球與正三棱錐和正三棱柱的切接關(guān)系

關(guān)于球與正三棱錐和正三棱柱的切接關(guān)系第一頁，共十七頁，2022年，8月28日OPABCDKH正三棱錐的內(nèi)切球的球心在它的高上(與外接球的球心不一定重合）有關(guān)正三棱錐內(nèi)切球半徑的計算，通常利用RtΔPHD∽RtΔPKO，或放在箏形OKDH中進行。

OH=OK=r.

注意到球心O與棱BC中點D的連線平分二面角P---BC---A的平面角。把有關(guān)立體幾何的計算轉(zhuǎn)化為平面幾何的計算，是最基本的策略。PHDOK∟∟設(shè)正三棱錐底面邊長為b，側(cè)棱長為a，高為h，斜高為h?，內(nèi)切圓半徑為r，∽第二頁，共十七頁，2022年，8月28日正三棱錐P---ABC的側(cè)棱長為1，底面邊長為，它的四個頂點在同一個球面上，則球的體積為（）A解：設(shè)P在底面ABC上的射影為H，則H為正ΔABC的中心.延長PH交球面于M，則PM為球的一直徑，∴∠PAM=90°由RtΔ中的射影定理得：OPABCDMH法二由AH>PH知：球心O在正三棱錐的高PH的延長線上。在RtΔAHO,有：

題目：第三頁，共十七頁，2022年，8月28日

題目：正三棱錐P—ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為() 解析：OPABCDKHPHDOK∟∟設(shè)正三棱錐側(cè)棱長為a，底面邊長為b，∵三側(cè)棱兩兩垂直，∴各側(cè)面都是全等的等腰直角三角形。代入正三棱錐內(nèi)切球半徑公式：得：又正三棱錐外接球半徑

D第四頁，共十七頁，2022年，8月28日已知三棱錐P—ABC的四個頂點均在半徑為1的球面上，且滿足同理，PB⊥PC,PC⊥PA,即PA、PB、PC兩兩互相垂直易知，該三棱錐三個側(cè)面均為RtΔ，所以，其側(cè)面積為解析：則三棱錐的側(cè)面積的最大值為（）A

題目：第五頁，共十七頁，2022年，8月28日提示：三棱錐三側(cè)面兩兩垂直三側(cè)棱兩兩垂直正三棱錐對棱互相垂直，即SB⊥AC,又SB∥MN,且AM⊥MN,所以，SB⊥平面SAC。故，SB⊥SA,SB⊥SC,進而，SA⊥SC.則三側(cè)棱互相垂直。以S為頂點，將三棱錐補成一個正方體，則球的直徑設(shè)三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球大圓的面積為（）在正三棱錐S—ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點，且MN⊥AM，若側(cè)棱則正三棱錐外接球的表面積是（）CSABCMN

題目：解析：C鞏固練習(xí)第六頁，共十七頁，2022年，8月28日從P點出發(fā)三條射線PA，PB，PC兩兩成60°，且分別與球O相切于A，B，C三點，若球的體積為，則OP的距離為（） 0PABCHPABCO

因PA與球O相切于點A，∴OA⊥PA,同理，OB⊥PB,OC⊥PC.∴RtΔPOA≌RtΔPOB≌RtΔPOC∴PA=PB=PC又∠APB=∠BPC=∠CPA=60°∴ΔPAB、ΔPBC、ΔPCA、ΔABC為全等的等邊三角形，∴P---ABC為正四面體；O---ABC為正三棱錐。解析：先想象一下圖形，畫出示意圖由已知得球半徑R=1，設(shè)PA=a，OP=x，設(shè)P在底面ABC上的射影為H（也是O在底面ABC上的射影），則AH⊥PH.在RtΔPAO中，有：B第七頁，共十七頁，2022年，8月28日

§4

球與棱柱切接問題舉例正三棱柱的外接球球心在上下底面中心連線的中點。ΔAOB是等腰三角形，OA=OB=ROABCA1B1C1M設(shè)球半徑為R，球心到底面ABC的距離為d，ΔABC的外接圓半徑為r.設(shè)正三棱柱高AA1=h，底面邊長為a。正三棱柱的內(nèi)切球如果一個正三棱柱有內(nèi)切球，則球心為正三棱柱上下底面中心連線的中點，球直徑等于正三棱柱的側(cè)棱長。各面中心即為切點（共5個）。底面正三角形中心到一邊的距離即為球半徑r。第八頁，共十七頁，2022年，8月28日解:在中,,可得由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為.（2009全國卷Ⅰ理）直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于

。

真題賞析ABCE∟O?OBACB1A1C1O?BO?ORr1第九頁，共十七頁，2022年，8月28日（2009江西卷理）正三棱柱內(nèi)接于半徑為2的球，若

兩點的球面距離為，則正三棱柱的體積為

．真題賞析由球面距離公式：解析：設(shè)正ΔABC的外接圓半徑為r∴球心O到平面ABC的距離為

8第十頁，共十七頁，2022年，8月28日一個正方體的棱長為2，將八個直徑各為1的球放進去之后，正中央空間能放下的最大的球的直徑為

棱長為a的正方體外接球的表面積為（）B八個球的球心連線構(gòu)成一個立方體，且其棱長為1.解析：O1O7O1O7MN設(shè)過對角線O1O7的對角面與球O1、O7分別交于M、N，如圖。則所求為：作業(yè)：第十一頁，共十七頁，2022年，8月28日已知體積為的正三棱錐的外接球的球心為Ｏ，滿足,則三棱錐外接球的體積為＿＿＿＿．OBADC如圖,設(shè)A、B、C、D為球O上四點，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且，則AD兩點間的球面距離

.

提示：由已知得：球心O為正三棱錐底面ΔABC的中心。如圖，則有ΔPAM為等腰直角三角形，O為斜邊PM中點。設(shè)底面正Δ邊長為a，側(cè)棱長為b，則提示：∴ΔAOD為等邊三角形.第十二頁，共十七頁，2022年，8月28日半徑為1的球面上有A、B、C三點，B、C間的球面距離是，點A與B、C兩點間的球面距離均為，球心為O。求：①∠AOB，∠BOC的大小；②球心到截面ABC的距離；③球的內(nèi)接正方體的表面積與球面積之比．解：①∵球面距離②∵OA=OB=OC=1③設(shè)球的內(nèi)接正方體棱長為a，則OBACAOBACOBCOCBA第十三頁，共十七頁，2022年，8月28日A、B、C是半徑為1的球面上三點，B、C間的球面距離是，點A與B、C兩點間的球面距離均為，球心為O。求：①∠AOB，∠BOC的大??；②球心到截面ABC的距離；③球的內(nèi)接正方體的表面積與球面積之比．解：①∵球面距離②∵OA=OB=OC=1

③設(shè)球的內(nèi)接正方體棱長為a，則法二：易知AO垂直于平面BOC。有人抄錯題了，把和交換了一下，那么，答案還一樣嗎？ACOABOBOCABC第十四頁，共十七頁，2022年，8月28日則三棱柱的體積為（）在棱長為a的正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球，過正方體中兩條互為異面直線的棱的中點作直線,該直線被球面截在球內(nèi)的線段長為()一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，已知這個球的體積為