2010A題講評(píng)數(shù)學(xué)建模解析

題目題目的背景與分析問題（1）的通常做法問題（2）的通常做法一種建立儲(chǔ)油量模型的新方法對(duì)學(xué)生論文的評(píng)述題目的啟示第一頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分?！狙芯勘尘啊客ǔ＜佑驼径加腥舾蓚€(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。圖1是一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體

2010A題：儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定第二頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。油油浮子出油管油位探測(cè)裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3m油位高度圖1儲(chǔ)油罐正面示意圖油位探針第三頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。第四頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。油位探針α地平線圖2儲(chǔ)油罐縱向傾斜變位后示意圖油油浮子出油管油位探測(cè)裝置注油口檢查口水平線第五頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。圖3儲(chǔ)油罐截面示意圖（b）橫向偏轉(zhuǎn)傾斜后正截面圖β地平線垂直線油位探針（a）無偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖油位探針油位探測(cè)裝置3m第六頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。(b)小橢圓油罐截面示意圖α油油浮子出油管油位探針注油口水平線2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a)小橢圓油罐正面示意圖圖4小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖第七頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分?！窘Ｄ康摹坑脭?shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問題。1為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對(duì)罐體無變位和傾斜角為=4.10的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件1所示。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。2對(duì)于圖1所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度

）之間的一般關(guān)系。請(qǐng)利用罐體變位后在進(jìn)/出油過程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。第八頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。附件一流水號(hào)油罐號(hào)累加進(jìn)油量/L油位高度/mm采集時(shí)間說明

11150159.022010-08-1810:32:18(1)罐體無變位進(jìn)油，罐內(nèi)油量初值262L；121100176.142010-08-1810:33:18(2)C列累加進(jìn)油量是每次加入一定量油后的累加值；131150192.592010-08-1810:34:18(3)D列是原罐內(nèi)初始油量加入相應(yīng)油量后油位高度值。流水號(hào)油罐號(hào)累加出油量/L油位高度/mm采集時(shí)間說明111152.721150.722010-08-1814:31:01(1)罐體無變位出油；1121102.721123.992010-08-1814:31:56(2)C列的累加出油量是每次抽出一定量油后的累加值；1131152.721101.152010-08-1814:32:56(3)D列是從罐內(nèi)抽出相應(yīng)油量后油位高度值。第九頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。流水號(hào)油罐號(hào)累加出油量/L油位高度/mm采集時(shí)間說明3111501020.652010-08-1916:10:31(1)罐體縱向傾斜變位出油，縱向傾斜角4.1°；31211001007.732010-08-1916:11:21(2)C列累加出油量是每次抽出一定量油后的累加值；3131150994.322010-08-1916:12:21(3)D列是原罐內(nèi)油量抽出一定量油后的油位高度值。流水號(hào)油罐號(hào)累加進(jìn)油量/L油位高度/mm采集時(shí)間說明2111747.86411.292010-08-1915:10:27(1)罐體縱向傾斜變位進(jìn)油，縱向傾斜角4.1°，2121797.86423.452010-08-1915:11:27罐內(nèi)油量初值215L；2131847.86438.332010-08-1915:12:37(2)C列累加進(jìn)油量是每次加入一定量油后的累加值；2141897.86450.542010-08-1915:13:27(3)D列是原罐內(nèi)油量加入相應(yīng)油量后油位高度值。第十頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。流水號(hào)C進(jìn)油量/LD油位高度/mm采集時(shí)間說明1150159.022010-08-2010:32:18(1)罐體無變位進(jìn)油，罐內(nèi)油量初值262L；12100176.142010-08-2010:33:18(2)C列進(jìn)油量是每次加入50L油后的累加值13150192.592010-08-2010:34:18(3)D列是原罐內(nèi)初始油量加入相應(yīng)油量后油位高度值。流水號(hào)C進(jìn)油量/LD油位高度/mm采集時(shí)間說明11747.86411.292010-08-1915:10:2712797.86423.452010-08-1915:11:2713847.86438.332010-08-1915:12:3714897.86450.542010-08-1915:13:27(1)罐體縱向傾斜變位進(jìn)油，縱向傾斜角4.10,罐內(nèi)油量初值215L；(2)C列進(jìn)油量是每次加入50L油后的累加值，個(gè)別的有小數(shù)零頭；(3)D列是原罐內(nèi)油量加入相應(yīng)油量后油位高度值。附件1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)第十一頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。流水號(hào)C進(jìn)油量/LD出油量/LE顯示油高/mm顯示油量容積/L采集時(shí)間備注說明201060.002632.2360448.882010-08-0108:00:49←開始采集2020149.092624.3060311.432010-08-0108:15:421)C列進(jìn)油量,通常進(jìn)油是一次性連續(xù)完成203068.452620.6760248.032010-08-0108:23:412)D列出油量是加油機(jī)不同時(shí)段的出油量vi2040199.272610.2960065.112010-08-0108:38:143)E列顯示油高是進(jìn)/出油vi后對(duì)應(yīng)的罐內(nèi)油位顯示高度hi；205070.052606.6159999.692010-08-0108:53:084)F列顯示油量容積是進(jìn)/出油vi后,罐內(nèi)油位5020顯示高度為hi時(shí)的罐容表顯示儲(chǔ)油量Ｖi。

