線(xiàn)代-同濟(jì)5第二章

第二章

矩陣及其運(yùn)算矩陣概念矩陣運(yùn)算矩陣的分塊逆矩陣上頁(yè)下頁(yè)返回2§1

矩陣的概念一、矩陣的定義定義1:個(gè)數(shù)叫做矩陣A的元素

這簡(jiǎn)記為實(shí)矩陣:元素是實(shí)數(shù).復(fù)矩陣:元素是復(fù)數(shù).上頁(yè)下頁(yè)返回3二、常用特殊矩陣1.行矩陣:只有一行的矩陣,稱(chēng)為行矩陣．(n維行向量).2.

列矩陣:(m維列向量).只有一列的矩陣,稱(chēng)為列矩陣．3.

零矩陣:元素全為零的矩陣,稱(chēng)為零矩陣，4.n階方陣:行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣，稱(chēng)為n階方陣．上頁(yè)下頁(yè)返回45.n階單位矩陣特點(diǎn)：從左上角到右下角的直線(xiàn)(稱(chēng)為主對(duì)角線(xiàn))上的元素都是1，其余元素都是0的n

階方陣.6.n階對(duì)角陣特點(diǎn):非主對(duì)角線(xiàn)上的元素都是0的n

階方陣.上頁(yè)下頁(yè)返回5特別地:稱(chēng)為n

階數(shù)量矩陣．7.n階上(下)三角形矩陣.或特點(diǎn):主對(duì)角線(xiàn)以下(上)的元素都是0.上頁(yè)下頁(yè)返回68．對(duì)稱(chēng)矩陣:元素以主對(duì)角線(xiàn)元素為對(duì)稱(chēng)相等，即有9.反對(duì)稱(chēng)矩陣:元素以主對(duì)角線(xiàn)元素為對(duì)稱(chēng)相反，即有(注:主對(duì)角線(xiàn)上的元素全為0.)行列式與矩陣的區(qū)別:1.

行列式是算式，矩陣是數(shù)表.2.

行列式行,列數(shù)一定相同,矩陣行列數(shù)可不同.上頁(yè)下頁(yè)返回7§2

矩陣的運(yùn)算同型矩陣:兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí),稱(chēng)其為同型矩陣.定義1:

如果矩陣與是同型矩陣，并且它們的對(duì)應(yīng)元素相等，即則稱(chēng)矩陣A與矩陣B相等，記為A=B.上頁(yè)下頁(yè)返回8一、矩陣的加法設(shè)有兩個(gè)同型矩陣定義2:其對(duì)應(yīng)元素相加，所得的矩陣稱(chēng)為矩陣A與B的和.記作C=A+B.即只有同型矩陣，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.注:上頁(yè)下頁(yè)返回9負(fù)矩陣:稱(chēng)為矩陣A的負(fù)矩陣.若矩陣定義3:稱(chēng)矩陣A與矩陣B的負(fù)矩陣的和Ａ+(-B)為矩陣A與B的差.記為A-B.上頁(yè)下頁(yè)返回10矩陣加法滿(mǎn)足的運(yùn)算規(guī)律:上頁(yè)下頁(yè)返回11例1:已知求A+B,A-B.

解:

上頁(yè)下頁(yè)返回12二、數(shù)與矩陣相乘（矩陣的數(shù)乘）定義4:1、數(shù)乘矩陣等于這個(gè)數(shù)乘矩陣中的每一個(gè)元素.2、數(shù)與矩陣相乘和數(shù)與行列式相乘有明顯區(qū)別，不要混淆.注:上頁(yè)下頁(yè)返回13矩陣的數(shù)乘滿(mǎn)足的運(yùn)算規(guī)律:(設(shè)為矩陣，為數(shù))

矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái),統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算.數(shù)的分配律.陣的分配律.上頁(yè)下頁(yè)返回14例2:設(shè)

