專(zhuān)題03 求三角形周長(zhǎng)-【題型專(zhuān)項(xiàng)突破系列之解三角形】備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)大題保分專(zhuān)練(全國(guó)通用)(解析版)

專(zhuān)題03解三角形之求三角形周長(zhǎng)一、解答題(共30題)1．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，設(shè)向量，，且．（1）求角；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用建立關(guān)系式，通過(guò)正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，化簡(jiǎn)整理成關(guān)于A的三角函數(shù)，從而求出A角.（2）通過(guò)面積公式和余弦定理可以建立的關(guān)系式，解出的值即可求出周長(zhǎng).【詳解】解：（1）∵，∴，由正弦定理可得，整理得∴，∴，在中，∵，∴，，，∵，∴，∴；（2）由余弦定理可得，，化簡(jiǎn)得①，，②，由①②解得，或，，所以三角形周長(zhǎng)為．2．在中，三內(nèi)角，，對(duì)應(yīng)的邊分別是，，，，且.（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若的面積是，求的周長(zhǎng).【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用正弦定理的邊角互化可得，再由兩角和的正弦公式以及三角形的內(nèi)角和性質(zhì)即可求解.（Ⅱ）利用三角形的面積公式可得，解得，再根據(jù)余弦定理可得，從而可得，進(jìn)而求出的周長(zhǎng).【詳解】（Ⅰ）將，，，代入中，得到，即.因?yàn)?，所以，于是?（Ⅱ）因?yàn)椋裕?由余弦定理得，，即，所以.于是的周長(zhǎng)是.3．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、．且．（1）求；（2）若且的面積為6．求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得，然后根據(jù)平方關(guān)系可得結(jié)果.（2）依據(jù)三角形面積公式以及（1）可知，然后使用余弦定理可得，最后可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，所以．因?yàn)?，所以，可得，所以．?），所以，由余弦定理得，即，解得，所以的周長(zhǎng)為．4．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，．（Ⅰ）是邊上的中線(xiàn)，若，求的值；（Ⅱ）若，求的周長(zhǎng)．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】(1)由題知，兩邊平方得，代入計(jì)算求出；（2）由正弦定理求出角，從而判斷三角形為直角三角形，求出，得出周長(zhǎng).【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，即，所以，解得（?fù)值舍去）；（Ⅱ）由，可得，因?yàn)椋?，所以．所以，所以，所以的周長(zhǎng)為．5．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為且滿(mǎn)足．（1）求角；（2）若的面積，其外接圓的半徑，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理，將變化為角，結(jié)合正弦函數(shù)的和角公式即可得解.（2）根據(jù)外接圓半徑及正弦定理可求得，結(jié)合三角形面積公式可得，代入余弦定理可得，進(jìn)而得的周長(zhǎng)．【詳解】（1），由正弦定理得.即，又，故，又，所以（2）由，及，可得，又，即，由余弦定理，得，即，又，故.所以，即的周長(zhǎng)為.6．中，三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，BC邊上的高為h，已知．（1）求的值；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）1；（2）．【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）由及正弦定理得，即，∵，∴，由正弦定理得，又因?yàn)?，即．?），∴∵，∴∴．∵得，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為．7．已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且（1）求角；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【分析】（1）將已知條件切化弦，結(jié)合正弦定理實(shí)現(xiàn)邊化角，以及正弦的和角公式，即可求得結(jié)果；（2）由三角形面積求得，再利用余弦定理求得，則周長(zhǎng)得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，在中，由正弦定理得，因?yàn)椋?，整理得，由，得，所?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，?即的周長(zhǎng)為.8．已知向量.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）在中，，若，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用平面向量的數(shù)量積公式得到關(guān)于三角函數(shù)的表達(dá)式，然后利用三角恒等變換化簡(jiǎn)為一個(gè)正弦型函數(shù)，最后利用周期公式得到所求；（2）首先利用（1）的結(jié)論求出A，然后利用余弦定理得到關(guān)于b，c的一個(gè)等式，再根據(jù)條件求解b，c，從而可得三角形的周長(zhǎng).【詳解】（1），所以的最小正周期.（2）由題意可得，又，則，所以，故.設(shè)角的對(duì)邊分別為，則.所以，又，所以，故，解得，則，所以的周長(zhǎng)為.9．在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，，且.（1）求的大??；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）1；（2）【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知可求，由余弦定理可得cosA，結(jié)合B，可得所求．（2）利用的面積可求b=c=，利用余弦定理可得a=b，從而求得周長(zhǎng)．