數(shù)學(xué)相關(guān)線性代數(shù)第三章la3-1245i

第三章線性空間與線性變換線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．線性空間是為了解決實際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個抽象，即把實際問題看作線性空間，進(jìn)而通過研究線性空間來解決實際問題．§3.4線性空間、基、維數(shù)和坐標(biāo)

一數(shù)域

定義3.1.1

設(shè)F

是數(shù)的集合，若其滿足（1）（2）對中任意兩個a,b，總有a＋b,a-b,a×b,a÷b(b0)則稱F是一個數(shù)域。

條件（2）稱為F對數(shù)的加、減、乘、除四種運(yùn)算封閉。易證：（1）自然數(shù)集N與整數(shù)集Z不是數(shù)域。

（2）有理數(shù)集Q，實數(shù)集R，復(fù)數(shù)集C是數(shù)域，分別稱為有理數(shù)域，實數(shù)域，復(fù)數(shù)域。（3）Q是最小的數(shù)域，任意數(shù)域包含Q。(4)除Q、R、C以外，還有許多其它的數(shù)域。

設(shè)F是數(shù)域，分量取自F的向量稱為F上的向量，F(xiàn)上全部n元向量的集合記為.同理，元素取自F的矩陣稱為F上的矩陣，F(xiàn)上全部F

[x]FFmnF

nF

[x]nC[a,b]F[x]

在數(shù)學(xué)研究的對象中,有很多類型的集合,可以在其中定義加法運(yùn)算和由給定數(shù)域中的數(shù)與集合的元素之間定義數(shù)乘運(yùn)算,使集合對兩種運(yùn)算封閉并且滿足與向量的線性運(yùn)算性質(zhì)2.1.1相同的八條規(guī)則.

不關(guān)心具體的對象和兩種運(yùn)算的具體含義,將集合對兩種運(yùn)算的封閉性及運(yùn)算滿足的規(guī)則抽象出來,就形成了抽象的線性空間的概念.

另一種運(yùn)算稱為數(shù)量乘法：若對于任一數(shù)k∈F與任一元素∈V，總有唯一的一個元素∈V與之對應(yīng)，稱為k與的數(shù)量積，記作

定義3.4.1

設(shè)V是一個非空集合，F(xiàn)為數(shù)域．在V中定義了兩種運(yùn)算，一種運(yùn)算稱為加法：如果對于任意兩個元素,∈V，總有唯一的一個元素∈V與之對應(yīng)，稱為元素與的和，記作二線性空間的定義

如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律，那么就稱為數(shù)域F上的線性空間：對F，總有零元素負(fù)元素

3．線性空間中的向量不一定是有序數(shù)組．4．判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者運(yùn)算不滿足八條規(guī)則的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間．說明

1．凡滿足以上八條規(guī)律的加法及數(shù)乘運(yùn)算，稱為線性運(yùn)算．2.線性空間中的元素也稱為向量.

（１）一個集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是通常的實數(shù)間的加、乘運(yùn)算，則只需檢驗對運(yùn)算的封閉性．線性空間的判定方法例3.4.1

Fn對向量的加法及數(shù)與向量的數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域F上的線性空間，稱為向量空間。例如實向量空間

Rn，復(fù)向量空間Cn，零空間{}。

平面空間就是R2，立體空間就是R3。

例3.1.2

設(shè)A∈Fm×n,則齊次線性方程組AX=0的全部解向量的集合構(gòu)成F上的向量空間，稱之為齊次線性方程組

AX=0的解空間，也可稱之為矩陣

A的零空間，記為N(A).顯然N(A)Fn

.例3.4.2

Fm×n對矩陣的加法及數(shù)與矩陣的數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域F上的線性空間,稱為矩陣空間。例如實矩陣空間Rm×n。

例3.4.3

F[x]對多項式的加法及數(shù)與多項式的乘法，構(gòu)成數(shù)域F上的線性空間，稱為多項式空間。特別地，F(xiàn)[x]n對多項式的加法及數(shù)與多項式的乘法，也構(gòu)成數(shù)域F上的線性空間，也稱為多項式空間。

