF1F2面積的最大值為Smax=12×2c×b=12×6解析拋物線C的方程可化為x2=8y.設(shè)M(x0,y0),因?yàn)辄c(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為5,所以點(diǎn)M到準(zhǔn)線y=-2的距離為5,從而y0=3.將y0=3代入x2=8y,可得|x0|=26,所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為2611.2π3解析由橢圓x29+y22=根據(jù)橢圓定義得|PF1|+|PF2|=2a=6,|F1F2|=2c=27,所以4+|PF2|=2a=6,解得|PF2|=2.在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=|PF1所以∠F1PF2=212.x24+y22=1解析如圖所示,連接PF1,QF1,因?yàn)樗运倪呅蜳F1QF2是平行四邊形,所以PF1=QF2,PF2=QF1,又因?yàn)镻F2⊥F2Q,所以平行四邊形PF1QF2是矩形.設(shè)PF1=m,PF2=n,由題意得m+n則b2=a2-c2=2,故E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+13.(1,0)5-12解析由拋物線的方程所以拋物線C與橢圓D的公共焦點(diǎn)為F(1,0),且拋物線準(zhǔn)線方程為x=-1,橢圓左焦點(diǎn)為(-1,0),聯(lián)立x=-c與橢圓x2a2+y2b2=1,可得|因?yàn)椤鰽OB是直角三角形,所以b2a=c,即b2又b2=a2-c2,所以a2-c2=ac,左、右同除以a2,可得e2+e-1=0,解得e=-1±又e∈(0,1),所以橢圓D的離心率e=55解析記橢圓C1:x24+y23=由橢圓的定義可得,|PE|+|PF|=2a=4,所以|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|