最優(yōu)控制理論課件資料

1/9/20231現(xiàn)代控制理論1/8/20231現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制理論東北大學信息科學與工程學院井元偉教授二○○九年十一月1/9/20232最優(yōu)控制理論東北大學信息科學與工程學院二○○九年十一月1/8第2章求解最優(yōu)控制的變分方法第3章最大值原理第4章動態(tài)規(guī)劃第5章線性二次型性能指標的最優(yōu)控制第6章快速控制系統(tǒng)第1章最優(yōu)控制問題1/9/20233第2章求解最優(yōu)控制的變分方法第3章最大值原理第最優(yōu)控制理論現(xiàn)代控制理論的重要組成部分20世紀50年代發(fā)展形成系統(tǒng)的理論研究的對象

控制系統(tǒng)中心問題

給定一個控制系統(tǒng)，選擇控制規(guī)律，使系統(tǒng)在某種意義上是最優(yōu)的統(tǒng)一的、嚴格的數(shù)學方法最優(yōu)控制問題研究者的課題，工程師們設計控制系統(tǒng)時的目標最優(yōu)控制能在各個領域中得到應用，效益顯著1/9/20234現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制理論現(xiàn)代控制理論的重要組成部分1/8/2021.1兩個例子1.2問題描述第1章最優(yōu)控制問題1/9/20235現(xiàn)代控制理論1.1兩個例子第1章最優(yōu)控制問題1/8/20235現(xiàn)最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1飛船軟著陸問題

1/9/20236現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子例1.1飛船軟著陸問題最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

1/9/20237現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子例1.1飛船軟著陸問題最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

1/9/20238現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子例1.1飛船軟著陸問題最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

初始狀態(tài)

1/9/20239現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子例1.1飛船軟著陸問題最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

初始狀態(tài)

終點條件

1/9/202310現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子例1.1飛船軟著陸問題最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

初始狀態(tài)

終點條件

控制目標1/9/202311現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子例1.1飛船軟著陸問題最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

初始狀態(tài)

終點條件

控制目標推力方案1/9/202312現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子例1.1飛船軟著陸問題最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題1/9/202313現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題1/8/202313現(xiàn)最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題1/9/202314現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題1/8/202314現(xiàn)最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題1/9/202315現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題1/8/202315現(xiàn)最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題初始條件

1/9/202316現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題初始條件1/8/20

最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題初始條件

末端約束

1/9/202317現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1

最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題初始條件

末端約束

指標

1/9/202318現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1

最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題初始條件

末端約束

指標

控制1/9/202319現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為1/9/202320現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為

最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為1/9/202321現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為為n維狀態(tài)向量1/9/202322現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為

最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為為n維狀態(tài)向量為r維控制向量1/9/202323現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為為n維狀態(tài)向量為r維控制向量為n維向量函數(shù)1/9/202324現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為

最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為為n維狀態(tài)向量為r維控制向量為n維向量函數(shù)給定控制規(guī)律1/9/202325現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為為n維狀態(tài)向量為r維控制向量為n維向量函數(shù)給定控制規(guī)律滿足一定條件時，方程有唯一解1/9/202326現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為

最優(yōu)控制問題(2)容許控制1/9/202327現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(2最優(yōu)控制問題(2)容許控制：1/9/202328現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(2)容許控制：1/8/202328現(xiàn)代控制

最優(yōu)控制問題(2)容許控制：1/9/202329現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(2最優(yōu)控制問題(2)容許控制：有時控制域可為超方體

1/9/202330現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(2)容許控制：有時控制域可為超方體1/8

最優(yōu)控制問題(2)容許控制：有時控制域可為超方體

1/9/202331現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(2最優(yōu)控制問題(3)目標集1/9/202332現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(3)目標集1/8/202332現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(3)目標集1/9/202333現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(3)目標集1/8/202333現(xiàn)代控制理論

最優(yōu)控制問題(3)目標集n維向量函數(shù)1/9/202334現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(3最優(yōu)控制問題(3)目標集固定端問題

n維向量函數(shù)1/9/202335現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(3)目標集固定端問題n維向量函數(shù)1/8最優(yōu)控制問題(3)目標集固定端問題

自由端問題

n維向量函數(shù)1/9/202336現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(3)目標集固定端問題自由端問題n維向量

最優(yōu)控制問題(4)性能指標1/9/202337現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4最優(yōu)控制問題(4)性能指標1/9/202338現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4)性能指標1/8/202338現(xiàn)代控制理最優(yōu)控制問題(4)性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復合型性能指標1/9/202339現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4)性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求

最優(yōu)控制問題(4)性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復合型性能指標1/9/202340現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4最優(yōu)控制問題(4)性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復合型性能指標積分型性能指標，表示對整個狀態(tài)和控制過程的要求

1/9/202341現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4)性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求

