高中數(shù)學(xué)高考50第九章 平面解析幾何 9 2 兩條直線的位置關(guān)系

§9.2兩條直線的位置關(guān)系第九章

平面解析幾何NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)題型分類深度剖析課時作業(yè)1基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)PARTONE1.兩條直線的位置關(guān)系(1)兩條直線平行與垂直①兩條直線平行：(ⅰ)對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?________.(ⅱ)當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.②兩條直線垂直：(ⅰ)如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?_____________.(ⅱ)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時，l1⊥l2.知識梳理ZHISHISHULIk1＝k2k1·k2＝－1(2)兩條直線的交點直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點坐標就是方程組__________________的解.2.幾種距離(1)兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝__________________.1.若兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率有什么關(guān)系？【概念方法微思考】提示當(dāng)兩條直線l1與l2的斜率都存在時，

·

＝－1；當(dāng)兩條直線中一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時，l1與l2也垂直.2.應(yīng)用點到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式時應(yīng)注意什么？提示(1)將方程化為最簡的一般形式.(2)利用兩平行線之間的距離公式時，應(yīng)使兩平行線方程中x，y的系數(shù)分別對應(yīng)相等.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(

)(2)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.(

)(3)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為

.(

)√××基礎(chǔ)自測JICHUZICE1234567(4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.(

)(5)若點A，B關(guān)于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對稱，則直線AB的斜率等于

，且線段AB的中點在直線l上.(

)√√1234567題組二教材改編2.[P110B組T2]已知點(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于√12345673.[P101A組T10]已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直線PQ垂直于直線x＋y＋1＝0，則m＝___.所以m＝1.112345674.[P110B組T1]若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點，則m的值為____.所以點(1,2)滿足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.－91234567題組三易錯自糾5.直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m等于A.2 B.－3C.2或－3 D.－2或－3√1234567解析直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，6.直線2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之間的距離是______.12345677.若直線(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0與(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，則a＝______.解析由兩直線垂直的充要條件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，0或11234567解得a＝0或a＝1.2題型分類深度剖析PARTTWO題型一兩條直線的平行與垂直例1

已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；師生共研解方法一

當(dāng)a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；當(dāng)a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；綜上可知，當(dāng)a＝－1時，l1∥l2，a≠－1時，l1與l2不平行.方法二

由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，故當(dāng)a＝－1時，l1∥l2.當(dāng)a≠－1時，l1與l2不平行.(2)當(dāng)l1⊥l2時，求a的值.解方法一當(dāng)a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不垂直，故a＝1不成立；當(dāng)a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；當(dāng)a≠1且a≠0時，(1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況.同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.(2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知直線l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實數(shù)a的值為√若a＝0，l1∥l2，故選C.(2)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0垂直，則m的值為

解析由l1⊥l2得2×m＋(m＋1)×3＝0，√題型二兩直線的交點與距離問題1.(2018·西寧調(diào)研)若直線l與兩直線y＝1，x－y－7＝0分別交于M，N兩點，且MN的中點是P(1，－1)，則直線l的斜率是自主演練√2.若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為√3.已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－

x＋2的交點位于第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是________.方法二如圖，已知直線而直線方程y＝kx＋2k＋1可變形為y－1＝k(x＋2)，表示這是一條過定點P(－2,1)，斜率為k的動直線.∵兩直線的交點在第一象限，∴兩直線的交點必在線段AB上(不包括端點)，∴動直線的斜率k需滿足kPA<k<kPB.4.已知A(4，－3)，B(2，－1)和直線l：4x＋3y－2＝0，若在坐標平面內(nèi)存在一點P，使|PA|＝|PB|，且點P到直線l的距離為2，則P點坐標為___________________.解析設(shè)點P的坐標為(a，b).∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴線段AB的中點M的坐標為(3，－2).∴線段AB的垂直平分線方程為y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.∵點P(a，b)在直線x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0.

①又點P(a，b)到直線l：4x＋3y－2＝0的距離為2，(1)求過兩直線交點的直線方程的方法先求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.(2)利用距離公式應(yīng)注意：①點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等.思維升華題型三對稱問題命題點1點關(guān)于點中心對稱例2

過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為____________.多維探究x＋4y－4＝0解析設(shè)l1與l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.命題點2點關(guān)于直線對稱例3

如圖，已知A(4,0)，B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是√命題點3直線關(guān)于直線的對稱問題例4

直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱的直線方程是_____________.x－2y＋3＝0解析設(shè)所求直線上任意一點P(x，y)，則P關(guān)于x－y＋2＝0的對稱點為P′(x0，y0)，由點P′(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.解決對稱問題的方法(1)中心對稱①點P(x，y)關(guān)于Q(a，b)的對稱點P′(x′，y′)滿足②直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決.思維升華(2)軸對稱①點A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點A′(m，n)，則有②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決.跟蹤訓(xùn)練2

已知直線l：3x－y＋3＝0，求：(1)點P(4,5)關(guān)于l的對稱點；又PP′的中點在直線3x－y＋3＝0上，③④把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴點P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點P′的坐標為(－2,7).(2)直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對稱的直線方程；解用③④分別代換x－y－2＝0中的x，y，得關(guān)于l對稱的直線方程為化簡得7x＋y＋22＝0.(3)直線l關(guān)于(1,2)的對稱直線.解在直線l：3x－y＋3＝0上取點M(0,3)，關(guān)于(1,2)的對稱點M′(x′，y′)，l關(guān)于(1,2)的對稱直線平行于l，∴k＝3，∴對稱直線方程為y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.在求解直線方程的題目中，可采用設(shè)直線系方程的方式簡化運算，常見的直線系有平行直線系，垂直直線系和過直線交點的直線系.思想方法SIXIANGFANGFA妙用直線系求直線方程