50360.81469.746086.74

511242486.2157704.792010-08-0811:43:402010-08-0812:52:52←一次性補(bǔ)充進(jìn)油附件2檢測(cè)數(shù)據(jù)第十二頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。來自于加油站設(shè)備研究與生產(chǎn)企業(yè)的一個(gè)實(shí)際課題.

（2）根據(jù)實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，正確識(shí)別罐體是如何變位的，具體變了多少？同時(shí)要給出罐容表的修正標(biāo)定方法和結(jié)果，屬于“反問題”。題目背景問題分析問題由兩部分組成：（1）為了觀察檢驗(yàn)罐體變位對(duì)罐容表的影響，在已知變位參數(shù)的情況下，檢測(cè)出油位高度和油量的對(duì)應(yīng)數(shù)值，建模分析罐容表的變化規(guī)律，并給出修正的罐容表，屬于“正問題”。第十三頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。問題（1）的通常做法根據(jù)附件1的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出罐體不變位（α=0）和罐體變位（α=4.10）時(shí)油位高度h和儲(chǔ)油量V的曲線.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，在同樣的油位高度h下，罐體變位時(shí)儲(chǔ)油量V減少.第十四頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。zx0z=HabS(H)z=H下的面積油位高度h時(shí)坐標(biāo)y處z=H

油位高度h時(shí)坐標(biāo)y處的截面面積罐體變位α?xí)r油位高度h和儲(chǔ)油量(體積)V的數(shù)學(xué)模型化重積分為定積分zyxhyH0L1Lα油位計(jì)L2V(h,α)z=H第十五頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。高度h與儲(chǔ)油量V的模型D3D2D1yh10L1L2αh2y1y2油位計(jì)第十六頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。高度h與儲(chǔ)油量V的模型V(h,α)h/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/L1070.1340965.66702232.501003450.7220281.86501371.88802661.421103776.6430595.25601798.52903072.431204012.74=4.10的罐容表(部分)按照模型討論變位對(duì)罐容表的影響與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表示的影響一致.變位后儲(chǔ)油量平均約小200L.第十七頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較=4.10=0模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本吻合，而在同樣的油位高度h下，儲(chǔ)油量V的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均比模型結(jié)果小.可以有各種解釋.是否要修正、怎樣修正模型？第十八頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。問題（2）的通常做法1.罐體變位α,β時(shí)油位高度h和儲(chǔ)油量V的數(shù)學(xué)模型hβD1D2D3整體考慮αhVxy0z寫出左右球面、圓柱面及油位高度h的油平面方程.將罐體分為3個(gè)區(qū)域：D1,D2,D3在3個(gè)區(qū)域中分別寫出體積的重積分，并化為（對(duì)z的）定積分.油平面第十九頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。將罐體分為圓柱體和球缺，圓柱體按照問題（1）考慮z=H下的面積zx0rh'hβz=H截面面積S(y,h,α,β)

