《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》示范公開(kāi)課教案【高中數(shù)學(xué)北師大】

《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1．通過(guò)觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，抽象、概括動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件，理解雙曲線的概念，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．能夠類(lèi)比橢圓的研究方法推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的定義及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、新課導(dǎo)入回顧初中時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)的反比例函數(shù)的圖象，觀察電廠的冷卻塔圖片，它的軸截面的外輪廓就是雙曲線的一部分．雙曲線也是具有廣泛應(yīng)用的一種圓錐曲線，本節(jié)我們將類(lèi)比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關(guān)問(wèn)題．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)橢圓．橢圓是平面上到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡．當(dāng)然這個(gè)定長(zhǎng)要大于這兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離．那么平面上到兩個(gè)定點(diǎn)距離的差等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是什么呢?設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生熟悉的知識(shí)以及生活中的實(shí)例讓學(xué)生感知雙曲線的形狀，這樣的兩個(gè)例子簡(jiǎn)單、生動(dòng)，學(xué)生易于接受．二、新知探究如圖，取一條拉鏈，在拉開(kāi)的兩邊上各選擇一點(diǎn)，分別固定在點(diǎn)F1，F(xiàn)2上，當(dāng)拉鏈閉攏時(shí)F1與F重合問(wèn)題1：在以上拉鏈小實(shí)驗(yàn)中，曲線上的點(diǎn)應(yīng)滿足怎樣的幾何條件？答案：如圖，曲線上的點(diǎn)滿足條件：|MF1|－|MF追問(wèn)1：在剛剛的實(shí)驗(yàn)中，有哪些點(diǎn)是定點(diǎn)，哪些點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，還有哪些定長(zhǎng)？答案：F1和F2是定點(diǎn)，M為動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1F2和F2F是定長(zhǎng)．追問(wèn)2：當(dāng)點(diǎn)M滿足|MF1|>|MF2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)答案：MF追問(wèn)3：那么當(dāng)點(diǎn)M滿足|MF1|<|MF2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)答案：MF問(wèn)題２：現(xiàn)在試著類(lèi)比橢圓的定義看能不能給雙曲線下一個(gè)定義？答案：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的集合．追問(wèn)：和橢圓一樣，我們把這個(gè)常數(shù)r用2a來(lái)表示，仍然稱(chēng)F1、F2為焦點(diǎn)，F(xiàn)1F2為焦距，一般也用2c來(lái)表示．我們知道在橢圓中2a答案：教師引導(dǎo)，學(xué)生合作，得到結(jié)論：①若2a=0時(shí)，軌跡為F1F2的中垂線；②若2a=2c時(shí)，軌跡為兩條射線；③若2a>2c時(shí)，無(wú)軌跡；④若0<2a<2c時(shí)，軌跡為雙曲線；給出雙曲線完整定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于|F1F2|）的點(diǎn)的集合．引導(dǎo)學(xué)生找出定義中的關(guān)鍵詞，強(qiáng)調(diào)沒(méi)有絕對(duì)值的時(shí)候表示的是雙曲線的某一支．設(shè)計(jì)意圖：充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，突出學(xué)生的主體地位，并且通過(guò)總結(jié)特征提高學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力，對(duì)圖形的認(rèn)知能力．學(xué)生概述定義時(shí)往往會(huì)漏掉常數(shù)的范圍，保留常數(shù)的范圍這一問(wèn)題，由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)，方能印象更加深刻．問(wèn)題３：類(lèi)比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過(guò)程，請(qǐng)同學(xué)們思考如何建立雙曲線的方程？答案：學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)過(guò)橢圓，對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程印象比較深刻，用同樣的步驟推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：①建系：以直線F1F2為x軸，線段F1②設(shè)點(diǎn)：設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)M坐標(biāo)為(x，y)，焦距為2c，則F1(-c，0)，F(xiàn)③寫(xiě)出限制條件：|④列出等式：(x+a)⑤化簡(jiǎn)：這一步由學(xué)生自己動(dòng)手完成，并且找一個(gè)學(xué)生板演，最終化簡(jiǎn)為x追問(wèn)1：類(lèi)比橢圓，怎樣使雙曲線方程的形式更加簡(jiǎn)潔？答案：像橢圓一樣，為了使雙曲線方程的形式更加簡(jiǎn)潔，結(jié)合c>a>0，可設(shè)c2-a2=b2，其中b>0雙曲線與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系不同，要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)，這也是今后在做題過(guò)程中學(xué)生易混淆的地方．追問(wèn)2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是不是也有兩種？答案：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種，雙曲線的方程在推導(dǎo)時(shí)也可以換一種建系方式，得到另一種形式的方程：y2a2設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力．通過(guò)雙曲線與橢圓的對(duì)比，學(xué)生可以加深對(duì)兩種曲線的理解．【概念辨析】思考辨析，判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．(×)解析：必須是距離的差的絕對(duì)值才表示雙曲線．(2)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．