最優(yōu)控制問題(4)性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復合型性能指標積分型性能指標，表示對整個狀態(tài)和控制過程的要求

1/9/202342現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4最優(yōu)控制問題(4)性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復合型性能指標積分型性能指標，表示對整個狀態(tài)和控制過程的要求

終點型指標，表示僅對終點狀態(tài)的要求1/9/202343現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4)性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求

2.1泛函與變分法基礎2.2歐拉方程2.3橫截條件2.4含有多個未知函數(shù)泛函的極值2.5條件極值2.6最優(yōu)控制問題的變分解法第2章求解最優(yōu)控制的變分方法1/9/202344現(xiàn)代控制理論第2章求解最

求解最優(yōu)控制的變分方法2.1泛函與變分法基礎平面上兩點連線的長度問題

1/9/202345現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法2.1泛函與變分法基礎平面上兩點連線的長度問題

1/9/202346現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法2.1泛函與變分法基礎平面上兩點連線的長度問題

一般來說，曲線不同，弧長就不同，即弧長依賴于曲線，記為1/9/202347現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法2.1泛函與變分法基礎平面上兩點連線的長度問題

一般來說，曲線不同，弧長就不同，即弧長依賴于曲線，記為稱為泛函

稱為泛函的宗量

1/9/202348現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋1/9/202349現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋1/9/202350現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋宗量的變分1/9/202351現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋宗量的變分泛函的增量1/9/202352現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋宗量的變分泛函的增量泛函的變分1/9/202353現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋連續(xù)泛函

宗量的變分趨于無窮小時，泛函的變分也趨于無窮小線性泛函

泛函對宗量是線性的宗量的變分泛函的增量泛函的變分1/9/202354現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法定理2.2若泛函有極值，則必有上述方法與結論對多個未知函數(shù)的泛數(shù)同樣適用

1/9/202355現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變分方法定理2.2若泛函有極值，則必

求解最優(yōu)控制的變分方法2.6最優(yōu)控制問題的變分解法2.6.4終值時間自由的問題2.6.3末端受限問題2.6.2固定端問題2.6.1自由端問題1/9/202356現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變求解最優(yōu)控制的變分方法2.6.1自由端問題約束方程新的泛函令有哈米頓函數(shù)

1/9/202357現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變分方法2.6.1自由端問題約束方程新

求解最優(yōu)控制的變分方法進行變分令有伴隨方程

必要條件1/9/202358現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法例2.5

哈米頓函數(shù)伴隨方程邊界條件必要條件1/9/202359現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法最優(yōu)控制代入狀態(tài)方程并求解令1/9/202360現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變求解最優(yōu)控制的變分方法2.6.2固定端問題性能指標分部積分進行變分令變分為零1/9/202361現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變分方法2.6.2固定端問題性能指標分

求解最優(yōu)控制的變分方法邊界條件指標泛函例2.6考慮如下系統(tǒng)的終端固定的最優(yōu)控制問題，求取最優(yōu)控制和最優(yōu)狀態(tài)曲線，使指標泛函J取得極小值。

系統(tǒng)的狀態(tài)方程：1/9/202362現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法哈米頓函數(shù)伴隨方程由狀態(tài)方程代入初始和終端條件，可求得1/9/202363現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法4.考慮如下系統(tǒng)的終端固定的最優(yōu)控制問題，求取最優(yōu)控制和最優(yōu)狀態(tài)曲線，使指標泛函J取得極小值。系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：其邊界條件為：其指標泛函為：1/9/202364現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法哈米頓函數(shù)伴隨方程1/9/202365現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法1/9/202366現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法2.6.3末端受限問題新的泛函變分1/9/202367現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變分方求解最優(yōu)控制的變分方法必要條件1/9/202368現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變分方法必要條件1/8/202368現(xiàn)代控

求解最優(yōu)控制的變分方法2.6.4終值時間自由的問題T有時是可變的，是指標泛函，選控制使有T極小值變分1/9/202369現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法必要條件1/9/202370現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法例2.7

指標泛函哈米頓函數(shù)伴隨方程必要條件1/9/202371現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

3.1古典變分法的局限性3.2最大值原理3.3變分法與極大值原理第3章最大值原理1/9/202372現(xiàn)代控制理論第3章最大值原

最大值原理3.1古典變分法的局限性u(t)受限的例子例3.1伴隨方程極值必要條件矛盾!!1/9/202373現(xiàn)代控制理論最大值原理3.1

最大值原理3.2最大值原理定理3.1(最小值原理)設為容許控制，為對應的積分軌線，為使為最優(yōu)控制，為最優(yōu)軌線，必存在一向量函數(shù)，使得和滿足正則方程且1/9/202374現(xiàn)代控制理論最大值原理3.2

