《組合數(shù)》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)北師大】

《組合數(shù)》教案（一）教學(xué)內(nèi)容組合數(shù)的定義和表示，組合數(shù)公式；組合數(shù)的兩個性質(zhì).（二）教學(xué)目標(biāo)1，理解組合數(shù)的概念，能利用計數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式；能運用組合數(shù)公式進(jìn)行簡單計算.2，通過對實際問題的分析，掌握組合數(shù)的兩個性質(zhì)，體會其中蘊含的數(shù)學(xué)思想.（三）教學(xué)重點與難點重點：掌握組合數(shù)的概念和兩個性質(zhì).難點：對組合數(shù)性質(zhì)的推導(dǎo).（四）教學(xué)過程設(shè)計1引入新課問題1：什么叫組合？組合與排列有哪些異同點？答：一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合（combination）排列與組合都是從不同元素中??；排列與元素有順序有關(guān)，元素相同且順序也相同的兩個排列才是相同的，組合與元素順序無關(guān)，兩個組合只要元素相同不論元素的順序如何都是相同的.設(shè)計意圖：回憶組合的概念和前面借助排列出所有組合及計算組合數(shù)的方法.2課堂探究問題2：對于一般的組合問題，如何計算所有組合的個數(shù)呢？追問1：你能類比排列數(shù)的概念給出組合數(shù)的概念嗎？組合數(shù)：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Cn追問2：從4個不同元素中取出3個元素的組合數(shù)如何表示？答：可以表示為C4追問3：前面我們是如何求一個組合問題的所有組合個數(shù)的？答：元素個數(shù)較少時，可以使用枚舉的方法求出所有組合的個數(shù)，但這種方法會隨著元素個數(shù)的增加，越來越繁瑣；另外，也可以用分步乘法計數(shù)原理借助排列數(shù)進(jìn)行計算.追問4：能否用分布計數(shù)法的角度來分解排列數(shù)A43的計算步驟來得到組合數(shù)答：第1步，從4個元素中取出3個元素作為一組，共有C4第2步，將取出的3個元素作全排列，共有A3根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有A43追問5：依據(jù)求組合數(shù)C43的方法，如何求組合數(shù)答：可以看做由以下兩個步驟得到：第1步，從n個不同元素中取出m個元素作為一組，共有Cn第2步，將取出的m個元素作全排列，共有Am根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有An即組合數(shù)公式：Cnm追問5：結(jié)合排列數(shù)公式An答：將Anm=C規(guī)定：C設(shè)計意圖：結(jié)合已解決的具體問題，類比排列數(shù)給出組合數(shù)的定義和表示，并與相似的組合概念作對比，引入組合數(shù)公式.利用排列數(shù)從具體到一般，用同樣的方法得組合數(shù)公式.3知識應(yīng)用問題3：例1計算：（1）；（2）；（3）；（4）．解：根據(jù)組合數(shù)公式，可得（1）；（2）；（3）；（4）．設(shè)計意圖：通過利用公式求組合數(shù)，以把握公式的結(jié)構(gòu)，加深對公式的理解.同時為性質(zhì)1做準(zhǔn)備.追問1：觀察例1的（1）與（2），（3）與（4）的結(jié)果，你有什么樣的發(fā)現(xiàn)？你能聯(lián)想到組合數(shù)有怎樣的性質(zhì)嗎？答：C103=猜想C追問2：你能證明這個性質(zhì)嗎？答：Cn性質(zhì)1：C追問3：根據(jù)這個性質(zhì)，在計算組合數(shù)時你對公式的選擇有什么想法？答：在計算Cnm的過程中，當(dāng)m大于n例2分別計算“從10人中選出6人參加比賽”與“從10人中選出4人不參加比賽”的方法數(shù)？解：“從10人中選出6人參加比賽”相當(dāng)于“從10人中選出4人不參加比賽"，因此，從10人中選出6人參加比賽的方法數(shù)和從10人中選出4人不參加比賽的方法數(shù)是相同的，即C追問4：結(jié)例2你能給出這個性質(zhì)所包含的意義嗎？答:：“從n個元素中選出m個元素”相當(dāng)于“從n個元素中不選剩余的n-設(shè)計意圖：通過兩個例子從具體到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律并總結(jié)證明，結(jié)合實例賦予公式具體含義.問題4：例3從高二（4）班第一數(shù)學(xué)小組6人中選出3人去參加愛心義賣活動.（1）共有多少種選擇方案？（2）組長李麗被選中的選擇方案有幾種？（3）組長李麗沒被選中的選擇方案有幾種？解：（1）選擇的方案共有C6（2）組長李麗被選中的選擇方案有C5（3）組長李麗沒被選中的選擇方案有C5追問1：在整個選派過程中，組長李麗要么被選中，要么不被選中，對比問題3，你發(fā)現(xiàn)了什么？答：C追問2：把上述問題改為n人中選出m人，你能根據(jù)例3結(jié)論猜想得出一般性的結(jié)論嗎？答:猜想

追問3：你能根據(jù)情景“從n個紅球和1個黑球這（n+1）個不同的小球中取出m個小球.”來解釋上述猜想嗎？答：所有取法下2類第1類，不取黑球，從n個紅球中，取出m個球，方法數(shù)為C第2類，取出1個黑球和（m-1）個紅球，因此，取出的方法數(shù)相當(dāng)于從n個紅球中，出（m-因此，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有（Cn由此，我們得到：性質(zhì)2：C設(shè)計意圖：通過例子從具體到一般發(fā)現(xiàn)性質(zhì)2，并結(jié)合實例賦予公式具體含義.問題5：例4在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品．從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件．（1）有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？追問1：問題（1）是一個排列問題還是組合問題？答：從100件產(chǎn)品中任意抽出3件，不需考慮順序，因此這是一個組合問題；解：（1）所有的不同抽法種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中抽出3件的組合數(shù)，所以抽法種數(shù)為追問2：如何理解問題（2）中的“恰好”？答：，按照抽出產(chǎn)品次品數(shù)量可能是恰有0件、1件、2件次品，恰好即有且僅有1件是次品可以先從2件次品中抽出1件，再從98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一個分步完成的組合問題；解：（2）從2件次品中抽出1件的抽法有種，從98件合格品中抽出2件的抽法有種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法種數(shù)為追問3：如何理解問題（3）中的“至少”？答：從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情況，因此可以看作是一個分類完成的組合問題．解：（3）方法1從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種情況，因此根據(jù)分類加法計數(shù)原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數(shù)為＝9506＋98＝9604．追問4：在使用分類計數(shù)原理時，如果正面所分種類較多時，可以從反面進(jìn)行考慮，使用間接計算法，問題（3）可以這樣解決嗎？解：方法2抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件都是合格品的抽法種數(shù)，即設(shè)計意圖：通過應(yīng)用公式解決問題，及時鞏固組合數(shù)公式，形成解決組合問題的一般方法.4歸納總結(jié)1.本節(jié)課我們都學(xué)到了哪些知識？答：組合數(shù)公式：Cnm及其性質(zhì)1：Cnm=C2.本節(jié)課我們都學(xué)到了哪些