則

則上頁(yè)下頁(yè)返回15例3:設(shè)有n元線(xiàn)性方程組：則方程組可寫(xiě)為稱(chēng)為方程組的向量表示法

.上頁(yè)下頁(yè)返回16三、矩陣與矩陣相乘設(shè)有兩個(gè)坐標(biāo)變換上頁(yè)下頁(yè)返回(1)式是從到的坐標(biāo)變換,(2)式是從到的坐標(biāo)變換,17到的坐標(biāo)變換我們可將(2)代入(1)，得上頁(yè)下頁(yè)返回同理可得18上述三個(gè)變換所對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣為分別為即有上頁(yè)下頁(yè)返回19定義5:設(shè)是一個(gè)矩陣，是記作上頁(yè)下頁(yè)返回是一個(gè)矩陣，其中一個(gè)矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積1、矩陣乘積的定義20注:1.定義給出了矩陣乘積法則:2、按此定義，只有當(dāng)前一矩陣A的列數(shù)等于后一矩陣B的行數(shù)時(shí)，兩矩陣才能相乘.

3.一個(gè)矩陣與一個(gè)矩陣的乘積是一個(gè)

矩陣;即乘積矩陣與前一矩陣同行數(shù)，與后一矩陣同列數(shù).上頁(yè)下頁(yè)返回21例4:設(shè)已知矩陣A,B如下,求AB.

解:

上頁(yè)下頁(yè)返回22例5:

設(shè)

求AB及BA.解:

1.矩陣乘法一般不滿(mǎn)足交換律,即

2.兩個(gè)非零矩陣的乘積可能為零矩陣.注:上頁(yè)下頁(yè)返回23矩陣乘法滿(mǎn)足的運(yùn)算規(guī)律:(設(shè)下列運(yùn)算存在)(其中為數(shù)).上頁(yè)下頁(yè)返回241.做矩陣乘法時(shí)，要注意分清左乘和右乘.注:只是左乘的應(yīng)是m階單位陣，右乘的是n階單位陣.2.單位陣E左乘或右乘任一矩陣其積仍為A,3.若A是方陣,則同階單位矩陣與矩陣A相乘可交換即

上頁(yè)下頁(yè)返回25n元線(xiàn)性方程組:稱(chēng)為n元線(xiàn)性方程組的矩陣表示法

.上頁(yè)下頁(yè)返回26

2、方陣的冪

有了矩陣乘法，就可定義n階方陣的冪.

設(shè)A是n階方陣，則定義其中k為正整數(shù),

稱(chēng)為A的k次冪.方陣的冪滿(mǎn)足以下運(yùn)算規(guī)律

其中k,l為正整數(shù).注:2.只有方陣的冪才有意義.

上頁(yè)下頁(yè)返回27上頁(yè)下頁(yè)返回例6:設(shè)矩陣，求解:

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)28四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義6:把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，稱(chēng)為

A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作轉(zhuǎn)置矩陣滿(mǎn)足的運(yùn)算規(guī)律:上頁(yè)下頁(yè)返回29證:

(4)設(shè)

由矩陣乘積的運(yùn)算得上頁(yè)下頁(yè)返回30例如:上頁(yè)下頁(yè)返回31例7:計(jì)算解:

上頁(yè)下頁(yè)返回32例8:設(shè)A,B為n階矩陣，A為反對(duì)稱(chēng)陣，B為對(duì)稱(chēng)陣.證明(1)AB-BA為對(duì)稱(chēng)陣;證:

上頁(yè)下頁(yè)返回(2)AB+BA為反對(duì)稱(chēng)陣.33五、方陣A的行列式

由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式(各元素的位置不變)，叫做方陣A的行列式，記作|A|或detA.由A確定的|A|的運(yùn)算滿(mǎn)足下述運(yùn)算規(guī)律:(設(shè)A、B為n階方陣，k為數(shù))上頁(yè)下頁(yè)