最大值原理最小值原理只是最優(yōu)控制所滿足的必要條件。但對于線性系統(tǒng)最小值原理也是使泛函取最小值得充分條件。1/9/202375現(xiàn)代控制理論最大值原理最小值原理只

最大值原理例3.2重解例3.1哈密頓函數(shù)伴隨方程由極值必要條件，知又于是有1/9/202376現(xiàn)代控制理論最大值原理例3.2

最大值原理協(xié)態(tài)變量與控制變量的關系圖

1/9/202377現(xiàn)代控制理論最大值原理協(xié)態(tài)變量與

最大值原理例3.3

性能指標泛函哈密頓函數(shù)伴隨方程1/9/202378現(xiàn)代控制理論最大值原理例3.3

最大值原理上有1/9/202379現(xiàn)代控制理論最大值原理上有1/

最大值原理協(xié)態(tài)變量與控制變量的關系圖

整個最優(yōu)軌線1/9/202380現(xiàn)代控制理論最大值原理協(xié)態(tài)變量與最大值原理例3.4

把系統(tǒng)狀態(tài)在終點時刻轉(zhuǎn)移到性能指標泛函終點時刻是不固定的哈米頓函數(shù)伴隨方程1/9/202381現(xiàn)代控制理論最大值原理例3.4把系統(tǒng)狀態(tài)在終點時刻轉(zhuǎn)移到性能指標泛函

最大值原理H是u的二次拋物線函數(shù)，u在上一定使H有最小值，可能在內(nèi)部，也可能在邊界上。最優(yōu)控制可能且只能取三個值

此二者都不能使狀態(tài)變量同時滿足初始條件和終點條件1/9/202382現(xiàn)代控制理論最大值原理H是u的二最大值原理最優(yōu)控制最優(yōu)軌線最優(yōu)性能指標1/9/202383現(xiàn)代控制理論最大值原理最優(yōu)控制最優(yōu)軌線最優(yōu)性能指標1/8/2023

最大值原理例3.5

使系統(tǒng)以最短時間從給定初態(tài)轉(zhuǎn)移到零態(tài)哈米頓函數(shù)伴隨方程1/9/202384現(xiàn)代控制理論最大值原理例3.5

最大值原理最優(yōu)控制切換及最優(yōu)軌線示意圖1/9/202385現(xiàn)代控制理論最大值原理最優(yōu)控制切

最大值原理3.3古典變分法與最小值原理古典變分法適用的范圍是對u無約束，而最小值原理一般都適用。特別當u不受約束時，條件就等價于條件1/9/202386現(xiàn)代控制理論最大值原理3.34.1多級決策過程與最優(yōu)性原理4.2離散系統(tǒng)動態(tài)規(guī)劃4.3連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)規(guī)劃4.4動態(tài)規(guī)劃與最大值原理的關系第4章動態(tài)規(guī)劃1/9/202387現(xiàn)代控制理論第4章動態(tài)規(guī)劃1/8/202387現(xiàn)代控制理論

動態(tài)規(guī)劃

動態(tài)規(guī)劃是求解最優(yōu)控制的又一種方法，特別對離散型控制系統(tǒng)更為有效，而且得出的是綜合控制函數(shù)。這種方法來源于多決策過程，并由貝爾曼首先提出，故稱貝爾曼動態(tài)規(guī)劃。1/9/202388現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃4.1多級決策過程與最優(yōu)性原理作為例子，首先分析最優(yōu)路徑問題(a)(b)(c)試分析(a),(b)和(c)三種情況的最優(yōu)路徑，即從走到所需時間最少。規(guī)定沿水平方向只能前進不能后退。1/9/202389現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃4.1多級決策過程與最優(yōu)性原理作為例子，首先分析最

動態(tài)規(guī)劃(a)中只有兩條路徑，從起點開始，一旦選定路線，就直達終點，選最優(yōu)路徑就是從兩條中選一條，使路程所用時間最少。這很容易辦到，只稍加計算，便可知道，上面一條所需時間最少。(b)共有6條路徑可到達終點，若仍用上面方法，需計算6次，將每條路線所需時間求出，然后比較，找出一條時間最短的路程。(c)需計算20次，因為這時有20條路徑，由此可見，計算量顯著增大了。1/9/202390現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃(a)中只有動態(tài)規(guī)劃逆向分級計算法

逆向是指計算從后面開始，分級是指逐級計算。逆向分級就是從后向前逐級計算。以(c)為例從倒數(shù)第一級開始，狀態(tài)有兩個，分別為和在處，只有一條路到達終點，其時間是；在處，也只有一條，時間為1。后一條時間最短，將此時間相應地標在點上。并將此點到終點的最優(yōu)路徑畫上箭頭。1/9/202391現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃逆向分級計算法逆向是指計算從后面開始，分級是指