通常的多項式加法、數(shù)與多項式的乘法兩種運(yùn)算滿足線性運(yùn)算規(guī)律．例3.4.4

C[a,b]對函數(shù)的加法及實數(shù)與函數(shù)的乘法，構(gòu)成實數(shù)域R上的線性空間,稱為函數(shù)空間。例令

則V不構(gòu)成向量空間。

(2)一個集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通常的實數(shù)間的加、乘運(yùn)算，則必需檢驗是否滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律．例3.4.5

正實數(shù)的全體，記作，在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為驗證對上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間．證明所以對定義的加法與乘數(shù)運(yùn)算封閉．下面一一驗證八條線性運(yùn)算規(guī)律：所以對所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間．1．零元素是唯一的．線性空間的性質(zhì)2．負(fù)元素是唯一的．4．如果，則或

.

假設(shè)是線性空間V中的兩個零元素，1．零元素是唯一的證明由于所以則對任何，有2．負(fù)元素是唯一的證明假設(shè)有兩個負(fù)元素與，那么則有元素的負(fù)元素記為。證明3．（零元素的唯一性）（負(fù)元素的唯一性）4．如果，則或

證明若那么。又，故。若,則有。三線性子空間

定義3.5.1設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，W是V的一個非空子集。若W對V的兩種線性運(yùn)算也構(gòu)成F上的線性空間，則稱W是V的線性子空間，簡稱子空間。

定理3.5.1設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，W是V的一個非空子集。若W滿足如何證明W是V的子空間：(1)W是V的非空子集;(2)W對加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉.

(1)對任意,

∈W,均有+∈W；則W是V的子空間。

(2)對任意

∈W以及任意k∈F，均有k

∈W，

例3.1.3

設(shè)V是線性空間，則V一定包含零向量。同時,V本身及{}都是V的子空間,稱它們?yōu)閂的平凡子空間。V的其它子空間，如果還有的話，均稱為非平凡子空間。解(1)構(gòu)成子空間.（2）不構(gòu)成子空間。

例3.1.4

R3的下列子集是否構(gòu)成R3的子空間？為什么？構(gòu)成V的子空間，稱為由1,2,…,m

生成的子空間，記為L(1,2,…,m)。

定理3.1.1設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間,

1,2,…,m是V中m個向量，則V的子集合證顯然

V是非空的。

任取數(shù)c∈F以及

L(1,2,…,m)中的兩個向量

=k11+k22+…+kmm,=l11+l22+…+lmm,有

例3.1.5

設(shè)

是齊次線性方程組AX=0的一個基礎(chǔ)解系，則

故由定理3.5.1,

L(1,2,…,m)構(gòu)成線性空間，亦即為V的子空間。例3.1.6

設(shè)，把A按列分塊則是的子空間，稱之為矩陣A的列空間，記為。

結(jié)論：線性方程組有解。

此外，

是由A的行向量組生成的子空間，也稱為矩陣A

的行空間。

例3.5.2

設(shè)與是線性空間V的兩組向量，則的充分必要性是

證

充分性設(shè)任取,則可由線性表出。又可由線性表出，故可由線性表出。所以由此得

同理可證.

必要性設(shè)因故可由線性表出。同理也可由線性表出。所以于是

定理3.5.2

設(shè)是線性空間V的兩個子空間，則也是V的子空間。稱之為與的交空間。

證明

因是

V子空間，故V的零向量同時屬于，即。所以是V的非空子集。

任取，則。因是子空間，故。同理，故。

任取則由可得同理可證。所以。

根據(jù)子空間的判別定理，可知是子空間。

定理3.5.3

設(shè)是線性空間V的兩個子空間，則下列集合

也是V的子空間,稱之為與

的和空間,記為

證

因，故說明

是V的非空子集。

任取,則,這里,

。因

,故

任取,則于是是子空間。注一般不再是子空間。其中。又故

已知在

Rn中，線性無關(guān)的向量組最多由

n個向量組成，而任意

n+1個向量都是線性相關(guān)的。并且

Rn

中任一個向量均可由（線性無關(guān)的）基本向量組{1,2,…,n}線性表出,而表出的系數(shù)就是該向量的分量。

為了便于利用第二章關(guān)于向量組線性相關(guān)性的概念與結(jié)論，以后把線性空間的元素也稱為向量。四線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)3.

