高中數(shù)學高考41第七章 不等式、推理與證明 7 5 合情推理與演繹推理

§7.5合情推理與演繹推理第七章不等式、推理與證明NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學習題型分類深度剖析課時作業(yè)1基礎(chǔ)知識自主學習PARTONE1.合情推理知識梳理ZHISHISHULI類型定義特點歸納推理根據(jù)某類事物的

對象具有某些特征，推出該類事物的

對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理由

到

、由

到_____

類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理由

到____部分全部部分整體個別一般特殊特殊2.演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理.簡言之，演繹推理是由一般到

的推理.(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷.特殊1.合情推理所得結(jié)論一定是正確的嗎？提示合情推理所得結(jié)論是猜想，不一定正確，用演繹推理能夠證明的猜想是正確的，否則不正確.【概念方法微思考】2.合情推理對我們學習數(shù)學有什么幫助？提示合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，證明一個數(shù)學結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向.3.“三段論”是演繹推理的一般模式，包括大前提，小前提，結(jié)論，在用其進行推理時，大前提是否可以省略？提示大前提是已知的一般原理，當已知問題背景很清楚的時候，大前提可以省略.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確.(

)(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理.(

)(3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.(

)(4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯誤的.(

)×√×基礎(chǔ)自測JICHUZICE123456√(5)一個數(shù)列的前三項是1，2，3，那么這個數(shù)列的通項公式是an＝n(n∈N*).(

)(6)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確.(

)××123456題組二教材改編2.[P23例2]已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，當n≥2時，an＝an－1＋2n－1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達式是A.an＝3n－1 B.an＝4n－3C.an＝n2

D.an＝3n－1√123456解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想an＝n2.3.[P35A組T5]在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則存在的等式為_________________________________.123456b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)解析利用類比推理，借助等比數(shù)列的性質(zhì)，可知存在的等式為b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*).4.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理A.結(jié)論正確

B.大前提不正確C.小前提不正確

D.全不正確123456題組三易錯自糾解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提錯誤.√123456解析顯然①④正確；對于②，在空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以平行，也可以異面或相交；對于③，在空間中垂直于同一個平面的兩個平面可以平行，也可以相交.5.類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可得出空間內(nèi)的下列結(jié)論：①垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③垂直于同一個平面的兩個平面互相平行；④垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.則正確的結(jié)論是_____.(填序號)①④解析左邊為等比數(shù)列，右邊為等差數(shù)列，所以第n個關(guān)系式為(1＋x)n≥1＋nx(n∈N*).123456(1＋x)n≥1＋nx2題型分類深度剖析PARTTWO題型一歸納推理命題點1與數(shù)式有關(guān)的的推理例1

(1)(2018·成都模擬)《周易》歷來被人們視為儒家經(jīng)典之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認識，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映了中國古代的二進制計數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻“”當做數(shù)字“1”，把陰爻多維探究卦名符號表示的二進制數(shù)表示的十進制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113“

”當做數(shù)字“0”，則八卦代表的數(shù)表示如右上：以此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“

”表示的十進制數(shù)是A.18 B.17 C.16 D.15√解析由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號

“

”表示二進制數(shù)的010001，轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)的計算為1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故選B.解析由題意得，不等式右邊分數(shù)的分母是左邊最后一個分數(shù)的分母的底數(shù)，所以猜想的分母是2018，分子組成了一個以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以a2017＝3＋(2017－1)×2＝4035.命題點2與圖形變化有關(guān)的推理例2

(2019·哈師大附中模擬)分形理論是當今世界十分風靡和活躍的新理論、新學科.其中，把部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形.分形是一種具有自相似特性的現(xiàn)象、圖象或者物理過程.標準的自相似分形是數(shù)學上的抽象，迭代生成無限精細的結(jié)構(gòu).也就是說，在分形中，每一組成部分都在特征上和整體相似，只僅僅是變小了一些而已，謝爾賓斯基三角形就是一種典型的分形，是由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基在1915年提出的，按照如下規(guī)律依次在一個黑色三角形內(nèi)去掉小三角形，則當n＝6時，該黑色三角形內(nèi)去掉小三角形個數(shù)為A.81 B.121

C.364 D.1093√解析由圖可知，每一個圖形中小三角形的個數(shù)等于前一個圖形小三角形個數(shù)的3倍加1，所以，n＝1時，a1＝1；n＝2時，a2＝3＋1＝4；n＝3時，a3＝3×4＋1＝13；n＝4時，a4＝3×13＋1＝40；n＝5時，a5＝3×40＋1＝121；n＝6時，a6＝3×121＋1＝364，故選C.歸納推理問題的常見類型及解題策略(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理.觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解.(2)與式子有關(guān)的推理.觀察每個式子的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解.(3)與圖形變化有關(guān)的推理.合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡?思維升華跟蹤訓練1

某種樹的分枝生長規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1，1，2，3，5，則預(yù)計第10年樹的分枝數(shù)為解析由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，從第三項起，每一項都等于前兩項的和，則第6年為8，第7年為13，第8年為21，第9年為34，第10年為55，故選D.A.21 B.34 C.52 D.55√題型二類比推理例3