動態(tài)規(guī)劃然后再考慮第二級只有一種選擇，到終點所需時間是有兩條路，比較后選出時間最少的一條，即4+1=5。用箭頭標出也標出最優(yōu)路徑和時間依此類推，最后計算初始位置求得最優(yōu)路徑最短時間為131/9/202392現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃然后再考慮第動態(tài)規(guī)劃最優(yōu)路徑示意圖

1/9/202393現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃最優(yōu)路徑示意圖1/8/202393現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃5.利用逆向分級計算法求解如下的最優(yōu)路徑問題從倒數(shù)第一級開始，狀態(tài)有兩個，分別為和在處，只有一條路到達終點，其時間是；在處，也只有一條，時間為3。后一條時間最短，將此時間相應地標在點上。并將此點到終點的最優(yōu)路徑畫上箭頭。1/9/202394現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃5.利用逆向分級計算法求解如下的最優(yōu)路徑問題從倒

動態(tài)規(guī)劃然后再考慮第二級，亦即倒數(shù)第二級只有一種選擇，到終點所需時間是有兩條路，比較后選出時間最少的一條，即2+4=6。用箭頭標出也標出最優(yōu)路徑和時間3+3=6

1/9/202395現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃然后再考慮第

動態(tài)規(guī)劃然后再考慮第一級，亦即倒數(shù)第三級有兩種選擇，到終點所需時間是分別是，保留前者有兩條路，比較后選出時間最少的一條，即2+(2+4)=8和2+(3+3)=8。用箭頭標出。1/9/202396現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃然后再考慮第

動態(tài)規(guī)劃最后再考慮第一級，亦即倒數(shù)第四級有兩種選擇，到終點所需時間是分別是或2+(2+3+3)=10。于是，最短路經(jīng)有3條，時間為10。求得最優(yōu)路徑1/9/202397現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃最后再考慮第

動態(tài)規(guī)劃多級過程

多級決策過程

目標函數(shù)

控制目的

選擇決策序列使目標函數(shù)取最小值或最大值實際上就是離散狀態(tài)的最優(yōu)控制問題

1/9/202398現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃多級過程多動態(tài)規(guī)劃最優(yōu)性原理在一個多級決策問題中的最優(yōu)決策具有這樣的性質(zhì)，不管初始級、初始狀態(tài)和初始決策是什么，當把其中任何一級和狀態(tài)做為初始級和初始狀態(tài)時，余下的決策對此仍是最優(yōu)決策。1/9/202399現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃最優(yōu)性原理在一個多級決策問題中的最優(yōu)決策具有這

動態(tài)規(guī)劃指標函數(shù)多是各級指標之和，即具有可加性最優(yōu)性原理的數(shù)學表達式1/9/2023100現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃指標函數(shù)多是

動態(tài)規(guī)劃4.2離散系統(tǒng)動態(tài)規(guī)劃階離散系統(tǒng)性能指標求決策向量使有最小值（或最大值），其終點可自由，也可固定或受約束。1/9/2023101現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃4.2離散

動態(tài)規(guī)劃引進記號應用最優(yōu)性原理可建立如下遞推公式貝爾曼動態(tài)規(guī)劃方程

1/9/2023102現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃引進記號應

動態(tài)規(guī)劃例4.2設一階離散系統(tǒng)，狀態(tài)方程和初始條件為性能指標求使有最小值的最優(yōu)決策序列和最優(yōu)軌線序列指標可寫為1/9/2023103現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃例4.2設

動態(tài)規(guī)劃代入上一級1/9/2023104現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃代入上一級

動態(tài)規(guī)劃代入狀態(tài)方程最優(yōu)決策序列最優(yōu)軌線1/9/2023105現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃代入狀態(tài)方程

動態(tài)規(guī)劃4.3連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)規(guī)劃性能指標目標集引進記號根據(jù)最優(yōu)性原理及1/9/2023106現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃4.3連續(xù)

動態(tài)規(guī)劃1/9/2023107現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃1/8/20

動態(tài)規(guī)劃由泰勒公式，得由中值定理，得1/9/2023108現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃由泰勒公式，

動態(tài)規(guī)劃連續(xù)型動態(tài)規(guī)劃方程

實際上它不是一個偏微分方程，而是一個函數(shù)方程和偏微分方程的混合方程1/9/2023109現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃連續(xù)型動態(tài)規(guī)

動態(tài)規(guī)劃滿足連續(xù)型動態(tài)規(guī)劃方程，有設邊界條件動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃方程是最優(yōu)控制函數(shù)滿足的充分條件；解一個偏微分方程；可直接得出綜合函數(shù)；動態(tài)規(guī)劃要求有連續(xù)偏導數(shù)最大值原理最大值原理是最優(yōu)控制函數(shù)滿足的必要條件；解一個常微分方程組；最大值原理則只求得。1/9/2023110現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃滿足連續(xù)型動

