2022年初升高暑期數(shù)學(xué)精品講義專題03 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的最值問題重難點突破（原卷版）

專題03一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的最值問題現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用．本節(jié)將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進行闡述．二次函數(shù)是初中函數(shù)的主要內(nèi)容，也是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)．在初中階段大家已經(jīng)知道：二次函數(shù)在自變量取任意實數(shù)時的最值情況(當(dāng)時，函數(shù)在處取得最小值，無最大值；當(dāng)時，函數(shù)在處取得最大值，無最小值．知識結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)與考點梳理1、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：(1)當(dāng)時，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個不相等的實數(shù)根：(2)當(dāng)時，右端是零．因此，方程有兩個相等的實數(shù)根：(3)當(dāng)時，右端是負(fù)數(shù)．因此，方程沒有實數(shù)根．由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：2、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩個根為： 所以：， 定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么：重難點題型突破例1．（1）、（2022年廣東省中山市初中畢業(yè)班學(xué)業(yè)水平考試三模數(shù)學(xué)試題）若a是的一個根，則的值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8（2）、（2021·山東濰坊·九年級期中）（多選題）已知關(guān)于的一元二次方程，下列命題是真命題的有（

）A．若，則方程必有實數(shù)根B．若，，則方程必有兩個不相等的實根C．若是方程的一個根，則一定有成立D．若是一元二次方程的根，則

（3）、（2022·貴州六盤水·九年級期末）若a，b是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根，則___．【變式訓(xùn)練1-1】、（2022·江西贛州·九年級期中）若m，n是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值是______【變式訓(xùn)練1-2】、（2021·全國·九年級專題練習(xí)）（多選題）已知關(guān)于的方程，下列說法不正確的是（

）A．當(dāng)時，方程無解 B．當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根C．當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根 D．當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根【變式訓(xùn)練1-3】、（2022·山東·臨沂市河?xùn)|區(qū)教育科學(xué)研究與發(fā)展中心二模）關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，，且，則的值為（

）A．1 B．5 C．0或5 D．1或5

例2．（2022·浙江·溫州市第十四中學(xué)三模）已知二次函數(shù)的對稱軸為直線．(1)求m的值；(2)記拋物線頂點為H，以點H為直角頂點作等腰Rt△HAB，使A，B兩點落在拋物線上（B在A右側(cè)），求點B的坐標(biāo)．

【變式訓(xùn)練2-1】、（2022年四川省涼山州中考數(shù)學(xué)真題）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點A（－1，0）和點B（0，3），頂點為C，點D在其對稱軸上，且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點C落在拋物線上的點P處．(1)求拋物線的解析式；(2)求點P的坐標(biāo)；(3)將拋物線平移，使其頂點落在原點O，這時點P落在點E的位置，在y軸上是否存在點M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

例3．（1）、（2022·湖北襄陽·二模）如圖，拋物線經(jīng)過點，且對稱軸為直線，其部分圖像如圖所示．下列說法正確的個數(shù)是（

）．①；②；③；④（其中）A．0 B．1 C．2 D．3（2）．（2022·山東濰坊·九年級期末）（多選題）對于實數(shù)a，b，定義運算“※”：，例如：4※2，因為，所以，若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．方程的解為，；B．當(dāng)時，y隨x的增大而增大；C．若關(guān)于x的方程有三個解，則；D．當(dāng)時，函數(shù)的最大值為1．

（3）．（2022·山東聊城·二模）平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線平移得到拋物線C，如圖所示，且拋物線C經(jīng)過點和，點P是拋物線C上第一象限內(nèi)一動點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，則的最大值為______．【變式訓(xùn)練3-1】、（2022·江蘇蘇州·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，若點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點為漂亮點．已知二次函數(shù)（）的圖像上有且只有一個漂亮點．且當(dāng)時，二次函數(shù)（）的最小值為，最大值為4，則的取值范圍是______．【變式訓(xùn)練3-2】、（2021·全國·九年級專題練習(xí)）（多選題）關(guān)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象有下列命題，其中正確的命題是（）A．當(dāng)c=0時，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點；B．當(dāng)c＞0，且函數(shù)的圖象開口向下時，方程ax2+bx+c=0必有兩個不相等的實根；C．函數(shù)圖象最高點的縱坐標(biāo)是；D．當(dāng)b=0時，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．

【變式訓(xùn)練3-3】、（2022·河北·模擬預(yù)測）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示：①2a＋b＝0；②4a＋2b＋c＞0；③3a＋c＜0；④am2＋bm＜a＋b（m≠1）；⑤abc＜0，下列結(jié)論中，正確的個數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．2例4．（2022·河南開封·二模）如圖，拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且．(1)求拋物線的解析式及對稱軸．(2)在拋物線上任取一點E，過點E作軸，且四邊形ABEF為平行四邊形，在線段EF上任取一點P，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，記點Q的縱坐標(biāo)為．當(dāng)點E到拋物線對稱軸的距離不超過個單位長度時，求的取值范圍．

例5．（2022·陜西·西安高新一中實驗中學(xué)三模）如圖，拋物線經(jīng)過點和，與兩坐標(biāo)軸的交點分別為A，B，C，它的對稱軸為直線l．(1)求該拋物線的表達式；(2)P是該拋物線上的點，過點P作l的垂線，垂足為D，E是l上的點，要使以點P，D，E為頂點的三角形與全等，求滿足條件的點P，點E的坐標(biāo)．

例6．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如圖，拋物線L：與x軸交于點，兩點，與y軸交于點C，直