向量由基表示的系數(shù)注意第二章第1,2節(jié)的概念與結(jié)論均可推廣到線性空間中。問題1.在線性空間V中，最多能有多少線性無關(guān)的向量？2.線性空間的向量可否由其中的一組線性無關(guān)的向量線性表示?---維數(shù)---基----坐標(biāo)

例3.4.6

向量空間，矩陣空間，多項式空間

都是有限維的,而與函數(shù)空間都是無限維的。

定義3.4.2

如果能從線性空間V中找到有限個向量，使V中任一向量均可由線性表出，則稱V是有限維線性空間。否則，就稱V是無限維線性空間。

結(jié)論線性空間V是有限維的充要條件是V中線性無關(guān)向量的最大個數(shù)是有限的。1.基、維數(shù)證明

令則。對任意有所以是有限維的。

令I(lǐng)ij

(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)表示(i,j)-元為1、其余元素均為零的m×n矩陣，則這些矩陣均在Fm×n

中。對任意A=[aij]m×n有，故Fm×n是有限維的。

令所以是有限維的。則對任意均有

對任一正整數(shù)N，考慮中的N個多項式，顯然對于任意N個不全為零的數(shù)，多項式不是零多項式，即，所以線性無關(guān)。于是是無限維的。同理可證，也是無限維的。

定義3.4.3

設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，如果V中存在

m

個向量滿足：則稱是線性空間V的一個基。

結(jié)論

有限維線性空間一定存在基，并且每個基包含的向量個數(shù)相同。(2)V中任一向量均可由線性表出，即存在m

個數(shù)，使(1)

線性無關(guān)；

定義3.4.4

有限維線性空間V的任一個基所包含的向量個數(shù)稱為V的維數(shù)，記為維(V)或dim(V)。

例3.2.1

設(shè)F是數(shù)域，在向量空間中考慮n元基本向量組因為對任意，均有且線性無關(guān)，故是向量空間的一組基（稱之為的自然基），同時維(

)=

n。

例

所有二階實矩陣組成的集合，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實數(shù)域上的一個線性空間。對于中的矩陣的維數(shù)是n,的維數(shù)是n.有基的維數(shù)是有基有基例3.4.7自然基

例3.2.2

（齊次線性方程組解空間的基和維數(shù)）設(shè)，秩，則是的子空間。任取齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，容易看出它們就是的一個基，因此

維[

]=。例求齊次線性方程組

的解空間的一個基和維數(shù)。解已知該方程組有基礎(chǔ)解系

因此，其解空間的一個基為，且其維數(shù)是2。例3.2.3

（向量組生成的向量空間的基和維數(shù)）

（1）向量組的極大無關(guān)組都是生成子空間的基；（2）維[]=秩{}

定理3.2.1

設(shè)，則維()+

維()=

n

注

自由未知數(shù)的個數(shù)＋秩(A)＝未知數(shù)的個數(shù)

定理3.4.1

n維線性空間

V中任意

n個線性無關(guān)的向量均構(gòu)成

V的基。

例3.2.6

已知R4中的三個向量

求的一個基及維數(shù)，并將這個基擴(kuò)充為R4

的一個基。解令

由此得向量組的秩為2，且是一個極大無關(guān)組。于是，生成子空間的維數(shù)是2，且是它的一個基。構(gòu)造向量，由于

線性無關(guān)，即可作為R4的一個基。因此，只需取，則2.

向量關(guān)于給定基的坐標(biāo)

定義3.2.2(3.4.5)

設(shè)

1,2,…,

n

是n維線性空間V的一個基，則對于任一向量∈V，總有且僅有一組有序數(shù)組x1,x2,…,xn，使稱有序數(shù)組x1,x2,…,xn為向量

關(guān)于基

1,2,…,n

的坐標(biāo)，記為例3.2.7

已知R3

中的三個向量（1）證明：是

R3

的一個基；（2）求向量