動態(tài)規(guī)劃例4.3一階系統(tǒng)性能指標動態(tài)規(guī)劃方程右端對u求導數(shù)，令其導數(shù)為零，則得1/9/2023111現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃例4.3

動態(tài)規(guī)劃4.4動態(tài)規(guī)劃與最大值原理的關系

變分法、最大值原理和動態(tài)規(guī)劃都是研究最優(yōu)控制問題的求解方法，很容易想到，若用三者研究同一個問題，應該得到相同的結論。因此三者應該存在著內(nèi)在聯(lián)系。變分法和最大值原理之間的關系前面已說明，下面將分析動態(tài)規(guī)劃和最大值原理的關系?？梢宰C明，在一定條件下，從動態(tài)規(guī)劃方程能求最大值原理的方程。

1/9/2023112現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃4.4動態(tài)

動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃方程令哈米頓函數(shù)最大值原理的必要條件1/9/2023113現(xiàn)代控制理論動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃方程

5.1問題提出5.2狀態(tài)調(diào)節(jié)器5.3輸出調(diào)節(jié)器5.4跟蹤問題5.5利用Matlab求解最優(yōu)控制第5章線性二次型性能指標的最優(yōu)控制1/9/2023114現(xiàn)代控制理論第5章線性二次

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制

用最大值原理求最優(yōu)控制，求出的最優(yōu)控制通常是時間的函數(shù)，這樣的控制為開環(huán)控制。

當用開環(huán)控制時，在控制過程中不允許有任何干擾，這樣才能使系統(tǒng)以最優(yōu)狀態(tài)運行。在實際問題中，干擾不可能沒有，因此工程上總希望應用閉環(huán)控制，即控制函數(shù)表示成時間和狀態(tài)的函數(shù)。

求解這樣的問題一般來說是很困難的。

但對一類線性的且指標是二次型的動態(tài)系統(tǒng)，卻得了完全的解決。不但理論比較完善，數(shù)學處理簡單，而且在工程實際中又容易實現(xiàn)，因而在工程中有著廣泛的應用。1/9/2023115現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.1問題提法動態(tài)方程指標泛函求使之有最小值此問題稱線性二次型性能指標的最優(yōu)控制問題通常稱為綜合控制函數(shù)1/9/2023116現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的線性二次型性能指標的最優(yōu)控制指標泛函的物理意義積分項，被積函數(shù)由兩項組成，都是二次型。第一項

過程

在控制過程中，實際上是要求每個分量越小越好，但每一個分量不一定同等重要，所以用加權來調(diào)整，當權為零時，對該項無要求。第二項

控制能力

能量消耗最小。對每個分量要求不一樣，因而進行加權。要求正定，一方面對每個分量都應有要求，否則會出現(xiàn)很大幅值，在實際工程中實現(xiàn)不了；另一方面，在計算中需要有逆存在。指標中的第一項是對點狀態(tài)的要求，由于對每個分量要求不同，用加權陣來調(diào)整。1/9/2023117現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的最優(yōu)控制指標泛函的物理意義1/8/202

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.2狀態(tài)調(diào)節(jié)器5.2.1末端自由問題5.2.2固定端問題5.2.3

的情況狀態(tài)調(diào)節(jié)器選擇或使系統(tǒng)性能指標有最小值1/9/2023118現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.2.1末端自由問題構造哈密頓函數(shù)伴隨方程及邊界條件最優(yōu)控制應滿足代入正則方程1/9/2023119現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的線性二次型性能指標的最優(yōu)控制求導1/9/2023120現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的最優(yōu)控制求導1/8/2023120現(xiàn)代

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制（矩陣黎卡提微分方程）

邊界條件最優(yōu)控制令最優(yōu)控制是狀態(tài)變量的線性函數(shù)借助狀態(tài)變量的線性反饋可實現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制對稱半正定陣1/9/2023121現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制例5.1

性能指標泛函最優(yōu)控制黎卡提微分方程1/9/2023122現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制最優(yōu)軌線的微分方程解最優(yōu)軌線最優(yōu)控制

1/9/2023123現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制黎卡提方程的解隨終點時間變化的黎卡提方程的解1/9/2023124現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.2.2固定端問題指標泛函（設

）采用“補償函數(shù)”法補償函數(shù)懲罰函數(shù)邊界條件黎卡提方程逆黎卡提方程1/9/2023125現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.2.2固定端問題指標泛函

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制求導黎卡提方程乘以逆黎卡提方程解逆1/9/2023126現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.2.3的情況性能指標無限長時間調(diào)節(jié)器問題

黎卡提方程邊界條件最優(yōu)控制最優(yōu)指標1/9/2023127現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.2.4定常系統(tǒng)完全可控指標泛函矩陣代數(shù)方程最優(yōu)控制最優(yōu)指標1/9/2023128現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的線性二次型性能指標的最優(yōu)控制例5.2

