第12講 數列中的新情景問題（原卷版）

第12講數列中的新情景問題一、單選題1．（2021·江蘇如皋·高二期中）對于數列，若存在正整數，使得，，則稱是數列的“谷值”，是數列的“谷值點”在數列中，若，則數列的“谷值點”為（）A． B． C．， D．，，2．（2021·新疆昌吉·模擬預測（文））“斐波那契”數列是由十三世紀意大利數學家斐波那契發(fā)現的，數列中的一系列數字常被人們稱為神奇數，具體數列為1，1，2，3，5，8，…，即從該數列的第三項數字開始，每個數字等于前兩個相鄰數字之和.已知數列為“斐波那契”數列，為數列的前項和，若，則（）A． B． C． D．3．（2021·上海師大附中高三期中）設正整數，其中，記，則以下命題正確的個數是（）①；②；③；④.A．4 B．3 C．2 D．14．（2021·江蘇·南京師大蘇州實驗學校高三期中）設數列，若存在公比為q的等比數列，使得，其中，則稱數列為數列的“等比分割數列”，則下列說法錯誤的是（）A．數列；2，4，8，16，32是數列：3，7，12，24的一個“等比分割數列”B．若數列存在“等比分割數列”，則有和成立，其中C．數列：，，2存在“等比分割數列”D．數列的通項公式為，若數列的“等比分割數列”的首項為1，則公比5．（2021·河南·高二階段練習（文））已知數列的前項和為，滿足，記為數列在區(qū)間內項的個數，則數列的前項的和為（）A． B． C． D．6．（2021·寧夏·六盤山高級中學高二階段練習（理））對于正項數列，定義為數列的“勻稱值”.已知數列的“勻稱值”為，則該數列中的等于（）A． B． C． D．7．（2021·河南·新蔡縣第一高級中學高二階段練習（文））設數列的前項和是，令，稱為數列，，…，的“超越數”，已知數列，，…，的“超越數”為2020，則數列5，，，…，的“超越數”為（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20218．（2021·湖北黃石·高三開學考試）普林斯頓大學的康威教授發(fā)現了一類有趣的數列并命名為“外觀數列”，該數列的后一項由前一項的外觀產生．以1為首項的“外觀數列”記作，其中為1，11，21，1211，111221，…，即第一項為1，外觀上看是1個1，因此第二項為11；第二項外觀上看是2個1，因此第三項為21；第三項外觀上看是1個2，1個1，因此第四項為1211，…，按照相同的規(guī)則可得其它項，例如為3，13，1113，3113，132113，…若的第n項記作，的第n項記作，其中i，，若，則的前n項和為（）A． B． C． D．9．（2021·江蘇·高二單元測試）若數列滿足：，，，使得對于，都有，則稱具有“三項相關性”下列說法正確的有（）①若數列是等差數列，則具有“三項相關性”②若數列是等比數列，則具有“三項相關性”③若數列是周期數列，則具有“三項相關性”④若數列具有正項“三項相關性”，且正數，滿足，，數列的通項公式為，與的前項和分別為，，則對，恒成立．A．③④ B．①②④ C．①②③④ D．①②10．（2021·福建省連城縣第一中學高二階段練習）對于正項數列，定義：為數列的“勻稱值”.已知數列的“勻稱值”為，則該數列中的等于（）A． B． C． D．11．（2021·浙江紹興·高二期末）已知遞增數列的前100項和為，且，，若當時，仍是數列中的項（其中），則（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且12．（2021·江蘇·高二專題練習）對于一個給定的數列，從第二項開始，每一項減去前一項得出第二個數列，又將第二個數列從第二項開始，每一項減去前一項得出第三個數列，這樣一直做下去，假如減了次之后，得到了一個非零常數列，那么我們就稱第一個數列為階等差數列，即為高階等差數列．南宋數學家楊輝在《詳解九章算術》和《算法通變本末》中研究了高階等差數列，對這類高階等差數列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現有高階等差數列，其前7項分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數列的第8項為（）A．99 B．131 C．139 D．14113．（2021·貴州威寧·高一期末）對于數列，定義為數列的“美值”，現在已知某數列的“美值”，記數列的前項和為，若對任意的恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．二、多選題14．