(1)已知{an}為等差數(shù)列，a1010＝5，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝5×2019.若{bn}為等比數(shù)列，b1010＝5，則{bn}類似的結(jié)論是A.b1＋b2＋b3＋…＋b2019＝5×2019B.b1b2b3…b2019＝5×2019C.b1＋b2＋b3＋…＋b2019＝52019D.b1b2b3…b2019＝52019師生共研√解析在等差數(shù)列{an}中，令S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019，則S＝a2019＋a2018＋a2017＋…＋a1，∴2S＝(a1＋a2019)＋(a2＋a2018)＋(a3＋a2017)＋…＋(a2019＋a1)＝2019(a1＋a2019)＝2019×2a1010＝10×2019，∴S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝5×2019.在等比數(shù)列{bn}中，令T＝b1b2b3…b2019，則T＝b2019b2018b2017…b1，∴T＝b1b2b3…b2019＝(b1010)2019＝52019.(2)如圖(1)所示，點O是△ABC內(nèi)任意一點，連接AO，BO，CO，并延長交對邊于A1，B1，C1，則

，類比猜想：點O是空間四面體V—BCD內(nèi)的任意一點，如圖(2)所示，連接VO，BO，CO，DO并延長分別交面BCD，VCD，VBD，VBC于點V1，B1，C1，D1，則有_____________________________．用“體積法”證明如下：類比推理常見的情形有：平面與空間類比；低維與高維類比；等差與等比數(shù)列類比；運算類比(加與乘，乘與乘方，減與除，除與開方).數(shù)的運算與向量運算類比；圓錐曲線間的類比等.思維升華解析設(shè)ha，hb，hc，hd分別是三棱錐A－BCD四個面上的高，P為三棱錐A－BCD內(nèi)任一點，P到相應(yīng)四個面的距離分別為Pa，Pb，Pc，Pd，題型三演繹推理師生共研(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)(2)Sn＋1＝4an.＝4an(n≥2)，

(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，

(小前提)∴對于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an. (結(jié)論)(第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件)演繹推理是從一般到特殊的推理；其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題，應(yīng)當首先明確什么是大前提和小前提，若前提是顯然的，則可以省略.思維升華跟蹤訓練3

某市為了緩解交通壓力，實行機動車輛限行政策，每輛機動車每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行.某公司有A，B，C，D，E五輛車，保證每天至少有四輛車可以上路行駛.已知E車周四限行，B車昨天限行，從今天算起，A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，E車明天可以上路，由此可知下列推測一定正確的是A.今天是周六

B.今天是周四C.A車周三限行

D.C車周五限行√解析因為每天至少有四輛車可以上路行駛，E車明天可以上路，E車周四限行，所以今天不是周三；因為B車昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因為A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，所以今天不是周二和周六，所以今天是周四.故選B.3課時作業(yè)PARTTHREE1.(2018·豫南九校聯(lián)考)“對數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，f(x)＝log2|x|是對數(shù)函數(shù)，因此

f(x)＝log2|x|是非奇非偶函數(shù)”，以上推理A.結(jié)論正確

B.大前提錯誤C.小前提錯誤

D.推理形式錯誤√12345678910111213141516解析本命題的小前提是f(x)＝log2|x|是對數(shù)函數(shù)，但是這個小前提是錯誤的，因為f(x)＝log2|x|不是對數(shù)函數(shù)，它是一個復(fù)合函數(shù)，只有形如y＝logax(a>0且a≠1)的才是對數(shù)函數(shù).故選C.基礎(chǔ)保分練2.(2018·四川沖刺演練)中國古代十進位制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)造.據(jù)史料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年.算籌記數(shù)的方法是：個位、百位、萬位…的數(shù)按縱式的數(shù)碼擺出；十位、千位、十萬位…的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出，如7738可用算籌表示為

.123456789101112131415161～9這9個數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如上圖所示，則

的運算結(jié)果可用算籌表示為√解析根據(jù)題意，

＝36＝729，用算籌記數(shù)表示為

，故選D.123456789101112131415163.(2018·西北師大附中沖刺診斷)下列推理是歸納推理的是A.M，N為定點，動點P滿足||PM|－|PN||＝2a<|MN|(a>0)，則動點P的軌跡是以

M，N為焦點的雙曲線B.由a1＝2，an＝3n－1求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列{an}的前n項和Sn的表達式D.科學家利用魚的沉浮原理制造潛水艇√12345678910111213141516解析A選項用的雙曲線的定義進行推理，不符合要求.B選項根據(jù)前3個S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表達式，屬于歸納推理，符合要求.D選項用的是演繹推理，不符合要求.故選B.123456789101112131415164.觀察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102.根據(jù)上述規(guī)律，13＋23＋33＋43＋53＋63等于A.192

B.202 C.212 D.222解析因為13＋23＝32,13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，等式的右端依次為(1＋2)2，(1＋2＋3)2，(1＋2＋3＋4)2，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212，故選C.√123456789101112131415165.天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，以此類推.已知1949年為“己丑”年，那么到中華人民共和國成立80年時為A.丙酉年