一、平行直線系例1

求與直線3x＋4y＋1＝0平行且過點(1,2)的直線l的方程.解由題意，設(shè)所求直線方程為3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因為直線過點(1,2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直線方程為3x＋4y－11＝0.二、垂直直線系例2

求經(jīng)過A(2,1)，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程.解因為所求直線與直線2x＋y－10＝0垂直，所以設(shè)該直線方程為x－2y＋C＝0，又直線過點A(2,1)，所以有2－2×1＋C＝0，解得C＝0，即所求直線方程為x－2y＝0.三、過直線交點的直線系例3

求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程.即4x＋3y－6＝0.方法二設(shè)直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直線l的方程為4x＋3y－6＝0.3課時作業(yè)PARTTHREE1.直線2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置關(guān)系是A.平行

B.垂直

C.相交但不垂直

D.不能確定12345678910111213141516故選C.√基礎(chǔ)保分練2.已知直線l1：x＋my＋7＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0互相平行，則實數(shù)m等于

A.－1或3 B.－1C.－3 D.1或－312345678910111213141516解析當(dāng)m＝0時，顯然不符合題意；解得m＝－1或m＝3，故選A.√3.已知過點A(－2，m)和B(m,4)的直線為l1，直線2x＋y－1＝0為l2，直線x＋ny＋1＝0為l3.若l1∥l2，l2⊥l3，則實數(shù)m＋n的值為A.－10B.－2C.0D.8√12345678910111213141516解析因為l1∥l2，解得n＝－2，所以m＋n＝－10.4.過點M(－3,2)，且與直線x＋2y－9＝0平行的直線方程是A.2x－y＋8＝0 B.x－2y＋7＝0C.x＋2y＋4＝0 D.x＋2y－1＝012345678910111213141516√又所求直線過M(－3,2)，12345678910111213141516化為一般式得x＋2y－1＝0.故選D.方法二

由題意，設(shè)所求直線方程為x＋2y＋c＝0，將M(－3，2)代入，解得c＝－1，所以所求直線為x＋2y－1＝0.故選D.5.若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2之間的距離為12345678910111213141516解析∵l1∥l2，∴a≠2且a≠0，√6.已知直線l1：y＝2x＋3，直線l2與l1關(guān)于直線y＝－x對稱，則直線l2的斜率為

12345678910111213141516解析直線y＝2x＋3與y＝－x的交點為A(－1,1)，而直線y＝2x＋3上的點(0,3)關(guān)于y＝－x的對稱點為B(－3，0)，√7.已知直線l1：ax＋y－1＝0，直線l2：x－y－3＝0，若直線l1的傾斜角為

，則a＝______；若l1⊥l2，則a＝___；若l1∥l2，則兩平行直線間的距離為______.12345678910111213141516－1

1若l1⊥l2，則a×1＋1×(－1)＝0，故a＝1；若l1∥l2，則a＝－1，8.將一張坐標紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則m＋n＝____.解析由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(7,3)與點(m，n)連線的中垂線，123456789101112131415169.直線l1：y＝2x＋3關(guān)于直線l：y＝x＋1對稱的直線l2的方程為_________.12345678910111213141516x－2y＝0所以可設(shè)直線l2的方程為y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.所以直線l2的方程為x－2y＝0.10.已知入射光線經(jīng)過點M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為_____________.解析設(shè)點M(－3,4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點M′，123456789101112131415166x－y－6＝0解得a＝1，b＝0.又反射光線經(jīng)過點N(2,6)，11.已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0與點P(－2,2).(1)證明：對任意的實數(shù)λ，該方程都表示直線，且這些直線都經(jīng)過同一定點，并求出這一定點的坐標；12345678910111213141516解顯然2＋λ與－(1＋λ)不可能同時為零，故對任意的實數(shù)λ，該方程都表示直線.∵方程可變形為2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，故直線經(jīng)過的定點為M(2，－2).12345678910111213141516證明過P作直線的垂線段PQ，由垂線段小于斜線段知|PQ|≤|PM|，當(dāng)且僅當(dāng)Q與M重合時，|PQ|＝|PM|，此時對應(yīng)的直線方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直線系方程唯獨不能表示直線x－y－4＝0，12.已知三條直線：l1：2x－y＋a＝0(a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1與l2間的距離是

.(1)求a的值；12345678910111213141516又a>0，解得a＝3.(2)能否找到一點P，使P同時滿足下列三個條件：①點P在第一象限；②點P到l1的距離是點P到l2的距離的

；③點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是

.若能，求點P的坐標；若不能，說明理由.12345678910111213141516解假設(shè)存在點P，設(shè)點P(x0，y0).若P點滿足條件②，則P點在與l1，l2平行的直線l′：2x－y＋c＝0上，12345678910111213141516若P點滿足條件③，由點到直線的距離公式，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；由于點P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能.1234567891011121314151613.已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點A，B的坐標分別是(－4，2)，(3,1)，則點C的坐標為A.(－2,4) B.(－2，－4)C.(2,4) D.(2，－4)12345678910111213141516技能提升練√12345678910111213141516即3x＋y－10＝0.同理可得點B(3,1)關(guān)于直線y＝2x的對稱點為(－1,3)，即x－3y＋10＝0.12345678910111213141516則C(2,4).故選C.1234567891011121314151614.若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一點，則