kejian 41不定積分的概念與性質(zhì)

第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)四、小結(jié)思考題第四章不定積分一、原函數(shù)與不定積分的概念例如定義：1.原函數(shù)概念原函數(shù)存在定理：簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題：(1)原函數(shù)是否唯一？例（為任意常數(shù)）(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)也連續(xù).關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：（1）若，則對(duì)于任意常數(shù)，（2）若和都是的原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）證（為任意常數(shù)）任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)2.不定積分的定義：被積表達(dá)式積分變量★原函數(shù)與不定積分的概念十分重要，求不定積分的問(wèn)題實(shí)際上就是求原函數(shù)，它不僅是計(jì)算定積分的基礎(chǔ)，也是計(jì)算重積分與解微分方程的基礎(chǔ).解例2

求例4

設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2）所求曲線方程為顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.以上四式可簡(jiǎn)單地說(shuō):“先積后微,形式不變;先微后積,差個(gè)常數(shù)”.注若將微分稱為正運(yùn)算,不定積分稱為逆運(yùn)算,正運(yùn)算要求非常熟練,逆運(yùn)算才能順利進(jìn)行.要求:正運(yùn)算非常熟練,逆運(yùn)算以正運(yùn)算為基礎(chǔ).實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、基本積分表基本積分表是常數(shù));說(shuō)明：簡(jiǎn)寫(xiě)為例5

求積分解根據(jù)積分公式（2）證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）三、不定積分的性質(zhì)例7

求積分解拆項(xiàng)積分例8

求積分解注1分項(xiàng)積分后,總的寫(xiě)出一個(gè)任意常數(shù).注2檢驗(yàn)結(jié)果,只要把結(jié)果求導(dǎo),看它是否等于被積函數(shù).例9

求積分注

分子中加1減1的變形法,積分中常用.例10

求積分例11

求積分例12

求積分解說(shuō)明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)原函數(shù)的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關(guān)系四、小結(jié)思考題符號(hào)函數(shù)在內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？思考題解答不存在.假設(shè)有原函數(shù)故假設(shè)錯(cuò)誤所以在