圓柱體體積V1

(h,α,β)

0xzyD1D2D3αh第二十頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。將罐體分為圓柱體和球缺，球缺部分單獨(dú)考慮精確計(jì)算球缺部分體積V2將傾斜角α的油平面近似為水平面（α=0）計(jì)算球缺部分體積V2.直接將罐體的球缺部分按照體積不變條件折合成圓柱，一起計(jì)算.用各種方法得到罐體體積V(h,α,β),一般是積分表達(dá)式,給定α,β,可以數(shù)值計(jì)算油位高度h時(shí)的儲(chǔ)油量V.第二十一頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。問題（2）的通常做法2.根據(jù)儲(chǔ)油量的數(shù)學(xué)模型V(h,α,β)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)（附件2）辨識(shí)罐體變位參數(shù)α,β流水號(hào)C進(jìn)油量/LD出油量/LE顯示油高/mm顯示油量容積/L采集時(shí)間備注說明201060.002632.2360448.882010-08-0108:00:49←開始采集（i=0）2020149.092624.3060311.432010-08-0108:15:42i=1hiViuiVi=Vi(hi,0,0)不能用！應(yīng)該用數(shù)據(jù)ui,hi與模型V(h,α,β)辨識(shí)參數(shù)α,β確定α,β應(yīng)使儲(chǔ)油量的改變?chǔ)i與出油量ui相吻合！第二十二頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。辨識(shí)準(zhǔn)則確定α,β使Q最小搜索法：按照α,β的可能范圍劃分區(qū)間，逐步搜索.直接利用MATLAB的非線性曲線擬合程序lsqcurvefit辨識(shí)方法辨識(shí)結(jié)果ui,hi取進(jìn)油前的300組數(shù)據(jù)第二十三頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。h/cm20406080100V/L1065.803702.657371.3811756.6116664.62h/cm120140160180200V/L21941.1827450.7733066.9938667.2744128.48h/cm220240260280300V/L49322.4454109.9358329.2761768.9064026.17=2.110,β=4.310的修正罐容表(部分)罐體變位后顯示儲(chǔ)油量與實(shí)際儲(chǔ)油量的比較第二十四頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。模型及結(jié)果檢驗(yàn)

取進(jìn)油后的300組數(shù)據(jù)檢驗(yàn)辨識(shí)結(jié)果α,β

α,β的靈敏性檢驗(yàn)α的靈敏度β的靈敏度縱向傾斜角α比橫向偏轉(zhuǎn)角

β對(duì)罐容量的影響顯著得多！第二十五頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。一種建立模型V(h,α,β)的新方法xy0zhαhYZX0繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)α繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)βT2T1=T1T2?第二十六頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。第二十七頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。αhYZX0VVαxy0zhLdh-r油浮子坐標(biāo)(0,h-r,L/2-d)過油浮子的油平面方程坐標(biāo)變換第二十八頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。xy0zhrsRVα油位高度h的儲(chǔ)油區(qū)域?yàn)镈油位高度h時(shí)的儲(chǔ)油量V定義示性函數(shù)第二十九頁，編輯于星期一：八點(diǎn)三十七分。利用MATLAB的三重積分程序計(jì)算儲(chǔ)油量triplequad(@(x,y,z)(-x*cos(a)*sin(b)+y*cos(a)*cos(b)+z*sin(a)<=cos(a)*cos(b)*(h-r)+sin(a)*(L/2-d)).*(x.^2+y.^2<=r^2).*(z>=-s-sqrt(R^2-x.^2-y.^2)).*(z<=s+sqrt(R^2-x.^2-y.^2)),-r,r,-r,r,-(s+R),s+R)

triplequad(@function,x1,x2,y1,y2,z1,z2)被積函數(shù)function在長(zhǎng)方體中的三重積分:用于function是示性函數(shù)I(x,y,z