(×)解析：平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支．(3)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．(×)解析：因?yàn)閨|PF1|－|PF2||＝8＝|F1F2|，故對(duì)應(yīng)的軌跡為兩條射線．(4)若焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，則a2＞b2．(×)解析：焦點(diǎn)位置取決于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程左邊項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)．三、應(yīng)用舉例例1已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(－5，0)和F2(5，0)，該雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值是6，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)x軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y又c=5，a=3，故b因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2例2求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點(diǎn)在x軸上，a=25，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-5，2);(2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(-7，-62)，B(27，3)．解:(1)設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2則由已知a=25，25a2-4則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x220-(2)設(shè)雙曲線方程為mx2+ny2=1，（mn<0）則有49m-則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x225-方法總結(jié)：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法相似，可以先根據(jù)其焦點(diǎn)位置設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后用待定系數(shù)法求出a，b的值．若焦點(diǎn)位置不確定，可按焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況討論求解，此方法思路清晰，但過(guò)程復(fù)雜．若雙曲線過(guò)兩定點(diǎn)，可設(shè)其方程為mx2+ny2=1（mn<0），通過(guò)解方程組即可確定m，n，避免了討論，從而簡(jiǎn)化求解過(guò)程．例3相距2km的兩個(gè)哨所A，B聽(tīng)到遠(yuǎn)處傳來(lái)的炮彈爆炸聲，在A哨所聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間比在B哨所遲4s，已知當(dāng)時(shí)的聲速為340m/s，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程．解：建立平面直角坐標(biāo)系，使A，B兩點(diǎn)在x上，并且原點(diǎn)與線段AB的中點(diǎn)重合．設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則|PA|-|PB|=340×4=1360，即2a=1360，a=680又|AB|=2000，所以2c=2000，c=1000，所以b2因?yàn)閨PA|-|PB|=1360＞0所以點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支，所以，炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為x2462400-y2方法總結(jié)：雙曲線在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，解答該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中挖掘出所有相關(guān)條件，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題．設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)典型例題，進(jìn)一步熟練掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解及其定義，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．四、課堂練習(xí)1．已知F1(3，3)，F(xiàn)2(－3，3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝4，則P點(diǎn)的軌跡是()A．雙曲線 B．雙曲線的一支C．不存在 D．一條射線答案B解析因?yàn)閨PF1|－|PF2|＝4，且4<|F1F2|，由雙曲線定義知，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．2．若橢圓eq\f(x2,34)＋eq\f(y2,n2)＝1和雙曲線eq\f(x2,n2)－eq\f(y2,16)＝1有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)n的值是()A．±5 B．±3C．5 D．9答案B解析由題意知，34－n2＝n2＋16，∴2n2＝18，n2＝9．∴n＝±3．3．已知雙曲線中a＝5，c＝7，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____________________．答案eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1解析b2＝c2－a2＝24．當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程為eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程為eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1．4．若k>1，則關(guān)于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲線是()A．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線D．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線答案C解析將已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)項(xiàng)的系數(shù)符號(hào)進(jìn)行判斷．原方程可化為eq\f(y2,k2－1)－eq\f(x2,1＋k)＝1．∵k>1，∴k2－1>0，1＋k>0，∴已知方程表示的曲線為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．5．P是雙曲線x2－y2＝16的左支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是左、右焦點(diǎn)，則|PF1|－|PF2|＝________．答案－8