空間向量法解決立體幾何證明課件

利用空間向量解決立體幾何問題數(shù)學(xué)專題二利用空間向量解決立體幾何問題數(shù)學(xué)專題二1復(fù)習(xí):2.向量的夾角:OAB向量的夾角記作:1.空間向量的數(shù)量積:復(fù)習(xí):2.向量的夾角:OAB向量的夾角記24.向量的模長(zhǎng):3.有關(guān)性質(zhì):兩非零向量4.向量的模長(zhǎng):3.有關(guān)性質(zhì):兩非零向量35.共面向量定理:如果兩個(gè)向量不共線,則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)使5.共面向量定理:如果兩個(gè)向量4空間四點(diǎn)P、M、A、B共面實(shí)數(shù)對(duì)推論:實(shí)數(shù)對(duì)推論:5一.引入兩個(gè)重要的空間向量

1.直線的方向向量把與直線平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB一.引入兩個(gè)重要的空間向量1.直線的方向向量62.平面的法向量與平面α垂直的向量叫做平面α的法向量.αn2.平面的法向量與平面α垂直的向量叫做平面α的法向量.αn7oxyzABCO1A1B1C1例1.如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為1直線OA的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為___________平面OABC的一個(gè)法向量坐標(biāo)為___________平面AB1C的一個(gè)法向量坐標(biāo)為___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)oxyzABCO1A1B1C1例1.如圖所示,正方體的8空間向量法解決立體幾何證明課件9空間向量法解決立體幾何證明課件10練習(xí):在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy練習(xí):在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面11解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).取z=1解得:得:由

=（-1，-1，2），=（-1，1，2）解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,得平面OA1D112

練習(xí)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn)，求平面EDB的一個(gè)法向量.ABCDPE解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.XYZ設(shè)平面EDB的法向量為練習(xí)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD13二、立體幾何中的向量方法——平行關(guān)系二、立體幾何中的向量方法14ml一.平行關(guān)系：ml一.平行關(guān)系：15αα16αβαβ17二、垂直關(guān)系：lm二、垂直關(guān)系：lm18lABClABC19αβαβ20

例1四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中點(diǎn)，DF:FB=CG:GP=1:2.求證：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG

證：如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.//AE與FG不共線幾何法呢？例1四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正21

例2四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，求證：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立體幾何法例2四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正A22ABCDPEXYZ解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1證明：設(shè)平面EDB的法向量為ABCDPEXYZ解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐23練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCEFDMN練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線24練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCEFDMN幾何法呢？練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線25練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCEFDMN幾何法呢？練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線26

練習(xí)棱長(zhǎng)為a的正方體中,E、F分別是棱AB,OA上的動(dòng)點(diǎn)，且AF=BE,求證：

O’C’B’A’OABCEFZxy

解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AF=BE=b.練習(xí)棱長(zhǎng)為a的正方體27ABCDPEFXYZ

證1：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.ABCDPEFXYZ證1：如圖所示建立28ABCDPEFXYZ

證2：ABCDPEFXYZ證2：29,E是AA1中點(diǎn)，

例3正方體平面C1BD.

證明：E求證：平面EBD設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示坐標(biāo)系平面C1BD的一個(gè)法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量是平面C1BD.

平面EBD,E是AA1中點(diǎn)，例3正方體平面C1BD.30

證明2：E,E是AA1中點(diǎn)，

例3正方體平面C1BD.

求證：平面EBD證明2：E,E是AA1中點(diǎn)，例3正方體31ABCDPXYZGABCDPXYZG32例4棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn),求證:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy例4棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,A1C1B133解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,從而A1E⊥平面DBC1(2),而

n=-2+0+2=0∴AB1

∥平面DBC1解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-34利用空間向量解決立體幾何問題數(shù)學(xué)專題二利用空間向量解決立體幾何問題數(shù)學(xué)專題二35復(fù)習(xí):2.向量的夾角:OAB向量的夾角記作:1.空間向量的數(shù)量積:復(fù)習(xí):2.向量的夾角:OAB向量的夾角記364.向量的模長(zhǎng):3.有關(guān)性質(zhì):兩非零向量4.向量的模長(zhǎng):3.有關(guān)性質(zhì):兩非零向量375.共面向量定理:如果兩個(gè)向量不共線,則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)使5.共面向量定理:如果兩個(gè)向量38空間四點(diǎn)P、M、A、B共面實(shí)數(shù)對(duì)推論:實(shí)數(shù)對(duì)推論:39一.引入兩個(gè)重要的空間向量

1.直線的方向向量把與直線平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB一.引入兩個(gè)重要的空間向量1.直線的方向向量402.平面的法向量與平面α垂直的向量叫做平面α的法向量.αn2.平面的法向量與平面α垂直的向量叫做平面α的法向量.αn41oxyzABCO1A1B1C1例1.如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為1直線OA的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為___________平面OABC的一個(gè)法向量坐標(biāo)為___________平面AB1C的一個(gè)法向量坐標(biāo)為___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)oxyzABCO1A1B1C1例1.如圖所示,正方體的42空間向量法解決立體幾何證明課件43空間向量法解決立體幾何證明課件44練習(xí):在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy練習(xí):在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面45解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).取z=1解得:得:由

=（-1，-1，2），=（-1，1，2）解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,得平面OA1D146

練習(xí)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn)，求平面EDB的一個(gè)法向量.ABCDPE解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.XYZ設(shè)平面EDB的法向量為練習(xí)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD47二、立體幾何中的向量方法——平行關(guān)系二、立體幾何中的向量方法48ml一.平行關(guān)系：ml一.平行關(guān)系：49αα50αβαβ51二、垂直關(guān)系：lm二、垂直關(guān)系：lm52lABClABC53αβαβ54

例1四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中點(diǎn)，DF:FB=CG:GP=1:2.求證：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG

證：如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.//AE與FG不共線幾何法呢？例1四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正55

例2四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，求證：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立體幾何法例2四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正A56ABCDPEXYZ解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1證明：設(shè)平面EDB的法向量為ABCDPEXYZ解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐57練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCEFDMN練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線58練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCEFDMN幾何法呢？練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線59練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCEFDMN幾何法呢？練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線60

練習(xí)棱長(zhǎng)為a的正方體中,E、F分別是棱AB,OA上的動(dòng)點(diǎn)，且AF=BE,求證：

O’C’B’A’OABCEFZxy

解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AF=BE=b.練習(xí)棱長(zhǎng)為a的正方體61ABCDPEFXYZ

證1：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.ABCDPEFXYZ證1：如圖所示建立62ABCDPEFXYZ

證2：ABCDPEFXYZ證2：63,E是AA1中點(diǎn)，

例3正方體平面C1BD.

證明：E求證：平面EBD設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示坐標(biāo)系平面C1BD的一個(gè)法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量是平面C1BD.

平面EBD,