B.戊申年

C.己申年

D.己酉年√12345678910111213141516解析天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，從1949年到2029年經(jīng)過80年，且1949年為“己丑”年，以1949年的天干和地支分別為首項，則80÷10＝8，則2029的天干為己，80÷12＝6余8，則2029的地支為酉，故選D.123456789101112131415166.甲、乙、丙、丁四名同學一起去向老師詢問數(shù)學學業(yè)水平考試成績等級.老師說：“你們四人中有2人A等，1人B等，1人C等，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績等級，給乙看丙的成績等級，給丙看丁的成績等級”.看后甲對大家說：“我知道我的成績等級了”.根據(jù)以上信息，則A.甲、乙的成績等級相同B.丁可以知道四人的成績等級C.乙、丙的成績等級相同D.乙可以知道四人的成績等級12345678910111213141516√解析由題意，四個人所知的只有自己看到的，以及甲最后所說的話，甲知道自己的等級，則甲已經(jīng)知道四個人等級，其甲、乙的成績等級不一定是相同的，所以A是不對的，乙、丙的成績等級不一定是相同的，所以C是不正確的，丁沒有看任何人的成績等級，所以丁不可能知道四人的成績等級，所以B是不對的，只有乙可能知道四人的成績等級，所以D是正確的.12345678910111213141516123456789101112131415167.在等差數(shù)列{an}中，若公差為d，且a1＝d，那么有am＋an＝am＋n，類比上述性質(zhì)，寫出在等比數(shù)列{bn}中類似的性質(zhì)：___________________________________________________.在等比數(shù)列{bn}中，若公比為q，且b1＝q，則bm·bn＝bm＋n解析等差數(shù)列中兩項之和類比等比數(shù)列中兩項之積，故在等比數(shù)列中，類似的性質(zhì)是“在等比數(shù)列{bn}中，若公比為q，且b1＝q，則bm·bn＝bm＋n.”123456789101112131415168.觀察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此規(guī)律，第n個等式為__________________________________________.n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2解析由前4個等式可知，第n個等式的左邊第一個數(shù)為n，且連續(xù)2n－1個整數(shù)相加，右邊為(2n－1)2，故第n個等式為n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151610.如圖所示，在平面上，用一條直線截正方形的一個角，截下的是一個直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空間中的正方體，用一平面去截正方體的一角，截下的是一個三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，若這三個兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，截面面積為S，類比平面的結(jié)論有______________.解析三角形類比空間中的三棱錐，線段的長度類比圖形的面積，11.(2019·吉林調(diào)研)《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：12345678910111213141516631234567891011121314151612.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年英國來華傳教偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲，1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將2至2018這2017個整數(shù)中能被2除余1且被3除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的項數(shù)為_____.12345678910111213141516336解析因為這些整數(shù)能被2除余1且被3除余1，所以這些數(shù)組成的數(shù)列的通項an＝6n＋1，設(shè)6n＋1≤2018，所以6n≤2017，所以n≤336.所以此數(shù)列的項數(shù)為336.13.一質(zhì)點從坐標原點出發(fā)，按如圖的運動軌跡運動，每步運動一個單位，例如第3步結(jié)束時該質(zhì)點所在位置的坐標為(0，1)，第4步結(jié)束時質(zhì)點所在位置的坐標為(－1，1)，那么第2018步結(jié)束時該質(zhì)點所在位置的坐標為___________.(16，－22)12345678910111213141516技能提升練解析當運動：1＋1＋2＋2步時，坐標為(－1，－1)；當運動：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4步時，坐標為(－2，－2)；當運動：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6步時，坐標為(－3，－3)；……當運動：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n＋n(n為偶數(shù))步時，而1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n＋n≤2018，即n(n＋1)≤2018(n∈N*)，解得n≤44.當n＝44時，該點的坐標為(－22，－22)，共走了1980步，此時還需向右走38步，故最終坐標為(16，－22).1234567891011121314151614.(2019·貴州適應(yīng)性考試)為了提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息.設(shè)原信息為a1a2a3，傳輸信息為h1a1a2a3h2，其中h1＝a1a2，h2＝h1a3，運算規(guī)則為：00＝0，01＝1，10＝1，11＝0.例如：原信息為111，則傳輸信息為01111.傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，則下列接收信息出錯的是A.01100 B.11010 C.10110 D.1100012345678910111213141516√解析A選項原信息為110，則h1＝a1a2＝11＝0，h2＝h1a3＝00＝0，所以傳輸信息為01100，A選項正確；B選項原信息為101，則h1＝a1a2＝10＝1，h2＝h1a3＝11＝0，所以傳輸信息為11010，B選項正確；C選項原信息為011，則h1＝a1a2＝01＝1，h2＝h1a3＝11＝0，所以傳輸信息為10110，C選項正確；D選項原信息為100，則h1＝a1a2＝10＝1，h2＝h1a3＝10＝1，所以傳輸信息為11001，D選項錯誤；故選D.1234567891011121314151612345678910111213141516A.6 B.7 C.8 D.915.如圖，有一個六邊