（2021·河北保定·高二階段練習）意大利著名數學家裴波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現有這樣的一列數：1，1，2，3，5，8，….該數列的特點是：前兩個數均為1，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和.人們把這樣的一列數組成的數列稱為裴波那契數列，現將中的各項除以4所得余數按原順序構成的數列記為，則（）A． B．C． D．15．（2021·全國·模擬預測）若數列滿足，，，則稱數列為斐波那契數列，1680年卡西尼發(fā)現了斐波那契數列的一個重要性質：（）．若斐波那契數列滿足，則下列結論正確的是（）A．k可以是任意正奇數B．k可以是任意正偶數C．若k是奇數，則k的最大值是999D．若k是偶數，則k的最大值是50016．（2021·江蘇·鹽城市伍佑中學高二期中）在數列中，若（，，p為常數），則稱為“等方差數列”.下列對“等方差數列”的判斷，其中正確的為（）A．若是等方差數列，則是等差數列B．若是等方差數列，則是等方差數列C．數列是等方差數列D．若是等方差數列，則（，k為常數）也是等方差數列17．（2021·江蘇·高二單元測試）已知數列中的前項和為，若對任意的正整數，都有，則稱為“和諧數列”，下列結論，正確的有（）A．常數數列為“和諧數列”B．為“和諧數列”C．為“和諧數列”D．若公差為的等差數列滿足：為“和諧數列”，則的最小值為-218．（2021·全國·高三專題練習）如果有窮數列，，，…，（為正整數）滿足，，…，即，我們稱其為“對稱數列”．例如，數列1，2，5，2，1與數列8，4，2，2，4，8都是“對稱數列”．設是項數為的“對稱數列”，且1，2，，，…，依次為該數列中連續(xù)的前項，則數列的前100項和可能的取值為（）A． B．C． D．19．（2021·全國·高二課時練習）記數列的前項和為，若存在實數，使得對任意的，都有，則稱數列為“和有界數列”．下列說法正確的是（）A．若數列是等差數列，且公差，則數列是“和有界數列”B．若數列是等差數列，且數列是“和有界數列”，則公差C．若數列是等比數列，且公比滿足，則數列是“和有界數列”D．若數列是等比數列，且數列是“和有界數列”，則公比滿足20．（2021·廣東天河·高三階段練習）在數列中，若（，，為常數），則稱數列為“開方差數列”，則下列判斷正確的是（）A．是開方差數列B．若是開方差數列，則是等差數列C．若是開方差數列，則也是開方差數列（，為常數）D．若既是開方差數列，又是等差數列，則該數列為常數列21．（2021·全國·模擬預測）數列的前項和為，若數列與函數滿足：①數列中任意兩項均不相等，且的定義域為；②數列與函數均單調遞增：③使成立，則稱數列與函數具有“單調偶遇關系”，下列說法正確的有（）A．與具有“單調偶遇關系”B．與不具有“單調偶遇關系”C．與數列具有“單調偶遇關系”的函數有有限個D．與數列具有“單調偶遇關系”的函數有無數個22．（2021·山東日照·高二期末）記表示與實數最接近的整數，數列通項公式為，其前項和為，設，則（）A． B．C． D．23．（2021·全國·高三專題練習）“，數列”在通信技術有著重要應用，它是指各項的值都等于或的數列．設是一個有限，數列，表示把中每個都變?yōu)?，，每個都變?yōu)?，，所得到的新的，數列，例如，則．設是一個有限，數列，定義，、、、．則下列說法正確的是（）A．若，則B．對任意有限，數列、中和的個數總相等C．中的，數對的個數總與中的，數對的個數相等D．若，則中，數對的個數為24．（2021·全國·模擬預測）斐波那契數列，又稱黃金分割數列，它在很多方面與大自然神奇地契合，小到地球上的動植物，如向日葵、松果、海螺的成長過程，大到海浪、颶風、宇宙星系演變，都遵循著這個規(guī)律，人們親切地稱斐波那契數列為自然界的“數學之美”，在數學上斐波那契數列一般以遞推的方式被定義：，，則（）A．B．C．是等比數列D．設，則25．（2021·全國·高二專題練習）在數列中，若，則稱為“和等比數列”．設為數列的前項和，且，則下列對“和等比數列”的判斷中正確的有（）A． B．C． D．26．（2021·江蘇·高三專題練習）在數列{an}中，若為常數），則{an}稱為“等方差數列”，下列對“等方差數列”的判斷，其中正確的為（）A．若{an}是等方差數列，則{an2}是等差數列B．若{an}是等方差數列，則{an2}是等方差數列C．{（﹣1）n}是等方差數列D．若{an}是等方差數列，則{akn}（k∈N*，k為常數）也是等方差數列27．（2021·全國·高三專題練習）已知數列……，其中第一項是，接下來的兩項是再接下來的三項是依次類推…，第項記為，數列的前項和為，則（）A． B． C． D．