【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?，整理得，∴，解?又，所以，即，∴.（2）由（1）知，，∴，解得.由余弦定理，得，即.∴的周長(zhǎng)為.10．設(shè)、、分別是△內(nèi)角、、所對(duì)的邊，.（1）求角的大?。唬?）若，且△的面積為，求△的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【分析】（1）利用兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)可得，即可得到角A的大??；（2）根據(jù)面積結(jié)合（1）可得，利用余弦定理求得，即可得到三角形周長(zhǎng).【詳解】（1）由題意可得：∴（2）由又∴，∴周長(zhǎng)為.11．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求B的大??；（2）若，，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，可將題中等式轉(zhuǎn)化為，即可求出，進(jìn)而求出角即可；（2）由余弦定理，可求得，再結(jié)合，可求出，進(jìn)而可求出，即可得到的值，從而可求出的周長(zhǎng).【詳解】（1）由題意，，解得，∵，∴.（2）∵，∴，即，又，∴，∴，∴，即，的周長(zhǎng)為.12．內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，內(nèi)角，，順次成等差數(shù)列.（1）若，，求的大小；（2）若的面積為，其外接圓半徑為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和可求，然后結(jié)合余弦定理可求；（2）由已知利用三角形的面積公式可求，利用正弦定理可求的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求的值，即可得解的周長(zhǎng)的值.【詳解】（1）由，且，所以，因?yàn)?，，由余弦定理得：，?（2）由于的面積為，由（1）可得，所以，解得，由于的外接圓半徑為，所以，即，解得，利用已知條件和余弦定理，可得，解得，所以的周長(zhǎng)為.13．在中，角所對(duì)的邊分別為．（1）求的值；（2）求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）28【分析】（1）根據(jù)，的關(guān)系求出，根據(jù)同角的基本關(guān)系求出，，從而求出的值；（2）根據(jù)正弦定理以及余弦定理求出三角形的三邊長(zhǎng)，從而求出三角形的周長(zhǎng)即可．【詳解】解：（1）由，得，，，，，，，，故，則；（2），，解得：，由得：，故，由，解得：，由余弦定理得：，則，故，故的周長(zhǎng)是．14．已知的面積是，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.（1）求A；（2）若，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；（2）由，，得，再利用余弦定理求出，即可求出的周長(zhǎng)．【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所以?），，，，，的周長(zhǎng)為：．15．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）若的面積為，，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理將目標(biāo)式邊化角，結(jié)合倍角公式，即可整理化簡(jiǎn)求得結(jié)果；（2）由面積公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，結(jié)合即可求得周長(zhǎng).【詳解】（1）由題設(shè)得.由正弦定理得∵∴，所以或.當(dāng)，（舍）故，解得.（2），從而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周長(zhǎng)為.16．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，且.（1）求角；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）30.【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化為角，結(jié)合展開(kāi)化簡(jiǎn)可得，從而得解；（2）由面積公式可得，結(jié)合余弦定理可得，從而得解.【詳解】(1)由及正弦定理可得，即,整理得，因?yàn)?,所以,.（2）由及△ABC的面積為，得，所以.由，由余弦定理可得：=，所以，所以△ABC的周長(zhǎng)為30.17．已知函數(shù)．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．（1）求角大小；（2）若，，求周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用二倍角公式以及兩角的和差公式對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求得角；（2）根據(jù)余弦定理及已知條件求得，即可求得周長(zhǎng)．【詳解】（1）．因?yàn)?，即，所以或，且，所以．?）由，可得，整理得．由，可得，則，解得，則的周長(zhǎng)．18．已知在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿(mǎn)足.（1）求角的大小；（2）若的面積為，且，求的周長(zhǎng).【答案】（1），（2）12【分析】（1）由正弦定理將化為，從而可得，而，所以，則有，進(jìn)而可求出角；（2）由的面積為，，可得，再結(jié)合余弦定理可得，則，從而可得為等邊三形，進(jìn)而可求出其周長(zhǎng)【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，，，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?因?yàn)?，所以，?）因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，所以，由余弦定理得，由，得代入上式得，化簡(jiǎn)得，解得，所以，因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以的周長(zhǎng)為1219．的內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，且．