黎卡提方程1/9/2023129現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的最優(yōu)控制例5.2黎卡提方程1/8/2

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.3輸出調(diào)節(jié)器指標泛函輸出調(diào)節(jié)器問題狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題

令1/9/2023130現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.4跟蹤問題問題的提法

已知的理想輸出

偏差量指標泛函尋求控制規(guī)律使性能指標有極小值。物理意義

在控制過程中，使系統(tǒng)輸出盡量趨近理想輸出，同時也使能量消耗最少。1/9/2023131現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的最優(yōu)控制5.4跟蹤問題問題的提法已知

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制指標泛函哈密頓函數(shù)1/9/2023132現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制設并微分1/9/2023133現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制的任意性

最優(yōu)控制1/9/2023134現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制最優(yōu)軌線方程

最優(yōu)性能指標

1/9/2023135現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制例5.3

性能指標

1/9/2023136現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制最優(yōu)控制1/9/2023137現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的線性二次型性能指標的最優(yōu)控制，最優(yōu)控制極限解

1/9/2023138現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的最優(yōu)控制，最優(yōu)控制極限解1/8

線性二次型性能指標的最優(yōu)控制閉環(huán)控制系統(tǒng)結構1/9/2023139現(xiàn)代控制理論線性二次型性能指標的

快速控制系統(tǒng)6.1快速控制問題6.2綜合問題第6章快速控制系統(tǒng)1/9/2023140現(xiàn)代控制理論快速控制系統(tǒng)第6章

快速控制系統(tǒng)

在實際問題中，經(jīng)常發(fā)生以時間為性能指標的控制問題。

如，當被控對象受干擾后，偏離了平衡狀態(tài)，希望施加控制能以最短時間恢復到平衡狀態(tài)。

凡是以運動時間為性能指標的最優(yōu)控制問題稱為最小時間控制。1/9/2023141現(xiàn)代控制理論快速控制系統(tǒng)在實

快速控制系統(tǒng)6.1快速控制問題性能指標

時間上限是可變的從狀態(tài)轉(zhuǎn)移平衡狀態(tài)所需時間最短構造哈密頓函數(shù)

最小值原理

分段常值函數(shù)

1/9/2023142現(xiàn)代控制理論快速控制系統(tǒng)6.1

快速控制系統(tǒng)例6.1有一單位質(zhì)點，在處以初速度2沿直線運動?，F(xiàn)施加一力，，使質(zhì)點盡快返回原點，并停留在原點上。力簡稱為控制。若其它阻力不計，試求此控制力。質(zhì)點運動方程

狀態(tài)方程哈密頓函數(shù)

伴隨方程

1/9/2023143現(xiàn)代控制理論快速控制系統(tǒng)例6.1

快速控制系統(tǒng)最優(yōu)控制

協(xié)態(tài)變量與控制函數(shù)4種情況示意圖

1/9/2023144現(xiàn)代控制理論快速控制系統(tǒng)最優(yōu)控制

快速控制系統(tǒng)相軌線族示意圖

開關曲線

1/9/2023145現(xiàn)代控制理論快速控制系統(tǒng)相軌線族

快速控制系統(tǒng)開關曲線

初始狀態(tài)

最優(yōu)控制狀態(tài)方程相軌線

總時間

最優(yōu)控制

1/9/2023146現(xiàn)代控制理論快速控制系統(tǒng)開關曲線

快速控制系統(tǒng)6.2綜合問題

綜合是將最優(yōu)控制函數(shù)表示為狀態(tài)和時間的函數(shù)即上例之最優(yōu)綜合控制函數(shù)

1/9/2023147現(xiàn)代控制理論快速控制系統(tǒng)6.2

快速控制系統(tǒng)例6.2

求快速返回原點的開關曲線和最優(yōu)綜合控制函數(shù)構造哈密頓函數(shù)伴隨方程

最優(yōu)控制

1/9/2023148現(xiàn)代控制理論快速控制系統(tǒng)例6.2

快速控制系統(tǒng)最優(yōu)控制與協(xié)態(tài)變量的變化情況

控制是“砰砰控制”，除了首尾之外，在和上的停留時間均為1/9/2023149現(xiàn)代控制理論快速控制系統(tǒng)最優(yōu)控制

快速控制系統(tǒng)備選最優(yōu)軌線族

兩族同心圓方程

1/9/2023150現(xiàn)代控制理論快速控制系統(tǒng)備選最優(yōu)

快速控制系統(tǒng)相點沿軌線順時針方向運動，其速度為開關曲線

1/9/2023151現(xiàn)代控制理論快速控制系統(tǒng)相點沿軌

快速控制系統(tǒng)第二段開關曲線

1/9/2023152現(xiàn)代控制理論快速控制系統(tǒng)第二段開

快速控制系統(tǒng)整個開關曲線

1/9/2023153現(xiàn)代控制理論快速控制系統(tǒng)整個開關快速控制系統(tǒng)最優(yōu)綜合控制函數(shù)