三、填空題28．（2021·全國·高三階段練習（文））任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘再加上；若是偶數，就將該數除以.反復進行上述兩種運算，經過有限步驟后，必進入循環(huán)圈.這就是數學史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”等).如取正整數，根據上述運算法則得出，至少需經過個步驟變成(簡稱為步“雹程”).一般地，一個正整數首次變成需經過個步驟(簡稱為步“雹程”).現給出冰雹猜想的遞推，關系如下：已知數列滿足為正整數)，，若，即步“雹程”對應的的所有可能取值的中位數為__________.29．（2021·河南·高三期中（理））某項測試有道必答題，甲和乙參加該測試，用數列和記錄他們的成績．若第題甲答對，則，若第題甲答錯，則；若第題乙答對，則，若第題乙答錯，則．已知，，則________．30．（2021·河南·高三期中（文））某項測試有道必答題，甲和乙參加該測試，分別用數列和記錄他們的成績．若第題甲答對，則，若第題甲答錯，則；若第題乙答對，則，若第題乙答錯，則．已知，且只有題甲和乙均答錯，則甲至少答對______________________道題．31．（2021·河南三門峽·高三階段練習（理））在數列中，如果對任意，都有（為常數），則稱數列為比等差數列，稱為比公差.則下列結論：①等比數列一定是比等差數列；②等差數列一定不是比等差數列；③若，則是比等差數列，且比公差為；④若數列是公差不為零的等差數列，是等比數列，則數列一定不是比等差數列.其中正確的有_____________.（填序號）32．（2021·全國·高二課時練習）在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數列，將這樣的操作叫作該數列的一次“擴展”．將數列1，4進行“擴展”，第一次“擴展”得到數列1，4，4；第二次“擴展”，得到數列1，4，4，16，4；……；第n次“擴展”，得到數列1，，，…，，4，并記，其中，．則數列的通項公式______．33．（2021·江蘇省蘇州第十中學校高二階段練習）南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數之差或者高次差成等差數列，如數列1，3，6，10，前后兩項之差得到新數列2，3，4，新數列2，3，4為等差數列，這樣的數列稱為二階等差數列．對這類高階等差數列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”．現有高階等差數列，其前7項分別為3，4，6，9，13，18，24，則該數列的第19項為______．34．（2021·上海·華師大二附中高三階段練習）設數列滿足，，，數列前n項和為，且（且），若表示不超過x的最大整數，數列的前n項和為，則_____________．35．（2021·寧夏·銀川三沙源上游學校高二階段練習（理））設正整數，其中，記.則下列說法正確的有_______.（1）（2）（3）36．（2021·江蘇·高二單元測試）意大利數學家斐波那契年年）以兔子繁殖數量為例，引入數列：1，1，2，3，5，8，，該數列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即，故此數列稱為斐波那契數列，又稱“兔子數列”，其通項公式為．設是不等式的正整數解，則的最小值為______．37．（2021·全國·模擬預測（文））定義向量列從第二項開始，每一項與它的前一項的差都等于同一個常向量(即坐標都是常數的向量)即，且，其中為常向量，則稱這個向量列為等差向量列．這個常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列的前項和．已知等差向量列滿足，，則向量列的前項和__________．38．（2021·全國·高三專題練習（文））對于正整數，設，如，對于正整數和，當，時，設，，則___________.39．（2021·廣東·模擬預測）設，記最接近的整數為，則__________；__________．(用表示)40．（2021·廣東華僑中學高三階段練習）已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是，接下來的兩項是，，再接下來的三項是，，，依此類推，若該數列的前n項和為2的整數冪，如，，，則稱，，中的為“一對佳數”，當時，首次出現的“一對佳數”是________.41．（2021·全