（1）求；（2）若，，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理可求解；（2）由三角形面積公式可得，由余弦定理得，再由可求出，即可求出，得出周長(zhǎng).【詳解】解（1）由根據(jù)正弦定理得，根據(jù)余弦定理得．因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，解．由余弦定理得，即．①又因?yàn)?，即．②?lián)立①②，得，解得（舍負(fù)）．因?yàn)?，所以（舍?fù)），所以的周長(zhǎng)為．20．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知（1）求;（2）若，求的周長(zhǎng)【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)為求解；（2）利用余弦定理得到，然后由求得代入即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以所以由正弦定理得整理得因?yàn)樵谥?，所以，則所以（2）由余弦定理得，即，因?yàn)?，所以，所以，解?所以的周長(zhǎng)是21．的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，其面積為，且．（1）求的值；（2）若、、成等比數(shù)列，且的面積是，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理以及三角形的面積公式可求得的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得，進(jìn)而可求得的值，由已知條件可求得的值，由此可求得的周長(zhǎng)．【詳解】（1），由正弦定理得：，即，；（2）由（1）知，又、、成等比數(shù)列，，，即，，又，即，即，則，，又，，因此的周長(zhǎng)為．22．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，.（1）求的值；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由利用正弦定理可得，然后利用商數(shù)關(guān)系求解；（2）根據(jù)（1）結(jié)合，解得，再由的面積為，求得，再利用余弦定理求解.【詳解】（1）由正弦定理，及得，即，∴.（2）由（1）知，故，又因?yàn)?，解?由，得，由余弦定理及，得.∴，∴，∴的周長(zhǎng)為.23．在中，．（1）求B；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知三角函數(shù)的等量關(guān)系，結(jié)合兩角和正弦公式得，根據(jù)正弦定理、三角形內(nèi)角的性質(zhì)，即可求B；（2）由三角形面積公式求出、，再根據(jù)余弦定理求，即可求的周長(zhǎng)．【詳解】（1）由，得，∴，即，∴．由正弦定理，得，又，∴，即，，∴．（2）由的面積為，得，解得，即．由余弦定理，可得，解得．∴的周長(zhǎng)為．24．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的遞增區(qū)間；（2）在中，內(nèi)角滿(mǎn)足，且，，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）12.【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間可求出結(jié)果；（2）由求出，由余弦定理求出，由求出，聯(lián)立這兩個(gè)方程解出后，可得三角形的周長(zhǎng).【詳解】（1），令，，得，，因?yàn)?，令，得，?所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即的遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即，由余弦定理可知，①又因?yàn)?，所以，②?lián)立①②得，所以的周長(zhǎng)為12.25．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，．（1）求的面積的最大值；（2）若，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）的面積的最大值為；（2）15．【分析】(1)由條件結(jié)合余弦定理，利用均值不等式可得的最大值，從而得出的面積的最大值.

（2）由正弦定理將條件互為，再化簡(jiǎn)可得，由而倍角公式可得，從而得出角，進(jìn)一步求出邊，得出答案.【詳解】（1）∵，∴，由余弦定理知：，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以，所以的面積的最大值為．（2）由正弦定理得∵，∴．即．∵，故，由∴．∵，∴，∴，∴周長(zhǎng)為∴．26．已知中，三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別是．（1）證明；（2）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答．若，________，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）選①②③，周長(zhǎng)都是20.【分析】（1）利用余弦定理即可直接證明；（2）先根據(jù)條件結(jié)合（1）中結(jié)論可先求得，再由余弦定理可求出，即可得出周長(zhǎng).【詳解】（1）證明：由余弦定理可得：，即（2）第一步：求A．選①：，∴由（1）中所證結(jié)論可得：，可得．選②：，由（1）中的證明同理可得：，可得，．選③：，由（1）中的證明過(guò)程同理可得，，可得．第二步：求c在中，由余弦定理可得：，即，解得，或（舍去），所以，即的周長(zhǎng)為20．27．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，．（1）求外接圓的面積；（2）若邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）9.【分析】(1)由正弦定理可求出，結(jié)合余弦定理可求出，進(jìn)而可求出三角形外接圓的半徑，從而可求出外接圓的面積.(2)設(shè)的中點(diǎn)為，則，結(jié)合向量加法可得，結(jié)合余弦定理可求出，.【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，即，所以，由，得，設(shè)外接圓的半徑為則，所以外接圓的面積為．（2）設(shè)的中點(diǎn)為，則．因?yàn)?，所以，即，又，，則，整理得，解得或（舍去），則．所以的周長(zhǎng)為9．28．在中，，．（1）求；（2）若的面積，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；