1/9/2023154現(xiàn)代控制理論快速控制系統(tǒng)最優(yōu)綜合控制函數(shù)1/8/2023154現(xiàn)代控制

最優(yōu)控制理論上世紀50年代初

問題比較簡單

二階定常系統(tǒng)

方法比較特殊借助于幾何圖形

動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)化問題乃是一個變分問題

變分法

開集

最優(yōu)控制問題

閉集

發(fā)展變分法

1/9/2023155現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制理論上世紀

兩種方法

龐特里雅金前蘇聯(lián)學者

極大值原理

貝爾曼

美國學者

動態(tài)規(guī)劃

應用在過程控制、國防建設、經(jīng)濟規(guī)劃、管理

多個分支

分布參數(shù)的最優(yōu)控制、隨機最優(yōu)控制、大系統(tǒng)最優(yōu)控制以及多方多層次的微分對策和主從對策等

1/9/2023156現(xiàn)代控制理論兩種方法龐特里雅金謝謝ThankYou!1/9/2023157現(xiàn)代控制理論謝謝ThankYou!1/8/2023157現(xiàn)代控制理論1/9/2023158現(xiàn)代控制理論1/8/20231現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制理論東北大學信息科學與工程學院井元偉教授二○○九年十一月1/9/2023159最優(yōu)控制理論東北大學信息科學與工程學院二○○九年十一月1/8第2章求解最優(yōu)控制的變分方法第3章最大值原理第4章動態(tài)規(guī)劃第5章線性二次型性能指標的最優(yōu)控制第6章快速控制系統(tǒng)第1章最優(yōu)控制問題1/9/2023160第2章求解最優(yōu)控制的變分方法第3章最大值原理第最優(yōu)控制理論現(xiàn)代控制理論的重要組成部分20世紀50年代發(fā)展形成系統(tǒng)的理論研究的對象

控制系統(tǒng)中心問題

給定一個控制系統(tǒng)，選擇控制規(guī)律，使系統(tǒng)在某種意義上是最優(yōu)的統(tǒng)一的、嚴格的數(shù)學方法最優(yōu)控制問題研究者的課題，工程師們設計控制系統(tǒng)時的目標最優(yōu)控制能在各個領域中得到應用，效益顯著1/9/2023161現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制理論現(xiàn)代控制理論的重要組成部分1/8/2021.1兩個例子1.2問題描述第1章最優(yōu)控制問題1/9/2023162現(xiàn)代控制理論1.1兩個例子第1章最優(yōu)控制問題1/8/20235現(xiàn)最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1飛船軟著陸問題

1/9/2023163現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子例1.1飛船軟著陸問題最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

1/9/2023164現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子例1.1飛船軟著陸問題最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

1/9/2023165現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子例1.1飛船軟著陸問題最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

初始狀態(tài)

1/9/2023166現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子例1.1飛船軟著陸問題最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

初始狀態(tài)

終點條件

1/9/2023167現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子例1.1飛船軟著陸問題最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

初始狀態(tài)

終點條件

控制目標1/9/2023168現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子例1.1飛船軟著陸問題最優(yōu)控制問題1.1兩個例子

例1.1飛船軟著陸問題

m

飛船的質(zhì)量h

高度v

垂直速度g

月球重力加速度常數(shù)M

飛船自身質(zhì)量F

燃料的質(zhì)量軟著陸過程開始時刻t為零

K為常數(shù)

初始狀態(tài)

終點條件

控制目標推力方案1/9/2023169現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.1兩個例子例1.1飛船軟著陸問題最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題1/9/2023170現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題1/8/202313現(xiàn)最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題1/9/2023171現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題1/8/202314現(xiàn)最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題1/9/2023172現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題1/8/202315現(xiàn)最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題初始條件

1/9/2023173現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題初始條件1/8/20

最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題初始條件

末端約束

1/9/2023174現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1

最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題初始條件

末端約束

指標

1/9/2023175現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1

最優(yōu)控制問題例1.2導彈發(fā)射問題初始條件

末端約束

指標

控制1/9/2023176現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題例1最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為1/9/2023177現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為

最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為1/9/2023178現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為為n維狀態(tài)向量1/9/2023179現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為

最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為為n維狀態(tài)向量為r維控制向量1/9/2023180現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為為n維狀態(tài)向量為r維控制向量為n維向量函數(shù)1/9/2023181現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為

最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為為n維狀態(tài)向量為r維控制向量為n維向量函數(shù)給定控制規(guī)律1/9/2023182現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為為n維狀態(tài)向量為r維控制向量為n維向量函數(shù)給定控制規(guī)律滿足一定條件時，方程有唯一解1/9/2023183現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題1.2問題描述(1)狀態(tài)方程一般形式為

最優(yōu)控制問題(2)容許控制1/9/2023184現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(2最優(yōu)控制問題(2)容許控制：1/9/2023185現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(2)容許控制：1/8/202328現(xiàn)代控制

最優(yōu)控制問題(2)容許控制：1/9/2023186現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(2最優(yōu)控制問題(2)容許控制：有時控制域可為超方體

1/9/2023187現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(2)容許控制：有時控制域可為超方體1/8

最優(yōu)控制問題(2)容許控制：有時控制域可為超方體

1/9/2023188現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(2最優(yōu)控制問題(3)目標集1/9/2023189現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(3)目標集1/8/202332現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(3)目標集1/9/2023190現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(3)目標集1/8/202333現(xiàn)代控制理論

最優(yōu)控制問題(3)目標集n維向量函數(shù)1/9/2023191現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(3最優(yōu)控制問題(3)目標集固定端問題

n維向量函數(shù)1/9/2023192現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(3)目標集固定端問題n維向量函數(shù)1/8最優(yōu)控制問題(3)目標集固定端問題

自由端問題

n維向量函數(shù)1/9/2023193現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(3)目標集固定端問題自由端問題n維向量

最優(yōu)控制問題(4)性能指標1/9/2023194現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4最優(yōu)控制問題(4)性能指標1/9/2023195現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4)性能指標1/8/202338現(xiàn)代控制理最優(yōu)控制問題(4)性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復合型性能指標1/9/2023196現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4)性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求

最優(yōu)控制問題(4)性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復合型性能指標1/9/2023197現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4最優(yōu)控制問題(4)性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復合型性能指標積分型性能指標，表示對整個狀態(tài)和控制過程的要求

1/9/2023198現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4)性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求

最優(yōu)控制問題(4)性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復合型性能指標積分型性能指標，表示對整個狀態(tài)和控制過程的要求

1/9/2023199現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4最優(yōu)控制問題(4)性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求，復合型性能指標積分型性能指標，表示對整個狀態(tài)和控制過程的要求

終點型指標，表示僅對終點狀態(tài)的要求1/9/2023200現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制問題(4)性能指標對狀態(tài)、控制以及終點狀態(tài)的要求

2.1泛函與變分法基礎2.2歐拉方程2.3橫截條件2.4含有多個未知函數(shù)泛函的極值2.5條件極值2.6最優(yōu)控制問題的變分解法第2章求解最優(yōu)控制的變分方法1/9/2023201現(xiàn)代控制理論第2章求解最

求解最優(yōu)控制的變分方法2.1泛函與變分法基礎平面上兩點連線的長度問題

1/9/2023202現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法2.1泛函與變分法基礎平面上兩點連線的長度問題

1/9/2023203現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法2.1泛函與變分法基礎平面上兩點連線的長度問題

一般來說，曲線不同，弧長就不同，即弧長依賴于曲線，記為1/9/2023204現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法2.1泛函與變分法基礎平面上兩點連線的長度問題

一般來說，曲線不同，弧長就不同，即弧長依賴于曲線，記為稱為泛函

稱為泛函的宗量

1/9/2023205現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋1/9/2023206現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋1/9/2023207現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋宗量的變分1/9/2023208現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋宗量的變分泛函的增量1/9/2023209現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋宗量的變分泛函的增量泛函的變分1/9/2023210現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法泛函與函數(shù)的幾何解釋連續(xù)泛函

宗量的變分趨于無窮小時，泛函的變分也趨于無窮小線性泛函

泛函對宗量是線性的宗量的變分泛函的增量泛函的變分1/9/2023211現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法定理2.2若泛函有極值，則必有上述方法與結論對多個未知函數(shù)的泛數(shù)同樣適用

1/9/2023212現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變分方法定理2.2若泛函有極值，則必

求解最優(yōu)控制的變分方法2.6最優(yōu)控制問題的變分解法2.6.4終值時間自由的問題2.6.3末端受限問題2.6.2固定端問題2.6.1自由端問題1/9/2023213現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變求解最優(yōu)控制的變分方法2.6.1自由端問題約束方程新的泛函令有哈米頓函數(shù)

1/9/2023214現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變分方法2.6.1自由端問題約束方程新

求解最優(yōu)控制的變分方法進行變分令有伴隨方程

必要條件1/9/2023215現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法例2.5

哈米頓函數(shù)伴隨方程邊界條件必要條件1/9/2023216現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變

求解最優(yōu)控制的變分方法最優(yōu)控制代入狀態(tài)方程并求解令1/9/2023217現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變求解最優(yōu)控制的變分方法2.6.2固定端問題性能指標分部積分進行變分令變分為零1/9/2023218現(xiàn)代控制理論求解最優(yōu)控制的變分方法2.6.2固定端問題性能指標分

求解最優(yōu)控制的變分方法邊界條件指標